線型代数学/二次形式のソースを表示

==二次形式==
===二次形式の定義===
二次形式とはすべての項の次数が2である多項式のことであり、一般に次のように表すことができる。<br>
<math>\sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j</math>

これは、対称行列 <math>A=(a_{ij})</math> 列ベクトル<math>x=(x_i)</math> を用いて、<br>
<math>
{}^t x A x = (x_1 , x_2 , \cdots , x_n) 
\begin{pmatrix} 
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}
\left( \begin{array}{cc} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array} \right)
</math>

と表すことができる。

例えば、<math>x^2 + 4z^2 + 3xy - yz</math>は二次形式であるが、<math>3x^3 + xy^2 + 4yz + 8</math>は二次形式ではない。
===二次形式の標準形===
<math>4x^2 + 6y^2 + 8z^2</math>のように、変数の混じった項がない二次形式を標準形といい、次のように表せる。<br>
<math>\sum_{i=1}^{n} a_{ii} x_i^2 </math> <br>

==主軸変換==
2つの変数<math>x,y</math>の一般の二次形式を用いて<math>a x^2 + b y^2 + c x y = d</math>と表された二次曲線を、変数変換によって<math>a'x'^2 + b' y'^2 = d </math>のような標準形の二次形式を用いた形に変換することを、主軸変換という。

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