線型代数学/二次形式

二次形式

二次形式の定義

二次形式とはすべての項の次数が2である多項式のことであり、一般に次のように表すことができる。
$\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j$

これは、対称行列 $A=(a_{ij})$ 列ベクトル$x=(x_i)$ を用いて、
${}^{t}xAx=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$

と表すことができる。

例えば、$x^2+4z^2+3xy-yz$は二次形式であるが、$3x^3+x{y}^2+4yz+8$は二次形式ではない。

二次形式の標準形

$4x^2+6y^2+8z^2$のように、変数の混じった項がない二次形式を標準形といい、次のように表せる。
$\sum _{i=1}^n{a}_{ii}{x}_i^2$

主軸変換

2つの変数$x,y$の一般の二次形式を用いて$a{x}^2+b{y}^2+cxy=d$と表された二次曲線を、変数変換によって$a^{\prime }x{\text{'}}^2+b^{\prime }y{\text{'}}^2=d$のような標準形の二次形式を用いた形に変換することを、主軸変換という。