旧課程(-2012年度)高等学校数学C/確率分布のソースを表示

<small> [[高等学校数学C]] > 確率分布</small>	
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==確率分布==

===確率の計算===

====条件つき確率====

1から15までの番号札があり、その15枚の札から任意に1枚を選ぶ。
このとき、2の倍数を選ぶという事象をA、3の倍数を選ぶという事象をBとすると、<br>
<math> P(A) = \frac{7}{15}</math>, <math> P(B)= \frac{5}{15} = \frac{1}{3}</math>, <math> P(A \cap B) = \frac{2}{15} </math> となる。

このとき、選び出された札が2の倍数であるとわかったとして、それが3の倍数である確率<math>p</math>を考える。
<math>p</math>は、2の倍数である札7枚の中から、6の倍数である札2枚を選ぶ確率であるから<br>
<math> p = \frac{2}{7} = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}</math>
<br>
事象Aが起こったとして、そのときに事象Bの起こる確率を、Aが起こったときのBの'''条件つき確率'''といい、<math> P_A (B) </math>で表す。

<math> P_A (B) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} </math><br>
この式の右辺の分母、分子をそれぞれ<math> n(U) </math>で割ると<br>
<math> P_A (B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} </math><br>


*問題例

**問題
ある観光バスの乗客のうち、60%が女性で、42%が50歳以上の女性である。女性の中から任意に1人を選び出したとき、その人が50歳以上である確率を求めよ。

**解答
「女性である」事象をA、「50歳以上である」事象をBとする。<br>
<math> P(A) = \frac{60}{100} , P(A \cap B) = \frac{42}{100}</math><br>
よって、求める確率は
:<math>
P_A (B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} =\cfrac { \cfrac {42} {100} } { \cfrac {60} {100} } = \frac{7}{10} 
</math>


<math> P_A (B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} </math>の分母を払うと、次のようになる。
{| style="border:2px solid yellow;width:80%" cellspacing=0
|style="background:yellow"|'''乗法定理'''
|-
|style="padding:5px"|
<math>P(A) \ne 0</math>のとき<br>
<div class="center"><math>P(A \cap B) = P(A) P_A (B)</math></div>
|}


*問題例

**問題
5本のくじの中に3本の当たりくじがある。a、b2人が、引いたくじをもとに戻さないで、a、bの順に1本ずつくじを引くとき、2人とも当たる確率を求めよ。

**解答
aが当たるという事象をA、bが当たるという事象をBとすると、求める確率は<math>P(A \cap B)</math>である。<br>
aが当たったとき、残り4本のくじの中に当たりくじが2本あるから
:<math>
P_A (B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
</math>
よって、2人とも当たる確率は
:<math>
P(A \cap B) = P(A) P_A (B) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}
</math>

====事象の独立・従属====
1個のさいころを投げるとき、偶数の目が出る事象をA、3の倍数の目が出る事象をB、4以上の目が出る事象をCとすると、
<div class="center">A={2,4,6} , B={3,6} , C={4,5,6}</div>
このとき <math>P_A (B) = \frac{1}{3}</math>, <math>P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}</math>より、<math>P_A (B) = P(B)</math>が成り立つ。つまり、事象Aが起こることは事象Bが起こることに影響を与えていない。<br>
また、<math>P_A (C) = \frac{2}{3}</math> , <math>P(C) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}</math>より、<math>P_A (C) \ne P(C)</math>が成り立つ。つまり、事象Aが起こることは事象Cが起こることに影響を与えている。<br>
<br>
2つの事象A , Bについて、事象Aの起こることが事象Bの起こることに影響を与えないとき、AとBは'''独立'''であるという。また、AとBが独立でないとき、AとBは'''従属'''であるという。<br>
<br>
事象AとBが独立であるとき、<math>P_A (B) = P(B)</math>である。乗法定理を用いると、事象の独立について、次のことが成り立つ。

{| style="border:2px solid yellow;width:80%" cellspacing=0
|style="background:yellow"|'''事象の独立'''
|-
|style="padding:5px"|
<div class="center">事象AとBが独立である<math> \Leftrightarrow P(A \cap B) = P(A) P(B)</math></div>
|}

*問題例

**問題
トランプのハートのカードが1組13枚ある。<br>
(1)初めにAが1枚引き、そのカードをもとに戻さないで、次にBが1枚引く場合、A、Bがともに絵札を引く確率を求めよ。<br>
(2)初めにAが1枚引き、そのカードをもとに戻して、次にBが1枚引く場合、A、Bがともに絵札を引く確率を求めよ。

**解答
Aが絵札を引くという事象をA、Bが絵札を引くという事象をBとする。<br>
(1) AとBがともに絵札を引くという事象は <math>A \cap B</math> で表される。<br>
　　Aが絵札を引く確率は　　<math>P(A) = \frac{3}{13}</math><br>
　　Aが絵札を引いたあと、12枚のカードの中に絵札が2枚残っているから、Bが絵札を引く確率<math>P_A (B)</math>は、　　<math>P_A (B) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}</math><br>
　　よって　　<math> P(A \cap B) = P(A) P_A(B) = \frac{3}{13} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{26}</math><br>
(2) Aが引いたカードは、もとに戻すから、2つの事象A、Bは互いに独立である。<br>
　　したがって確率は　　<math> P(A \cap B) = P(A) P(B) = \frac{3}{13} \times \frac{3}{13} = \frac{9}{169}</math>


===確率分布===

====確率変数と確率分布====

1枚の硬貨を2回続けて投げる試行において、表の出る回数をXで表す。Xのとりうる値は、0 , 1 , 2 である。
それぞれが起こる確率は<br>
<math>X=0</math>となる確率は　　<math>\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}</math><br>
<math>X=1</math>となる確率は　　<math>{} _2C _1 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}</math><br>
<math>X=2</math>となる確率は　　<math>\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}</math><br>

この結果を表にすると、次のようになる。
<table border="1" cellpadding="2">
<tr><th><math>X</math></th><th>0</th><th>1</th><th>2</th><th>計</th></tr>
<tr><th>確率</th><td><math>\quad \frac{1}{4} \quad</math></td><td><math>\frac{1}{2}</math></td><td><math>\frac{1}{4}</math></td><td><div class="center"><math>1</math></div></td></tr>
</table>
<br>
一般に、Xが有限個の値 <math>x_1 , x_2 , \cdots , x_n </math> をとる変数で、<math>X=x_1 , X=x_2 , \cdots , X=x_n </math> となる確率 <math>p_1 , p_2 , \cdots , p_n </math> が与えられて、
<div class="center"><math>p_1 + p_2 + \cdots + p_n =1 \qquad  \qquad p_1 \ge 0 , p_2 \ge 0 , \cdots , p_n \ge 0</math></div>
を満たすとき、Xを'''確率変数'''という。<br>
このとき<math>x_k</math> と <math>p_k</math> の対応は下の表のようになる。
<table border="1" cellpadding="2">
<tr><th><math>X</math></th><th><math>x_1</math></th><th><math>x_2</math></th><th><math>\cdots</math></th><th> <math>x_n</math></th><th>計</th></tr>
<tr><th><math>P</math></th><td><math>p_1</math></td><td><math>p_2</math></td><th><math>\cdots</math></th><td> <math>p_n</math></td><td><div class="center"><math>1</math></div></td></tr>
</table>
この対応関係をXの'''確率分布'''という。<math>X=x_k</math> となる確率を <math>P \left( X = x_k \right)</math> と書く。

====確率変数の平均・分散・標準偏差====

確率変数Xの確率分布が次の表で与えられているとする。
<table border="1" cellpadding="2">
<caption>確率分布の表</caption>
<tr><th><math>X</math></th><th> <math>x_1</math></th><th><math>x_2</math></th><th><math>\cdots</math></th><th> <math>x_n</math></th><th>計</th></tr>
<tr><th><math>P</math></th><td><math>p_1</math></td><td><math>p_2</math></td><th><math>\cdots</math></th><td> <math>p_n</math></td><td><div class="center"><math>1</math></div></td></tr>
</table>
このとき、
<div class="center"><math>x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n</math></div>
を確率変数Xの'''平均'''または'''期待値'''といい、<math>E(X)</math>で表す。
 
{| style="border:2px solid yellow;width:80%" cellspacing=0
|style="background:yellow"|'''確率変数の平均'''
|-
|style="padding:5px"|
<div class="center"><math>E(X) = \sum_{k=1}^n x_k p_k</math></div>
|}

確率分布が上の表（確率分布の表）で与えられている確率変数Xの平均
<div class="center"><math>x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n</math></div>
をmとする。このとき、<math>(x-m)^2</math> は1つの確率変数となり、その確率分布は下の表のようになる。
<table border="1" cellpadding="2">
<tr><th><math>\left( X - m \right) ^2</math></th><th><math>\left( x_1 - m \right) ^2</math></th><th><math>\left( x_2 - m \right) ^2</math></th><th><math>\cdots</math></th><th> <math>\left( x_n - m \right) ^2</math></th><th>計</th></tr>
<tr><th><math>P</math></th><td><div class="center"><math>p_1</math></div></td><td><div class="center"> <math>p_2</math> </div></td><th><math>\cdots</math></th><td><div class="center"><math>p_n</math></div> </td><td><div class="center"><math>1</math></div></td></tr>
</table>
<math>(x-m)^2</math>がとるn個の値
<div class="center"><math>\left( x_1 - m \right) ^2 , \left( x_2 - m \right) ^2 , \cdots ,\left( x_n - m \right) ^2</math></div>
のそれぞれは、Xとmとのへだたりの程度を表す。<br>

確率変数<math>\left( X - m \right) ^2</math>の平均
<div class="center"><math>\left( x_1 - m \right) ^2 p_1 + \left( x_2 - m \right) ^2 p_2 + \cdots + \left( x_n - m \right) ^2 p_n</math></div>
を、確率変数の'''分散'''といい、<math>V(X)</math>で表す。<br>
また、<math>\sqrt{V(X)}</math>をXの'''標準偏差'''といい、<math> \sigma (X)</math>で表す。

{| style="border:2px solid yellow;width:80%" cellspacing=0
|style="background:yellow"|'''確率変数の分散と標準偏差'''
|-
|style="padding:5px"|
<div class="center"><math>V(X) = \sum_{k=1}^n \left( x_k - m \right) ^2 p_k </math></div>
<div class="center"><math>\sigma (X) = \sqrt{V(X)}</math></div>
|}
<br>
分散<math>V(X)</math>を表す式は次のように変形できる。
:<math>
V(X) = \sum_{k=1}^n \left( x_k - m \right) ^2 p_k = \sum_{k=1}^n \left(x_k \right)^2 p_k - 2m \sum_{k=1}^n x_k p_k + m^2 \sum_{k=1}^n p_k 
</math>
ここで、<math>\sum_{k=1}^n x_k p_k =m , \sum_{k=1}^n p_k =1 </math> であるから
:<math>
V(X) = \sum_{k=1}^n \left(x_k \right)^2 p_k - 2m \times m + m^2 \times 1 = \sum_{k=1}^n \left(x_k \right)^2 p_k - m^2 </math>
さらに、<math>\sum_{k=1}^n \left(x_k \right)^2 p_k = E \left(X^2 \right)</math> であるから、次の等式が成り立つ。
{| style="border:2px solid yellow;width:80%" cellspacing=0
|style="background:yellow"|'''確率変数の分散'''
|-
|style="padding:5px"|
<div class="center"><math>V(X) = E \left(X^2 \right) - \left\{ E(X) \right\} ^2 \quad </math></div>
|}
<br>
*問題例

**問題
1個のさいころを投げるとき、出る目の数をXとする。確率変数Xの平均、分散、標準偏差を求めよ。

**解答
Xの確率分布は、下の表で与えられる。
<table border="1" cellpadding="2">
<tr><th><math>X</math></th><th> <math>1</math> </th><th> <math>2</math> </th><th><math>3</math></th><th> <math>4</math> </th><th> <math>5</math> </th><th> <math>6</math> </th><th>計</th></tr>
<tr><th><math>P</math></th><td> <math>\frac{1}{6}</math> </td><td> <math>\frac{1}{6}</math> </td><th><math>\frac{1}{6}</math></th><td> <math>\frac{1}{6}</math> </td><th> <math>\frac{1}{6}</math> </th><th> <math>\frac{1}{6}</math> </th><td><div class="center"><math>1</math></div></td></tr>
</table>
Xの平均は
:<math>E(X)=1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6} = \frac{7}{2}
</math>
また、<math>X^2</math>の平均は
:<math>E \left(X^2 \right)=1^2 \times \frac{1}{6} + 2^2 \times \frac{1}{6} + 3^2 \times \frac{1}{6} + 4^2 \times \frac{1}{6} + 5^2 \times \frac{1}{6} + 6^2 \times \frac{1}{6} = \frac{91}{6}
</math>
よってXの分散は
:<math>V(X) = E \left(X^2 \right) - \left\{ E(X) \right\} ^2 = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2} \right)^2 = \frac{35}{12}
</math>
Xの標準偏差は
:<math>\sigma (X) = \sqrt{\frac{35}{12}} = \frac{\sqrt{105}}{6}
</math>

====確率変数の変換====

確率変数Xの確率分布が次の表で与えられているとする。
<table border="1" cellpadding="2">
<tr><th><math>X</math></th><th> <math>x_1</math></th><th><math>x_2</math></th><th><math>\cdots</math></th><th> <math>x_n</math></th><th>計</th></tr>
<tr><th><math>P</math></th><td><math>p_1</math></td><td><math>p_2</math></td><th><math>\cdots</math></th><td> <math>p_n</math></td><td><div class="center"><math>1</math></div></td></tr>
</table>
a,bが定数のとき、Xの1次式<math>Y=aX+b</math>でYを定めると、Yも確率変数になる。Yのとる値は<math>y_k = a x_k + b</math>であり、Yの確率分布は次の表のようになる。
<table border="1" cellpadding="2">
<tr><th><math>Y</math></th><th> <math>y_1</math></th><th><math>y_2</math></th><th><math>\cdots</math></th><th> <math>y_n</math></th><th>計</th></tr>
<tr><th><math>P</math></th><td> <math>p_1</math></td><td><math>p_2</math></td><th><math>\cdots</math></th><td> <math>p_n</math></td><td><div class="center"><math>1</math></div></td></tr>
</table>
Xに対して上のようなYを考えることを、'''確率変数の変換'''という。


確率変数の変換<math>Y=aX+b</math>によって、その平均、分散、標準偏差がどのように変わるだろうか。<br>
Yの期待値については
:<math>
E(Y) = \sum_{k=1}^n y_k p_k = \sum_{k=1}^n \left(a x_k + b \right) p_k = \sum_{k=1}^n \left(a x_k p_k + b p_k \right) =  a \sum_{k=1}^n x_k p_k + b \sum_{k=1}^n p_k = aE(X)+b
</math>
また、Yの分散については
:<math>
y_k - E(Y) = a x_k + b - \left\{ a E(X) +b \right\} = a \left\{ x_k - E(X) \right\}
</math>
であるから
:<math>
V(Y) =  \sum_{k=1}^n \left\{ y_k - E(Y) \right\} ^2 p_k = a^2 \sum_{k=1}^n \left\{ x_k - E(x) \right\} ^2 p_k = a^2 V(X)
</math>
Yの標準偏差は
:<math>
\sigma (Y) = \sqrt{V(Y)} = |a| \sqrt{V(X)} = |a| \sigma (X)
</math>

{| style="border:2px solid yellow;width:80%" cellspacing=0
|style="background:yellow"|'''確率変数の変換'''
|-
|style="padding:5px"|
確率変数Xと定数a,bに対して、<math>Y=aX+b</math>とすると、Yも確率変数となり
<div class="center"><math>E(Y) = a E(X) + b</math></div>
<div class="center"><math>V(Y) = a^2 V(X)</math></div>
<div class="center"><math>\sigma (Y) = |a| \sigma (X)</math></div>
|}
<br>
*問題例

**問題
1個のさいころを投げるとき、出る目の数をXとする。確率変数<math>Y=2X+3</math>の平均、分散、標準偏差を求めよ。

**解答
上の問題より、
:<math>E(X)= \frac{7}{2} , V(X)= \frac{35}{12} , \sigma (X) = \frac{\sqrt{105}}{6}</math>
Yの平均は
:<math>E(Y) = E(2X+3) = 2E(X)+3 =2 \times \frac{7}{2} + 3 = 10
</math>
Yの分散は
:<math>V(Y) = V(2X+3) = 2^2 V(X) = 4 \times \frac{35}{12} = \frac{35}{3}
</math>
Yの標準偏差は
:<math>\sigma (Y) = \sigma (2X+3) = |2| \sigma (X) = 2 \times \frac{\sqrt{105}}{6}= \frac{\sqrt{105}}{3}
</math>

====確率変数の和と積====

A,B2人がそれぞれ1個のさいころを投げる。Aは、さいころの目が3の倍数ならば0、3の倍数でなければ1と記録する。Bは、さいころの目が1ならば1、偶数の目ならば2、1以外の奇数の目ならば3と記録する。<br>
A,Bの記録する数をそれぞれX,Yとすると、XとYは確率変数で、<math>X=a</math>かつ<math>Y=b</math>となる確率は次のようになる。
<table border="1" cellpadding="2">
<tr><th><math>X/Y</math></th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th><math>P</math></th></tr>
<tr><th><math>0</math></th><td><math>\frac{1}{18}</math></td><td><math>\frac{1}{6}</math></td><th><math>\frac{1}{9}</math></th><td><div class="center"><math>\frac{1}{3}</math></div></td></tr>
<tr><th><math>1</math></th><td><div class="center"><math>\frac{1}{9}</math></div>
</td><td><math>\frac{1}{3}</math></td><th><math>\frac{2}{9}</math></th><td><div class="center"><math>\frac{2}{3}</math></div></td></tr>
<tr><th><math>P</math></th><td><div class="center"><math>\frac{1}{6}</math></div>
</td><td><math>\frac{1}{2}</math></td><th><math>\frac{1}{3}</math></th><td>　</td></tr>
</table>
このとき、<math>Z=X+Y</math>も確率変数で、Zの確率分布は次のようになる。
<table border="1" cellpadding="2">
<tr><th><math>Z</math></th><th><math>1</math></th><th><math>2</math></th><th><math>3</math></th><th><math>4</math> </th><th>計</th></tr>
<tr><th><math>P</math></th><td><math>\frac{1}{18}</math></td><td><math>\frac{5}{18}</math></td><th><math>\frac{4}{9}</math></th><td><math>\frac{2}{9}</math></td><td><div class="center"><math>1</math></div></td></tr>
</table>
よって、Zの平均は
:<math>
E(Z) = 1 \times \frac{1}{18} + 2 \times \frac{5}{18} + 3 \times \frac{4}{9} + 4 \times \frac{2}{9} = \frac{17}{6}
</math>
一方
:<math>
E(X) = 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}
</math>
:<math>
E(Y) = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{2} + 3 \times \frac{1}{3} = \frac{13}{6}
</math>
であるから
:<math>
E(X) + E(Y) = \frac{2}{3} + \frac{13}{6} = \frac{17}{6}
</math>
したがって、<math>E(Z) = E(X) + E(Y)</math>が成り立っている。
{| style="border:2px solid yellow;width:80%" cellspacing=0
|style="background:yellow"|'''確率変数の和の平均'''
|-
|style="padding:5px"|
確率変数X,Yについて
<div class="center"><math>E(X+Y) = E(X) + E(Y)</math></div>
|}
<br>
確率変数Xのとる任意の値aと確率変数Yのとる任意の値bについて、<math>X=a</math>かつ<math>Y=b</math>である確率が<math>P(X=a)P(Y=b)</math>に等しいとき、確率変数XとYは互いに'''独立'''であるという。
<br>
上の例において確率変数XとYは互いに独立である。この確率変数X,Yについて、<math>U=XY</math>を考えると、Uも確率変数で、Uの確率分布は次のようになる。
<table border="1" cellpadding="2">
<tr><th><math>U</math></th><th><math>0</math></th><th><math>1</math></th><th><math>2</math></th><th><math>3</math> </th><th>計</th></tr>
<tr><th><math>P</math></th><td><math>\frac{1}{3}</math></td><td><math>\frac{1}{9}</math></td><th><math>\frac{1}{3}</math></th><td><math>\frac{2}{9}</math></td><td><div class="center"><math>1</math></div></td></tr>
</table>
よって、Uの平均は
:<math>
E(U) = 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{1}{9} + 2 \times \frac{1}{3} + 3 \times \frac{2}{9} = \frac{13}{9}
</math>
一方、<math>E(X) = \frac{2}{3} , E(Y) = \frac{13}{6}</math>であるから
:<math>
E(X) E(Y) = \frac{2}{3} \times \frac{13}{6} = \frac{13}{9}
</math>
したがって、<math>E(U) = E(X) E(Y)</math>が成り立っている。

{| style="border:2px solid yellow;width:80%" cellspacing=0
|style="background:yellow"|'''独立な確率変数の積の平均'''
|-
|style="padding:5px"|
確率変数XとYが互いに独立ならば
<div class="center"><math>E(XY) = E(X) E(Y)</math></div>
|}
<br>
2つの確率変数X,Yの和の分散についても、次のことが成り立つ。

{| style="border:2px solid yellow;width:80%" cellspacing=0
|style="background:yellow"|'''独立な確率変数の和の分散'''
|-
|style="padding:5px"|
確率変数XとYが互いに独立ならば
<div class="center"><math>V(X+Y) = V(X) + V(Y)</math></div>
|}
<br>
*問題例

**問題
大小2個のさいころを同時に投げるとき、それぞれのさいころの出る目をX,Yとする。出る目の和<math>X+Y</math>の平均、出る目の積<math>XY</math>の平均、出る目の和<math>X+Y</math>の分散を求めよ。

**解答
XとYは互いに独立である。今までの例より
:<math>
E(X) = \frac{7}{2} , E(Y) = \frac{7}{2} , V(X) = \frac{35}{12} , V(Y) = \frac{35}{12}
</math>
したがって
:<math>
E(X+Y) = E(X) + E(Y) = \frac{7}{2} + \frac{7}{2} = 7
</math>
:<math>
E(XY) = E(X) E(Y) = \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} = \frac{49}{4}
</math>
:<math>
V(X+Y) = V(X) + V(Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}
</math>

====二項分布====
1個のさいころを3回投げるとき、1の目の出る回数をXとすると
<div class="center"><math>P(X=r)=_3C_r \left(\frac{1}{6} \right)^r \left(\frac{5}{6} \right)^{3-r}</math></div>
である。確率変数Xの確率分布は次のようになる。
<table border="1" cellpadding="2">
<tr><th><math>X</math></th><th><math>0</math></th><th><math>1</math></th><th><math>2</math></th><th><math>3</math> </th><th>計</th></tr>
<tr><th><math>P</math></th><td><math>_3C_0 \left(\frac{1}{6} \right)^0 \left(\frac{5}{6} \right)^3</math></td><td><math>_3C_1 \left(\frac{1}{6} \right)^1 \left(\frac{5}{6} \right)^2</math></td><th><math>_3C_2 \left(\frac{1}{6} \right)^2 \left(\frac{5}{6} \right)^1</math></th><td><math>_3C_3 \left(\frac{1}{6} \right)^3 \left(\frac{5}{6} \right)^0</math></td><td><div class="center"><math>1</math></div></td></tr>
</table>
<br>
一般に、1回の試行で事象Aの起こる確率がpであるとき、この試行をn回行う反復試行において、Aの起こる回数をXとすると、確率変数Xの確率分布は次のようになる。ただし、<math>q=1-p</math>である。
<table border="1" cellpadding="2">
<tr><th><math>X</math></th><th><math>0</math></th><th><math>1</math></th><th><math>\cdots</math></th><th> <math>r</math></th><th><math>\cdots</math></th><th><math>n</math></th><th>計</th></tr>
<tr><th><math>P</math></th><td><math>_nC_0\ q^n </math> </td><td><math>_nC_1\ p\ q^{n-1}</math> </td><th><math>\cdots</math></th><td><math>_nC_r\ p^r q^{n-r}</math></td><th><math>\cdots</math></th><td> <math>_nC_n\ p^n</math></td><td><div class="center"><math>1</math></div></td></tr>
</table>
この表の確率は、二項定理の展開式
<div class="center"><math>(q+p)^n=_nC_0\ q^n + _nC_1\ p\ q^{n-1} + \cdots + _nC_r\ p^r q^{n-r} + \cdots + _nC_n\ p^n</math></div>
の右辺の各項を順に並べたものである。この確率分布を'''二項分布'''といい、<math>B(n\ ,\ p)</math>で表す。ただし、<math>0<p<1\ ,\ q=1-p</math>とする。<br>
上の例は、<math>B \left(3\ ,\ \frac{1}{6} \right)</math>である。

*例

1枚の硬貨を6回投げるとき、表が出る回数をXとすると、Xは二項分布<math>B \left(6\ ,\ \frac{1}{2} \right)</math>に従う。

====二項分布の平均・分散・標準偏差====
二項分布<math>B(3\ ,\ p)</math>に従う確率変数Xの平均・分散・標準偏差を求めよう。ただし、<math>q=1-p</math>とする。<br>
Xの平均は
:<math>
\begin{align}
 E(X) & = 0 \times _3C_0\ q^3 + 1 \times _3C_1\ p\ q^2 + 2 \times _3C_2\ p^2\ q + 3 \times _3C_3\ p^3\\
      & = 3p^3 + 6p^2 q + 3pq^2 = 3p(p^2 + 2pq + q^2)\\
      & = 3p(p+q)^2 = 3p \times 1 = 3p\\
\end{align}
</math>
また、<math>X^2</math>の平均は
:<math>
\begin{align}
 E \left(X^2 \right) & = 0^2 \times _3C_0\ q^3 + 1^2 \times _3C_1\ p\ q^2 + 2^2 \times _3C_\ p^2\ q + 3^2 \times _3C_3\ p^3\\
                      & = 9p^3 + 12p^2 q + 3pq^2 = 3p(3p^2 + 4pq + q^2)\\
                      & = 3p(p+q)(3p+q) = 3p \times 1 \times (3p+q) = 3p(3p+q)\\
\end{align}
</math>
よって、Xの分散は
:<math>
\begin{align}
 V(X) & = E \left(X^2 \right) - \left\{ E(X) \right\} ^2 \quad \\
      & = 3p(3p+q) - (3p)^2\\
      & = 3pq\\
\end{align}
</math>
Xの標準偏差は
:<math>
\sigma (X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{3pq}
</math>
<br>
一般に、二項分布に従う確率変数について、次のことが成り立つ。
{| style="border:2px solid yellow;width:80%" cellspacing=0
|style="background:yellow"|'''二項分布の平均・分散・標準偏差'''
|-
|style="padding:5px"|
確率変数Xが二項分布<math>B(n\ ,\ p)</math>に従うとき、<math>q=1-p</math>とすると
<div class="center"><math>E(X) = np\ ,\ V(X) = npq\ ,\ \sigma (X) = \sqrt{npq}</math></div>
|}
<br>
*問題例

**問題
白玉7個と黒玉3個が入っている袋から、もとに戻しながら、玉を100回取り出す。白玉の出る回数Xの平均、分散、標準偏差を求めよ。

**解答
Xは二項分布<math>B \left(100\ ,\ \frac{7}{10} \right)</math>に従う。<br>
Xの平均は
:<math>
 E(X) = np = 100 \times \frac{7}{10} = 70
</math>
Xの分散は
:<math>
 V(X) = npq = 100 \times \frac{7}{10} \times \frac{3}{10} = 21
</math>
Xの標準偏差は
:<math>
 \sigma (X) = \sqrt{npq} = \sqrt{21}
</math>
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[[カテゴリ:確率分布]]