旧課程(-2012年度)高等学校数学C/確率分布

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確率分布

確率の計算

条件つき確率

1から15までの番号札があり、その15枚の札から任意に1枚を選ぶ。 このとき、2の倍数を選ぶという事象をA、3の倍数を選ぶという事象をBとすると、
$P(A)=\frac{7}{15}$, $P(B)=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$, $P(A\cap B)=\frac{2}{15}$ となる。

このとき、選び出された札が2の倍数であるとわかったとして、それが3の倍数である確率$p$を考える。 $p$は、2の倍数である札7枚の中から、6の倍数である札2枚を選ぶ確率であるから
$p=\frac{2}{7}=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}$
事象Aが起こったとして、そのときに事象Bの起こる確率を、Aが起こったときのBの条件つき確率といい、$P_A(B)$で表す。

$P_A(B)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}$
この式の右辺の分母、分子をそれぞれ$n(U)$で割ると
$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$

• 問題例

• • 問題

ある観光バスの乗客のうち、60%が女性で、42%が50歳以上の女性である。女性の中から任意に1人を選び出したとき、その人が50歳以上である確率を求めよ。

• • 解答

「女性である」事象をA、「50歳以上である」事象をBとする。
$P(A)=\frac{60}{100},P(A\cap B)=\frac{42}{100}$
よって、求める確率は

$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{42}{100}}{\frac{60}{100}}=\frac{7}{10}$

$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$の分母を払うと、次のようになる。

乗法定理

$P(A)\ne 0$のとき $P(A\cap B)=P(A)P_A(B)$

• 問題例

• • 問題

5本のくじの中に3本の当たりくじがある。a、b2人が、引いたくじをもとに戻さないで、a、bの順に1本ずつくじを引くとき、2人とも当たる確率を求めよ。

• • 解答

aが当たるという事象をA、bが当たるという事象をBとすると、求める確率は$P(A\cap B)$である。
aが当たったとき、残り4本のくじの中に当たりくじが2本あるから

$P_A(B)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

よって、2人とも当たる確率は

$P(A\cap B)=P(A)P_A(B)=\frac{3}{5}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{10}$

事象の独立・従属

1個のさいころを投げるとき、偶数の目が出る事象をA、3の倍数の目が出る事象をB、4以上の目が出る事象をCとすると、

A={2,4,6} , B={3,6} , C={4,5,6}

このとき $P_A(B)=\frac{1}{3}$, $P(B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$より、$P_A(B)=P(B)$が成り立つ。つまり、事象Aが起こることは事象Bが起こることに影響を与えていない。
また、$P_A(C)=\frac{2}{3}$ , $P(C)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$より、$P_A(C)\ne P(C)$が成り立つ。つまり、事象Aが起こることは事象Cが起こることに影響を与えている。

2つの事象A , Bについて、事象Aの起こることが事象Bの起こることに影響を与えないとき、AとBは独立であるという。また、AとBが独立でないとき、AとBは従属であるという。

事象AとBが独立であるとき、$P_A(B)=P(B)$である。乗法定理を用いると、事象の独立について、次のことが成り立つ。

事象の独立

事象AとBが独立である$\iff P(A\cap B)=P(A)P(B)$

• 問題例

• • 問題

トランプのハートのカードが1組13枚ある。
(1)初めにAが1枚引き、そのカードをもとに戻さないで、次にBが1枚引く場合、A、Bがともに絵札を引く確率を求めよ。
(2)初めにAが1枚引き、そのカードをもとに戻して、次にBが1枚引く場合、A、Bがともに絵札を引く確率を求めよ。

• • 解答

Aが絵札を引くという事象をA、Bが絵札を引くという事象をBとする。
(1) AとBがともに絵札を引くという事象は $A\cap B$ で表される。
　　Aが絵札を引く確率は　　$P(A)=\frac{3}{13}$
　　Aが絵札を引いたあと、12枚のカードの中に絵札が2枚残っているから、Bが絵札を引く確率$P_A(B)$は、　　$P_A(B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
　　よって　　$P(A\cap B)=P(A)P_A(B)=\frac{3}{13}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{26}$
(2) Aが引いたカードは、もとに戻すから、2つの事象A、Bは互いに独立である。
　　したがって確率は　　$P(A\cap B)=P(A)P(B)=\frac{3}{13}\times \frac{3}{13}=\frac{9}{169}$

確率分布

確率変数と確率分布

1枚の硬貨を2回続けて投げる試行において、表の出る回数をXで表す。Xのとりうる値は、0 , 1 , 2 である。 それぞれが起こる確率は
$X=0$となる確率は　　$\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
$X=1$となる確率は　　${}_2{C}_1\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
$X=2$となる確率は　　$\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

この結果を表にすると、次のようになる。

$X$	0	1	2	計
確率	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$1$

一般に、Xが有限個の値 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ をとる変数で、$X=x_1,X=x_2,\cdots ,X=x_n$ となる確率 $p_1,p_2,\cdots ,p_n$ が与えられて、

$p_1+p_2+\cdots +p_n=1p_1\ge 0,p_2\ge 0,\cdots ,p_n\ge 0$

を満たすとき、Xを確率変数という。
このとき$x_k$ と $p_k$ の対応は下の表のようになる。

$X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$	計
$P$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$	$1$

この対応関係をXの確率分布という。$X=x_k$ となる確率を $P(X=x_k)$ と書く。

確率変数の平均・分散・標準偏差

確率変数Xの確率分布が次の表で与えられているとする。

確率分布の表

$X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$	計
$P$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$	$1$

このとき、

$x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n$

を確率変数Xの平均または期待値といい、$E(X)$で表す。

確率変数の平均

$E(X)=\sum _{k=1}^n{x}_k{p}_k$

確率分布が上の表（確率分布の表）で与えられている確率変数Xの平均

$x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n$

をmとする。このとき、$(x-m{)}^2$ は1つの確率変数となり、その確率分布は下の表のようになる。

${(X-m)}^2$	${(x_1-m)}^2$	${(x_2-m)}^2$	$\cdots$	${(x_n-m)}^2$	計
$P$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$	$1$

$(x-m{)}^2$がとるn個の値

${(x_1-m)}^2,{(x_2-m)}^2,\cdots ,{(x_n-m)}^2$

のそれぞれは、Xとmとのへだたりの程度を表す。

確率変数${(X-m)}^2$の平均

${(x_1-m)}^2{p}_1+{(x_2-m)}^2{p}_2+\cdots +{(x_n-m)}^2{p}_n$

を、確率変数の分散といい、$V(X)$で表す。
また、$\sqrt{V(X)}$をXの標準偏差といい、$\sigma (X)$で表す。

確率変数の分散と標準偏差

$V(X)=\sum _{k=1}^n{(x_k-m)}^2{p}_k$ $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$

分散$V(X)$を表す式は次のように変形できる。

$V(X)=\sum _{k=1}^n{(x_k-m)}^2{p}_k=\sum _{k=1}^n{\left(x_k\right)}^2{p}_k-2m\sum _{k=1}^n{x}_k{p}_k+m^2\sum _{k=1}^n{p}_k$

ここで、$\sum _{k=1}^n{x}_k{p}_k=m,\sum _{k=1}^n{p}_k=1$ であるから

$V(X)=\sum _{k=1}^n{\left(x_k\right)}^2{p}_k-2m\times m+m^2\times 1=\sum _{k=1}^n{\left(x_k\right)}^2{p}_k-m^2$

さらに、$\sum _{k=1}^n{\left(x_k\right)}^2{p}_k=E\left(X^2\right)$ であるから、次の等式が成り立つ。

確率変数の分散

$V(X)=E\left(X^2\right)-{\{E(X)\}}^2$

• 問題例

• • 問題

1個のさいころを投げるとき、出る目の数をXとする。確率変数Xの平均、分散、標準偏差を求めよ。

• • 解答

Xの確率分布は、下の表で与えられる。

$X$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	計
$P$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$1$

Xの平均は

$E(X)=1\times \frac{1}{6}+2\times \frac{1}{6}+3\times \frac{1}{6}+4\times \frac{1}{6}+5\times \frac{1}{6}+6\times \frac{1}{6}=\frac{7}{2}$

また、$X^2$の平均は

$E\left(X^2\right)=1^2\times \frac{1}{6}+2^2\times \frac{1}{6}+3^2\times \frac{1}{6}+4^2\times \frac{1}{6}+5^2\times \frac{1}{6}+6^2\times \frac{1}{6}=\frac{91}{6}$

よってXの分散は

$V(X)=E\left(X^2\right)-{\{E(X)\}}^2=\frac{91}{6}-{\left(\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{35}{12}$

Xの標準偏差は

$\sigma (X)=\sqrt{\frac{35}{12}}=\frac{\sqrt{105}}{6}$

確率変数の変換

確率変数Xの確率分布が次の表で与えられているとする。

$X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$	計
$P$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$	$1$

a,bが定数のとき、Xの1次式$Y=aX+b$でYを定めると、Yも確率変数になる。Yのとる値は$y_k=a{x}_k+b$であり、Yの確率分布は次の表のようになる。

$Y$	$y_1$	$y_2$	$\cdots$	$y_n$	計
$P$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$	$1$

Xに対して上のようなYを考えることを、確率変数の変換という。

確率変数の変換$Y=aX+b$によって、その平均、分散、標準偏差がどのように変わるだろうか。
Yの期待値については

$E(Y)=\sum _{k=1}^n{y}_k{p}_k=\sum _{k=1}^n(a{x}_k+b)p_k=\sum _{k=1}^n(a{x}_k{p}_k+b{p}_k)=a\sum _{k=1}^n{x}_k{p}_k+b\sum _{k=1}^n{p}_k=aE(X)+b$

また、Yの分散については

$y_k-E(Y)=a{x}_k+b-\{aE(X)+b\}=a\{x_k-E(X)\}$

であるから

$V(Y)=\sum _{k=1}^n{\{y_k-E(Y)\}}^2{p}_k=a^2\sum _{k=1}^n{\{x_k-E(x)\}}^2{p}_k=a^{2}V(X)$

Yの標準偏差は

$\sigma (Y)=\sqrt{V(Y)}=|a|\sqrt{V(X)}=|a|\sigma (X)$

確率変数の変換

確率変数Xと定数a,bに対して、$Y=aX+b$とすると、Yも確率変数となり $E(Y)=aE(X)+b$ $V(Y)=a^{2}V(X)$ $\sigma (Y)=|a|\sigma (X)$

• 問題例

• • 問題

1個のさいころを投げるとき、出る目の数をXとする。確率変数$Y=2X+3$の平均、分散、標準偏差を求めよ。

• • 解答

上の問題より、

$E(X)=\frac{7}{2},V(X)=\frac{35}{12},\sigma (X)=\frac{\sqrt{105}}{6}$

Yの平均は

$E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=2\times \frac{7}{2}+3=10$

Yの分散は

$V(Y)=V(2X+3)=2^{2}V(X)=4\times \frac{35}{12}=\frac{35}{3}$

Yの標準偏差は

$\sigma (Y)=\sigma (2X+3)=|2|\sigma (X)=2\times \frac{\sqrt{105}}{6}=\frac{\sqrt{105}}{3}$

確率変数の和と積

A,B2人がそれぞれ1個のさいころを投げる。Aは、さいころの目が3の倍数ならば0、3の倍数でなければ1と記録する。Bは、さいころの目が1ならば1、偶数の目ならば2、1以外の奇数の目ならば3と記録する。
A,Bの記録する数をそれぞれX,Yとすると、XとYは確率変数で、$X=a$かつ$Y=b$となる確率は次のようになる。

$X/Y$	1	2	3	$P$
$0$	$\frac{1}{18}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$
$1$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{2}{3}$
$P$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$

このとき、$Z=X+Y$も確率変数で、Zの確率分布は次のようになる。

$Z$	$1$	$2$	$3$	$4$	計
$P$	$\frac{1}{18}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$	$1$

よって、Zの平均は

$E(Z)=1\times \frac{1}{18}+2\times \frac{5}{18}+3\times \frac{4}{9}+4\times \frac{2}{9}=\frac{17}{6}$

一方

$E(X)=0\times \frac{1}{3}+1\times \frac{2}{3}=\frac{2}{3}$

$E(Y)=1\times \frac{1}{6}+2\times \frac{1}{2}+3\times \frac{1}{3}=\frac{13}{6}$

であるから

$E(X)+E(Y)=\frac{2}{3}+\frac{13}{6}=\frac{17}{6}$

したがって、$E(Z)=E(X)+E(Y)$が成り立っている。

確率変数の和の平均

確率変数X,Yについて $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

確率変数Xのとる任意の値aと確率変数Yのとる任意の値bについて、$X=a$かつ$Y=b$である確率が$P(X=a)P(Y=b)$に等しいとき、確率変数XとYは互いに独立であるという。
上の例において確率変数XとYは互いに独立である。この確率変数X,Yについて、$U=XY$を考えると、Uも確率変数で、Uの確率分布は次のようになる。

$U$	$0$	$1$	$2$	$3$	計
$P$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{9}$	$1$

よって、Uの平均は

$E(U)=0\times \frac{1}{3}+1\times \frac{1}{9}+2\times \frac{1}{3}+3\times \frac{2}{9}=\frac{13}{9}$

一方、$E(X)=\frac{2}{3},E(Y)=\frac{13}{6}$であるから

$E(X)E(Y)=\frac{2}{3}\times \frac{13}{6}=\frac{13}{9}$

したがって、$E(U)=E(X)E(Y)$が成り立っている。

独立な確率変数の積の平均

確率変数XとYが互いに独立ならば $E(XY)=E(X)E(Y)$

2つの確率変数X,Yの和の分散についても、次のことが成り立つ。

独立な確率変数の和の分散

確率変数XとYが互いに独立ならば $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$

• 問題例

• • 問題

大小2個のさいころを同時に投げるとき、それぞれのさいころの出る目をX,Yとする。出る目の和$X+Y$の平均、出る目の積$XY$の平均、出る目の和$X+Y$の分散を求めよ。

• • 解答

XとYは互いに独立である。今までの例より

$E(X)=\frac{7}{2},E(Y)=\frac{7}{2},V(X)=\frac{35}{12},V(Y)=\frac{35}{12}$

したがって

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)=\frac{7}{2}+\frac{7}{2}=7$

$E(XY)=E(X)E(Y)=\frac{7}{2}\times \frac{7}{2}=\frac{49}{4}$

$V(X+Y)=V(X)+V(Y)=\frac{35}{12}+\frac{35}{12}=\frac{35}{6}$

二項分布

1個のさいころを3回投げるとき、1の目の出る回数をXとすると

$P(X=r){=}_3{C}_r{\left(\frac{1}{6}\right)}^r{\left(\frac{5}{6}\right)}^{3-r}$

である。確率変数Xの確率分布は次のようになる。

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	計
$P$	${}_3{C}_0{\left(\frac{1}{6}\right)}^0{\left(\frac{5}{6}\right)}^3$	${}_3{C}_1{\left(\frac{1}{6}\right)}^1{\left(\frac{5}{6}\right)}^2$	${}_3{C}_2{\left(\frac{1}{6}\right)}^2{\left(\frac{5}{6}\right)}^1$	${}_3{C}_3{\left(\frac{1}{6}\right)}^3{\left(\frac{5}{6}\right)}^0$	$1$

一般に、1回の試行で事象Aの起こる確率がpであるとき、この試行をn回行う反復試行において、Aの起こる回数をXとすると、確率変数Xの確率分布は次のようになる。ただし、$q=1-p$である。

$X$	$0$	$1$	$\cdots$	$r$	$\cdots$	$n$	計
$P$	${}_n{C}_0{q}^n$	${}_n{C}_{1}p{q}^{n-1}$	$\cdots$	${}_n{C}_r{p}^r{q}^{n-r}$	$\cdots$	${}_n{C}_n{p}^n$	$1$

この表の確率は、二項定理の展開式

$(q+p{)}^n{=}_n{C}_0{q}^n{+}_n{C}_{1}p{q}^{n-1}+\cdots {+}_n{C}_r{p}^r{q}^{n-r}+\cdots {+}_n{C}_n{p}^n$

の右辺の各項を順に並べたものである。この確率分布を二項分布といい、$B(n,p)$で表す。ただし、$0<p<1,q=1-p$とする。
上の例は、$B(3,\frac{1}{6})$である。

• 例

1枚の硬貨を6回投げるとき、表が出る回数をXとすると、Xは二項分布$B(6,\frac{1}{2})$に従う。

二項分布の平均・分散・標準偏差

二項分布$B(3,p)$に従う確率変数Xの平均・分散・標準偏差を求めよう。ただし、$q=1-p$とする。
Xの平均は

$\begin{array}{cc}E(X)& =0{\times }_3{C}_0{q}^3+1{\times }_3{C}_{1}p{q}^2+2{\times }_3{C}_2{p}^{2}q+3{\times }_3{C}_3{p}^3\\ & =3p^3+6p^{2}q+3p{q}^2=3p(p^2+2pq+q^2)\\ & =3p(p+q{)}^2=3p\times 1=3p\\ \end{array}$

また、$X^2$の平均は

$\begin{array}{cc}E\left(X^2\right)& =0^2{\times }_3{C}_0{q}^3+1^2{\times }_3{C}_{1}p{q}^2+2^2{\times }_3{C}_{}{p}^{2}q+3^2{\times }_3{C}_3{p}^3\\ & =9p^3+12p^{2}q+3p{q}^2=3p(3p^2+4pq+q^2)\\ & =3p(p+q)(3p+q)=3p\times 1\times (3p+q)=3p(3p+q)\\ \end{array}$

よって、Xの分散は

$\begin{array}{cc}V(X)& =E\left(X^2\right)-{\{E(X)\}}^2\\ & =3p(3p+q)-(3p{)}^2\\ & =3pq\\ \end{array}$

Xの標準偏差は

$\sigma (X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{3pq}$

一般に、二項分布に従う確率変数について、次のことが成り立つ。

二項分布の平均・分散・標準偏差

確率変数Xが二項分布$B(n,p)$に従うとき、$q=1-p$とすると $E(X)=np,V(X)=npq,\sigma (X)=\sqrt{npq}$

• 問題例

• • 問題

白玉7個と黒玉3個が入っている袋から、もとに戻しながら、玉を100回取り出す。白玉の出る回数Xの平均、分散、標準偏差を求めよ。

• • 解答

Xは二項分布$B(100,\frac{7}{10})$に従う。
Xの平均は

$E(X)=np=100\times \frac{7}{10}=70$

Xの分散は

$V(X)=npq=100\times \frac{7}{10}\times \frac{3}{10}=21$

Xの標準偏差は

$\sigma (X)=\sqrt{npq}=\sqrt{21}$