数学演習/中学校3年生/2乗に比例する関数/解答のソースを表示

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[[中学校数学 3年生-数量/2乗に比例する関数]]

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== 2乗に比例する関数 ==
2乗に比例しているので、x=1のときのyの値がそのまま比例定数になる。

(1)a=-1

(2)a=3

(3)<math>a = \frac{1}{3}</math>

== 1次関数との融合 ==
2年次の1次関数で学習したのと同様に、共有点の座標を求めるには連立方程式を解けばよい。

(1)<math>(x,y) = (3,9),(-3,9)</math>
:<math>\left\{ \begin{matrix} y=9 \\ y=x^2 \end{matrix}\right.</math>
を解く。上のyを下に代入すると
:<math>9 = x^2</math>
となり2次方程式に帰着することができ、<math>x = \pm 3</math>と求められる。yは元の式を見れば9と書いてある。

(2)<math>(x,y) = (0,0),(1,1)</math>
:<math>\left\{ \begin{matrix} y=x \\ y=x^2 \end{matrix}\right.</math>
を解く。上のyを下に代入する。
:<math>x^2-x=0</math>
因数分解し<math>x(x-1)=0</math>でx = 0,1となる。yはx=0の時0、x=1の時1である。

(3)<math>(x,y) = (0,0),(\frac{2}{3},\frac{4}{3})</math>
:<math>\left\{ \begin{matrix} y=2x \\ y=3x^2 \end{matrix}\right.</math>
を解く。上のyを下に代入する。
:<math>3x^2-2x=0</math>
全体を<math>x^2</math>の係数で割る。
:<math>x^2-\frac{2}{3}x=0</math>
因数分解し<math>x(x-\frac{2}{3})=0</math>で<math>x = 0,\frac{2}{3}</math>となる。yはx=0の時0、<math>x = \frac{2}{3}</math>の時<math>\frac{4}{3}</math>である。

(4)<math>(x,y) = (-5+\sqrt{31},28-5\sqrt{31}),(-5-\sqrt{31},28+5\sqrt{31})</math>
:<math>\left\{ \begin{matrix} y=-5x+3 \\ y=\frac{1}{2}x^2 \end{matrix}\right.</math>
を解く。上のyを下に代入する。
:<math>\frac{1}{2}x^2+5x-3=0</math>
全体を<math>x^2</math>の係数で割る。
:<math>x^2+10x-6=0</math>
これは因数分解が困難な形であるので解の公式を用いて解く。

復習までに、解の公式は以下であった。(ただし、aは0ではないものとする。)
:<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>

a=1,b=10,c=-6を代入して計算する。
:<math>\begin{matrix}
  x &=& \frac{-10 \pm \sqrt{10^2-4 \times 1 \times (-6)}}{2 \times 1} \\
   &=& \frac{-10 \pm \sqrt{124}}{2} \\
   &=& \frac{-10 \pm 2\sqrt{31}}{2} \\
   &=& -5 \pm \sqrt{31}
\end{matrix}</math>

<math>x= -5 \pm \sqrt{31}</math>ということが分かったので、yに代入する。

<math>x= -5+\sqrt{31}</math>の時、
:<math>\begin{matrix}
  y &=& -5x+3  \\
   &=& -5(-5+\sqrt{31})+3 \\
   &=& 25-5\sqrt{31}+3 \\
   &=& 28-5\sqrt{31}
\end{matrix}</math>

<math>x= -5-\sqrt{31}</math>の時、
:<math>\begin{matrix}
  y &=& -5x+3  \\
   &=& -5(-5-\sqrt{31})+3 \\
   &=& 25+5\sqrt{31}+3 \\
   &=& 28+5\sqrt{31}
\end{matrix}</math>

となりxとyが求まった。

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