多元数/二重数のソースを表示

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複素数は<math>x^2=-1</math>の正の解<math>i</math>を用いて<math>a+bi</math>と表されるものであった。

ここでは、同様にして<math>x^2 = 0</math>の非零解<math>\varepsilon</math>を用いて<math>a+b\varepsilon</math>と表される数について考える。

==二重数==
<math>\varepsilon^2 = 0, \varepsilon \neq 0</math>を満たす<math>\varepsilon</math>と<math>a, b \in \mathbb{R}</math>を用いて<math>a+b\varepsilon</math>と表される数を'''二重数'''（'''双対数'''）という。二重数全体は<math>\mathbb{R}</math>に<math>\varepsilon</math>を元として加えた集合であり、実数体上の二次元の可換かつ単位的な結合多元環（'''二元数'''）の一種である。

定義より<math>\varepsilon^2=0</math>であるため、二次以上の項は全て無視できるのが二重数の大きな特徴である。また、<math>\frac{1}{\varepsilon}</math>は分母分子それぞれに<math>\varepsilon</math>を掛けると<math>\frac{\varepsilon}{\varepsilon^2} = \frac{\varepsilon}{0}</math>と零除算が登場してしまうため、<math>\varepsilon</math>（及びその定数倍）で割る操作は二重数の世界では認められない。

虚数単位と同様に、<math>\varepsilon^2 = 0, \varepsilon^{-1} = \mathrm{null}</math>. に注意すれば<math>\varepsilon</math>は通常の文字式と同様の演算が可能である。

すなわち、<math>a, b, c, d \in \mathbb{R}</math>として以下が成り立つ。
:<math>c \times \varepsilon = \varepsilon \times c = c \varepsilon</math>
:<math>(a + b \varepsilon) + (c + d\varepsilon) = (c + d\varepsilon) + (a + b \varepsilon) = (a+c) + (b + d)\varepsilon</math>
:<math>(a + b \varepsilon) (c + d \varepsilon) = (c + d \varepsilon) (a + b \varepsilon) = ac + (ad+cb) \varepsilon + bd \varepsilon^2 = ac + (ad+bc)\varepsilon</math>
:<math>\frac{a+b\varepsilon}{c+d\varepsilon} = \frac{(a+b\varepsilon)(c-d\varepsilon)}{c^2 - d^2 \varepsilon^2} = \frac{ac+(bc-ad)\varepsilon}{c^2}</math>（<math>c \neq 0</math>のとき）
:<math>(a+b \varepsilon)^n = \sum_{r=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix} a^r (b \varepsilon)^{n-r} = a^n + na^{n-1} b \varepsilon</math>


==交代的複素数平面==
複素数に対して複素数平面を考えたのと同様に、二重数を平面に対応させることを考える。

二重数<math>a + b \varepsilon</math>に対して点<math>(a, b)</math>が対応するようにとった座標平面を'''交代的複素数平面'''という。これは[[高等学校数学C/複素数平面|通常の複素数平面]]及び[[多元数/分解型複素数#分解型複素数平面|分解型複素数平面]]と相補的な関係にある。

複素数と同様に<math>z = a + b \varepsilon</math>に対する'''共軛二重数'''を<math>\bar{z} = a - b \varepsilon</math>、二重数の絶対値を<math>\sqrt{z \bar{z}}</math>と定義する。

<math>\sqrt{z \bar{z}} = \sqrt{a^2 - b^2 \varepsilon^2} = \sqrt{a^2} = |a|</math>より、二重数の絶対値は、その実部の絶対値への射影を表す写像である。

交代的複素数平面における単位円を考える。

単位円は<math>|a + b \varepsilon| = 1</math>を満たす点の集合なので、<math>|a| = 1</math>を満たす点全体を考えれば良い。そのような点の集合は、平行な2直線<math>a=\pm 1</math>である。

テイラー展開は二重数範囲でも同様に成り立つので（証明略）、<math>e^{b\varepsilon} = 1 + b\varepsilon</math>が成り立つ。

交代的複素数平面における回転は、垂直剪断変換と同値である。

==微分法==
==行列表記==
==代数的性質==
==一般化==


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