制御と振動の数学/Laplace 変換/有理関数の原像/別法のソースを表示


[[制御と振動の数学/Laplace 変換/有理関数の原像/有理関数の原像の求め方#lemma:2.3|予告しておいた]]ように，像関数を <math>s</math> で微分することは，原像に <math>-t</math> をかけることに対応する．

<div id="theorem:3">
<strong>公式 3</strong>

{{制御と振動の数学/equation|<math>F(s) \sqsubset f(t)</math> ならば <math>\frac{dF(s)}{ds} \sqsubset -tf(t)</math>}}

<strong>証明</strong>

{{制御と振動の数学/equation|<math>F(s) = \int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt</math>}}
を <math>s</math> で項別微分すると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{dF(s)}{ds} = \int_0^{\infty}(-t)f(t)e^{-st}dt</math>}}
となる．
<math>\diamondsuit</math>


よって[[制御と振動の数学/Laplace 変換/有理関数の原像/有理関数の原像の求め方#lemma:2.3|補題2.3]]は
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d(FG)}{ds} = \frac{dF}{ds}G + F\frac{dG}{ds}</math>}}
の原像であることが分かる<ref>
:<math>t(f*g) = (tf)*g + f*(tg)</math>
より
:<math>(-t)(f*g)=\{(-t)f\}*g + f*\{(-t)g\}</math>．
</ref>．

一般に，加法と乗法の定義された代数系があって，演算 <math>T</math> が，
{{制御と振動の数学/equation|<math>T(f+g) = Tf + Tg</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>T(f\circ g) = Tf \circ g + f \circ Tg</math>}}
なる形式を有するとき，<math>T</math> は微分演算と考えてよいのである．


<!-- ex:055:start-->
<div id="ex:55">
<strong>例55</strong><math>\quad</math>

この[[制御と振動の数学/Laplace 変換/有理関数の原像/別法#theorem:3|公式 3]]を用いて[[制御と振動の数学/Laplace 変換/有理関数の原像/有理関数の原像の求め方#theorem:2|公式 2]]を導け．

<strong>解答例</strong>

(1)
:<math>\frac{d}{ds}\frac{1}{(s^2+\beta^2)^{n-1}} = -2(n-1)\frac{s}{(s^2+\beta^2)^n}</math>
を念頭において，
:<math>\frac{1}{(s^2+\beta^2)^{n-1}} \sqsubset f_{n-1}</math>
[[制御と振動の数学/Laplace 変換/有理関数の原像/別法#theorem:3|公式 3]]を適用し，左辺を <math>s</math> で微分した場合，
:<math>-2(n-1)\frac{s}{(s^2+\beta^2)^n} \sqsubset (-t)f_{n-1}</math>
両辺を <math>-2(n-1)</math> で割ると，(<math>\because</math>[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/Laplace 変換の定義とその基本的性質/Laplace 変換の線形性|Laplace 変換の線形性]]による．）
:<math>\frac{s}{(s^2+\beta^2)^n} \sqsubset \frac{t}{2(n-1)}f_{n-1}</math>

(2)
:<math>\frac{d^2}{ds^2}\frac{1}{(s^2+\beta^2)^{n-1}} = \frac{d}{ds}\left(-\frac{2(n-1)s}{(s^2+\beta^2)^n}\right)</math>
:<math>=\frac{-2(n-1)}{(s^2+\beta^2)^n} + \frac{4n(n-1)s^2}{(s^2+\beta^2)^{n+1}}</math>
:<math>=\frac{-2(n-1)}{(s^2+\beta^2)^n} + 4n(n-1)\left(\frac{(s^2+\beta^2) - \beta^2}{(s^2+\beta^2)^{n+1}}\right)</math>
:<math>=\frac{-2(n-1)}{(s^2+\beta^2)^n} + \frac{4n(n-1)}{(s^2+\beta^2)^n} - \frac{4\beta^2n(n-1)}{(s^2+\beta^2)^{n+1}}</math>
:<math>=\frac{4n^2-4n-2n+2}{(s^2+\beta^2)^n} - \frac{4\beta^2n(n-1)}{(s^2+\beta^2)^{n+1}}</math>
:<math>=\frac{2(2n-1)(n-1)}{(s^2+\beta^2)^n}-\frac{4\beta^2n(n-1)}{(s^2+\beta^2)^{n+1}}</math>
この原像は，<br />
:<math>t^2f_{n-1} = 2(2n-1)(n-1)f_n - 4\beta^2n(n-1)f_{n+1}</math>
:<math>4\beta^2n(n-1)f_{n+1} = 2(2n-1)(n-1)f_n - t^2f_{n-1}</math>
:<math>f_{n+1} = \frac{1}{4\beta^2}\left\{ \frac{2(2n-1)}{n}f_n - \frac{t^2}{n(n-1)}f_{n-1}\right\}</math>
:<math>=\frac{1}{2\beta^2}\left\{ \frac{2n-1}{n}f_n - \frac{t^2}{2n(n-1)}f_{n-1} \right\}</math>
これが求める結果である．
<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:055:end-->