制御と振動の数学/Laplace 変換/定積分の計算への応用/tの非整数べきのLaplace変換のソースを表示

すでに導いた公式
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{t^{n-1}}{(n-1)!} \sqsupset \frac{1}{s^n}</math>}}
において，<math>n</math> を自然数から正の実数に拡張することを考えよう．そのため，階乗 <math>(n-1)!</math> の拡張である[[w:%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%83%9E%E9%96%A2%E6%95%B0|ガンマ関数]]を導入する．

<div id="theorem:4">
<strong>公式4</strong>
{{制御と振動の数学/equation|<math>\Gamma(\lambda) := \int_0^{\infty}e^{-t}t^{\lambda-1}dt \quad (\lambda > 0)</math>}}
とおけば
{{制御と振動の数学/equation|<math>\Gamma(\lambda) = (\lambda - 1)\Gamma(\lambda-1)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\Gamma(1)=1</math>}}
が成立する．<math>\Gamma(\lambda)</math> をガンマ関数という．

<strong>証明</strong>

定義式に対して部分積分を実行する．
{{制御と振動の数学/equation|<math>\Gamma(\lambda) = \int_0^{\infty} e^{-t}t^{\lambda-1}dt</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>= \bigg[-e^{-t}t^{\lambda-1}\bigg]_0^{\infty} + (\lambda-1)\int_0^{\infty} e^{-t}t^{\lambda-2}dt</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>=(\lambda-1)\Gamma(\lambda-1)</math>}}
また，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\Gamma(1)=\int_0^{\infty}e^{-t}dt = 1</math>}}
<math>\diamondsuit</math>


この結果から，
{{制御と振動の数学/equation|<math>(n-1)! = \Gamma(n)</math>}}
であることが分かる．事実，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\Gamma(n)=(n-1)\Gamma(n-1)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>=(n-1)(n-2)\Gamma(n-2)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>=(n-1)(n-2)(n-3)\Gamma(n-3)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>=(n-1)(n-2)(n-3)\cdot\cdots\cdot3\cdot2\cdot1\cdot\Gamma(1)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>=(n-1)!</math>}}

このガンマ関数を用いれば，冒頭の公式は
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{t^{n-1}}{\Gamma(n)} \sqsupset \frac{1}{s^n}</math>}}
と書ける．この形式は <math>n</math> を正の実数 <math>\lambda</math> に変えてもそのまま成立する．

<div id="theorem:5">
<strong>公式5</strong>

{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{t^{\lambda-1}}{\Gamma(\lambda)} \sqsupset \frac{1}{s^{\lambda}} \quad (\lambda > 0)</math>}}

特に，<math>\lambda = \frac{1}{2}</math> のときは <math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}</math> で，

{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{1}{\sqrt{\pi t}} \sqsupset \frac{1}{\sqrt{s}} \quad (s > 0)</math>}}

となる．

<strong>証明</strong>

{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}\bigg[\frac{t^{\lambda-1}}{\Gamma(\lambda)}\bigg] =\frac{1}{\Gamma(\lambda)}\int_0^{\infty} t^{\lambda-1}e^{-st}dt \quad (s > 0)</math>}}
において，<math>\tau := st</math> とおくと，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}\bigg[\frac{t^{\lambda-1}}{\Gamma(\lambda)}\bigg] = \frac{1}{s^{\lambda}\Gamma(\lambda)}\int_0^{\infty}\tau^{\lambda-1}e^{-\tau}d\tau</math><ref>
<math>\tau = st</math> より <math>d\tau = s\ dt</math>，よって，<math>t = \frac{\tau}{s}, dt = \frac{d\tau}{s}.</math><br />
したがって<br />
<math>t^{\lambda-1}e^{-st}dt = \frac{\tau^{\lambda-1}}{s^{\lambda-1}}e^{-\tau}\frac{d\tau}{s}</math><br />
<math>= \frac{1}{s^{\lambda}}\tau^{\lambda-1}e^{-\tau}d\tau</math><br />
<math>\therefore \mathcal{L}\bigg[\frac{t^{\lambda-1}}{\Gamma(\lambda)}\bigg] = \frac{1}{s^{\lambda}\Gamma(\lambda)}\int_0^{\infty} \tau^{\lambda-1}e^{-\tau}d\tau</math><br />
<math>=\frac{1}{s^{\lambda}\Gamma(\lambda)}\Gamma(\lambda) = \frac{1}{s^{\lambda}}</math><br />
</ref>
}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>=\frac{1}{s^{\lambda}\Gamma(\lambda)}\cdot\Gamma(\lambda) = \frac{1}{s^{\lambda}}</math>}}
また <math>\lambda = \frac{1}{2}</math> のときは，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \int_0^{\infty} e^{-t}t^{-\frac{1}{2}} dt</math>}}
において，<math>\tau := \sqrt{t}</math> とおけば <math>t^{-\frac{1}{2}}dt = 2d\tau</math> であるから<ref>
<math>\frac{d\tau}{dt} = \frac{1}{2}t^{-\frac{1}{2}}</math><br />
<math>\therefore 2d\tau = t^{-\frac{1}{2}}dt</math><br />
</ref>，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = 2\int_0^{\infty} e^{-\tau^2}d\tau = \sqrt{\pi}</math><ref>
平均 <math>0</math>，分散 <math>\sigma^2</math> の [[w:%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E5%88%86%E5%B8%83|正規分布]]の確率密度関数 <math>f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}</math> を <math>0</math> から <math>\infty</math> で積分したときその値は <math>\frac{1}{2}</math> であることを前提とする．すなわち，<br />
<math>\int_0^{\infty}f(x)dx = \frac{1}{2}</math><br />
<math>\sigma = \frac{1}{\sqrt{2}}</math> を代入すると<br />
<math>\int_0^{\infty} \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2}dx = \frac{1}{2}</math><br />
<math>\therefore \int_0^{\infty} e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}</math><br />
</ref>}}
<math>\diamondsuit</math>


いささか循環論法めくが，この公式を利用して，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^{\infty}e^{-\alpha x^2}dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \quad (\alpha > 0)</math>}}
を導こう．

{{制御と振動の数学/equation|<math>f(t):=\int_0^{\infty} e^{-tx^2}dx \quad (t > 0)</math>}}
とおいて [[w:%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B|Laplace 変換]]すると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[f] = \int_0^{\infty} \mathcal{L}[e^{-tx^2}]dx</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>= \int_0^{\infty} \frac{dx}{s+x^2} = \frac{\pi}{2\sqrt{s}}</math>}}
この原像は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>f(t) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{t}} \quad (t > 0)</math><ref>
[[制御と振動の数学/Laplace 変換/定積分の計算への応用/tの非整数べきのLaplace変換#theorem:5|公式5]] の <math>\lambda=\frac{1}{2}</math> の場合より，<br />
<math>\frac{1}{\sqrt{s}} \sqsubset \frac{1}{\sqrt{\pi t}}</math><br />
<math>\frac{\pi}{2\sqrt{s}} \sqsubset \frac{1}{2} \frac{\pi}{\sqrt{\pi}\sqrt{t}} = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{t}}</math><br />
</ref>}}
<math>t = \alpha</math> とおけば，求める公式が得られる．この誘導はインチキであるが<ref>
<math>\int_0^{\infty}e^{-x^2}dx</math> の値は上記の注で述べたとおり別の方法で取得しなければならない．
</ref>，辻褄があっているという気休めにはなるであろう．


<math>\diamondsuit</math>

[[カテゴリ:ラプラス変換]]