制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/一般の 2 階の微分方程式の場合のソースを表示

{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d^2x}{dt^2} + a\frac{dx}{dt} + bx = f(t)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(t_0) = x'(t_0) = 0</math>}}
の解が一意であることを示すには，前と同様にして，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d^2x}{dt^2} + a\frac{dx}{dt} + bx = 0</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(t_0) = x'(t_0) = 0</math>|tag=(3.17)|label=eq:3.17}}
の解が <math>x(t) \equiv 0</math> に限ることを示せばよい．そのために，
{{制御と振動の数学/equation|<math>u(t) := |x(t)| + |x'(t)|</math>}}
とおいて，<math>u(t) \equiv 0</math> を示そう．
[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/一般の 2 階の微分方程式の場合#eq:3.17|式 (3.17) ]]に示したように，初期値は <math>0</math> であるから<ref><math>x(t_0) = 0</math></ref>，
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(t) = \int_{t_0}^t x'(t)dt</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>x'(t) = \int_{t_0}^t x''(t)dt = -\int_{t_0}^t \left\{ ax'(t) + bx(t) \right\}dt</math>}}
が成り立つ．これを用いて <math>u(t)</math> を計算する．
<math>K := \mathrm{max } \{ |a|, |b| \}</math> とおくと，
{{制御と振動の数学/equation|<math>|x(t)| + |x'(t)| \leqq \int_{t_0}^t |x'(t)|dt + K \int_{t_0}^t \{ |x'(t)| + |x(t)| \} dt</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\leqq (1 + K) \int_{t_0}^t \{ |x(t)| + |x'(t)| \} dt</math>}}
と変形できるから，
{{制御と振動の数学/equation|<math>u(t) \leqq (1+K) \int_{t_0}^t u(t)dt</math>|tag=(3.18)|label=eq:3.18}}
を得る．
[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/一般の 2 階の微分方程式の場合#eq:3.18|式 (3.18) ]]
の両辺に <math>e^{-(1+K)t}</math> をかけ移項すると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{-(1+K)t}u(t) - e^{-(1+K)t}(1+K) \int_{t_0}^t u(t)dt \leqq 0</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d}{dt} \left\{ e^{-(1+K)t}\int_{t_0}^t u(t)dt \right\} \leqq 0</math>}}
となる．これを <math>t_0</math> から <math>t</math> まで積分すると<ref>
<math>F(t) = e^{-(1+K)t}\int_{t_0}^t u(\tau)d\tau</math> で，<math>\frac{dF}{dt}</math> を <math>a</math> から <math>b</math> まで積分すると，<br />
<math>I(a, b) = \int_a^b \frac{dF}{dt}dt = F(b) - F(a)</math><br />
ここで，<math>F(t_0) = e^{-(1+K)t_0}\int_{t_0}^{t = t_0} u(\tau)d\tau = 0</math> より，<br />
<math>I(t_0, t) = F(t) - F(t_0) = F(t) = e^{-(1+K)t}\int_{t_0}^t u(\tau)d\tau</math>．<br />
</ref>，
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{-(1+K)t}\int_{t_0}^t u(t)dt \leqq 0</math>}}
すなわち，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_{t_0}^t u(t)dt \leqq 0</math>}}
を得る．これと [[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/一般の 2 階の微分方程式の場合#eq:3.18|式 (3.18) ]] より，
{{制御と振動の数学/equation|<math>0 \leqq u(t) \leqq (1+K)\int_{t_0}^t u(t)dt \leqq 0</math>}}
よって，
{{制御と振動の数学/equation|<math>u(t) \equiv 0</math>}}
となり，証明が完了する．<math>t<t_0</math> の場合も同様である．



<references />

<!-- ex:073:start-->
<div id="ex:73">
<strong>例73</strong><math>\quad</math>

<math>u(t) := \left\{ x(t) \right\}^2 + \left\{ x'(t) \right\}^2</math> とおいてももちろん証明はできる．試みよ．

<strong>解答例</strong>


<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:073:end-->




<!-- ex:074:start-->
<div id="ex:74">
<strong>例74</strong><math>\quad</math>

例と同様にして，<math>n</math> 階の微分方程式
{{制御と振動の数学/equation|<math>x^{(n)} + a_1x^{(n-1)} + a_2x^{(n-2)} + \cdots + a_{n-1}x' + a_nx = f(t)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(t_0) = \xi_1, x'(t_0) = \xi_2, \cdots x^{(n-1)}(t_0) = \xi_n</math>}}
の場合の解の一意性を証明せよ．

<strong>解答例</strong>

与方程式の解が一意であることを示すために，
:<math>x^{(n)} + a_1x^{(n-1)} + a_2x^{(n-2)} + \cdots + a_{n-1}x' + a_nx = 0</math>…①<br />
:<math>x(t_0) = x'(t_0) = x''(t_0) = \cdots = x^{(n-1)}(t_0) = 0</math><br />
の解が <math>x(t) \equiv 0</math> に限ることを示す．<br />
①について，<math>u(t) = |x| + |x'| + |x''| + \cdots + |x^{(n-1)}|</math> とおく．<br />
<math>x(t_0) = x'(t_0) = x''(t_0) = \cdots = 0</math> であるから，
:<math>x(t) = \int_{t_0}^t x'dt + x(t_0) = \int_{t_0}^t x'dt \quad (\because x(t_0) = 0)</math><br />
:<math>\therefore |x(t)| \leqq \int_{t_0}^t |x'|dt</math><br />
同様に，<br />
:<math>|x'(t)| \leqq \int_{t_0}^t |x''|dt</math><br />
:<math>|x''(t)| \leqq \int_{t_0}^t |x'''|dt</math>
:<math> \cdots </math>
:<math>|x^{(n-2)}| \leqq \int_{t_0}^t |x^{(n-1)}|dt</math>…以上の式を②<br />
また，
:<math>|x^{(n-1)}| \leqq \int_{t_0}^t |x^{(n)}| dt = \int_{t_0}^t |(-a_1x^{(n-1)} - a_2x^{(n-2)} - \cdots - a_{n-1}x' - a_nx)|dt</math>
:<math>\leqq \int_{t_0}^t \{ a_1|x^{(n-1)}| + a_2|x^{(n-2)}| + \cdots a_{n-1}|x'| + a_n|x| \} dt</math>…③<br />
今，<math>K = \mathrm{max }(a_1, a_2, a_3, \cdots , a_{n-1}, a_n)</math> とすると，②③より<br />
:<math>|x|+|x'|+|x''| + \cdots +|x^{(n-1)}| \leqq \int_{t_0}^t|x'|dt + \int_{t_0}^t|x''|dt + \int_{t_0}^t|x'''|dt + \cdots +\int_{t_0}^t |x^{(n)}|dt</math><br />
:<math>\leqq \int_{t_0}^t|x'|dt + \int_{t_0}^t|x''|dt + \int_{t_0}^t|x'''|dt + \cdots + \int_{t_0}^t |x^{(n-1)}|dt+K\int_{t_0}^t \{ |x^{(n-1)}| + |x^{(n-2)}| + \cdots + |x'| + |x| \}dt</math><br />
:<math>\leqq (K+1)\int_{t_0}^t \{ |x^{(n-1)}| + |x^{(n-2)}| + \cdots + |x'| + |x| \}dt</math><br />
すなわち，
<math>u \leqq (K+1)\int_{t_0}^t u\ dt</math>…④<br />
両辺に <math>e^{-(1+K)t} > 0</math> を掛けて，<br />
<math>ue^{-(1+K)t} \leqq e^{-(1+K)t}(1+K)\int_{t_0}^t u\ dt</math><br />
<math>\therefore ue^{-(1+K)t} - (1+K)e^{-(1+K)t}\int_{t_0}^t u\ dt \leqq 0</math><br />
<math>\therefore \frac{d}{dt} \left\{ e^{-(1+K)t}\int_{t_0}^t u\ dt\right\} \leqq 0</math><br />
両辺を <math>t_0</math> から <math>t</math> まで積分すると，<br />
<math>e^{-(1+K)t}\int_{t_0}^t u\ dt \leqq 0</math><br />
<math>\therefore \int_{t_0}^t u\ dt \leqq 0</math>…⑤<br />
<math>u</math> は明らかに，
<math>u = |x| + |x'| + |x''| + \cdots + |x^{(n-1)}| \geqq 0</math>…⑥<br />
④⑤⑥より<br />
<math>0 \leqq u \leqq \int_{t_0}^t u\ dt \leqq 0</math><br />
<math>\therefore u = 0</math>．<br />
<math>\therefore x = 0</math>．<br />




<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:074:end-->

[[カテゴリ:ラプラス変換]]