制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/指数関数の Laplace 変換とその応用のソースを表示

==§1==

前節で導いた公式
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[f'] = s\mathcal{L}[f] - f(0)</math>}}
において，<math>f(t) = e^{\alpha t}</math> とおくと，<math>f'(t) = \alpha e^{\alpha t}, f(0) = 1</math> であるから，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\alpha \mathcal{L}[e^{\alpha t}] = s \mathcal{L}[e^{\alpha t}] - 1</math>}}
となる．
{{制御と振動の数学/equation|<math>\therefore \mathcal{L}[e^{\alpha t}] = \frac{1}{s - \alpha}</math>}}
よって公式，
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{\alpha t} \sqsupset \frac{1}{s - \alpha}</math>|tag=(2.12)|label=eq:2.12}}
を得る．
ここで上式の右辺を <math>\frac{1}{s}</math> で展開してみると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{1}{s-\alpha} = \frac{1}{s(1 - \frac{\alpha}{s})} = \frac{1}{s} + \frac{\alpha}{s^2} + \frac{\alpha^2}{s^3} + \cdots</math><ref>
初項 <math>\frac{1}{s}</math>，公比 <math>\frac{\alpha}{s}</math> の無限等比級数．
</ref>}}
すなわち，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{1}{s-\alpha} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha^n}{s^{n + 1}}</math>}}
となるが，この原像は，式[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/f(t) の積分および微分の Laplace 変換#eq:2.8|(2.8)]]より，
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{\alpha t} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha^n t^n}{n!}</math>}}
である．これは <math>e^{\alpha t}</math> の [[w:%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%B1%95%E9%96%8B|Taylor 展開]]にほかならない．

==§2==

次に公式[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/指数関数の Laplace 変換とその応用#eq:2.12|(2.12)]] の応用として [[w:%E7%82%AD%E7%B4%A014|{{sup|14}}C]] による年代測定を説明しよう．
試料に含まれている {{sup|14}}C の濃度を <math>c(t)</math> とすると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{dc}{dt} = -\lambda c\quad \lambda</math> は壊変定数}}
なる微分方程式を満たす．すなわち炭素の放射性同位元素 {{sup|14}}C の壊変の速さは，その時の濃度に比例する．この式を [[w:%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B|Laplace 変換]]すると
{{制御と振動の数学/equation|<math>s\mathcal{L}[c] - c(0) = -\lambda\mathcal{L}[c]</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\therefore\mathcal{L}[c] = \frac{c(0)}{s + \lambda}</math>}}
この原像は、
{{制御と振動の数学/equation|<math>c(t) = c(0)e^{-\lambda t}</math>}}
である．これより経過年数は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>t = \frac{1}{\lambda}\log\frac{c(0)}{c(t)}</math>}}
と求まる．<math>c(t) = \frac{1}{2}c(0)</math> となる時間を半減期といい <math>T_{1/2}</math> で表す．{{sup|14}}C の場合は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>T_{1/2} = 5730</math> 年 <math>\pm 40</math> 年}}
である．半減期が分かれば、壊変定数が分かる．<ref>
<math>\lambda T_{1/2} = \log_e 2 \fallingdotseq 0.693</math>
</ref>
したがって，初期濃度 <math>c(0)</math> が分かれば現在の濃度 <math>c(t)</math> を測定することによって経過年数が分かる．これが {{sup|14}}C による年代測定の原理である．

<!-- ex:022:start-->
<div id="ex:22">
<strong>例22</strong><math>\quad</math>

<math>c(0)</math> の決定が大問題である．<math>c(0)</math> としては，1950年代の大気中の {{sup|14}}C の濃度をとる．これは奇怪である．理由を調べてみよ．

<strong>解答例</strong>

不明．

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:022:end-->


<!-- ex:023:start-->
<div id="ex:23">
<strong>例23</strong><math>\quad</math>

{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{dx}{dt} + ax = f(t), \quad x(0) = 0</math>|tag=(2.13)|label=eq:2.13}}

ここに

{{制御と振動の数学/equation|<math>
f(t) = 
\begin{cases} 
b,  & t \geqq 0\\
0,  & t < 0 
\end{cases}
</math>}}

を解け．ただし <math>a, b</math> は定数である．

<strong>解</strong>

Laplace 変換すると
{{制御と振動の数学/equation|<math>s\mathcal{L}[x] + a\mathcal{L}[x] = \frac{b}{s}</math>}}
これを <math>\mathcal{L}[x]</math> について解き，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[x] = \frac{b}{s(s + a)}</math>}}
さらに右辺を部分分数分解すると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[x] = \frac{b}{a}\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s + a}\right)</math><ref>
<math>\frac{1}{s(s + a)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + a}</math> とおいて <br />
<math>\frac{1}{s(s + a)} = \frac{(A + B)s + Aa}{s(s + a)}</math><br />
<math>\therefore A + B = 0, Aa = 1 \therefore A = \frac{1}{a}, B = -\frac{1}{a}</math><br />
</ref>}}
この原像を求めると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(t) = \frac{b}{a}\left(1 - e^{-at}\right)</math>}}
を得る．

この例は，時刻 <math>t=0</math> にスイッチを入れて部屋を暖房したときの温度変化を表す．
<math>x</math> は暖房前の室温（外界の温度に等しいと仮定している）からの偏位を表す．
定常状態の温度は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\lim_{t \to \infty}(t)=\frac{b}{a}</math>}}
であって，これは供給熱量と外界に逃げる熱量とが平衡を保つ状態での温度を示す．
これは平衡状態の式，すなわち式[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/指数関数の Laplace 変換とその応用#eq:2.13|(2.13)]] で <math>\frac{dx}{dt} = 0</math> とおいた式，
{{制御と振動の数学/equation|<math>ax = b</math>}}
の解と一致している．

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:023:end-->

==§3==

<!-- ex:024:start-->
<div id="ex:24">
<strong>例24</strong><math>\quad</math>

{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{dx}{dt} + ax = f(t), \quad x(0) = x_0</math>|tag=(2.14)|label=eq:2.14}}
を解け．

<strong>解</strong>

Laplace 変換すると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>s\mathcal{L}[x]-x_0 + a\mathcal{L}[x] = \mathcal{L}[f]</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\therefore \mathcal{L}[x] = \frac{x_0}{s + a} + \frac{\mathcal{L}[f]}{s + a}</math>}}
ところで，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{\mathcal{L}[f]}{s + a} = \frac{1}{s + a}\cdot\mathcal{L}[f] \sqsubset e^{-at} * f(t)</math>}}
となることを想い起こすと，原像は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(t) = e^{-at}x_0 + \int_0^t e^{-a(t-\tau)}f(\tau)d\tau</math>|tag=(2.15)|label=eq:2.15}}
となる．

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:024:end-->

式[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/指数関数の Laplace 変換とその応用#eq:2.15|(2.15)]]は[[w:%E5%AE%9A%E6%95%B0%E5%A4%89%E5%8C%96%E6%B3%95|定数変化の公式]]と呼ばれている重要な公式である．
その名前の由来は次のとおりである．
同次式，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{dx}{dt} + ax = 0,\quad x(0)=c</math>}}
の解は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>x = ce^{-at}</math>}}
であった．定数 <math>c</math> を変数 <math>u(t)</math> に置き換えて、非同次の式[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/指数関数の Laplace 変換とその応用#eq:2.14|(2.14)]]
の解を探す．すなわち，
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(t)=u(t)e^{-at}</math>|tag=(2.16)|label=eq:2.16}}
を式[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/指数関数の Laplace 変換とその応用#eq:2.14|(2.14)]]に代入すると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{-at}\frac{du}{dt} - ae^{-at}u + ae^{-at}u = f(t)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\therefore \frac{du}{dt} = e^{at}f(t)</math>}}
となる．これを <math>0</math> から <math>t</math> まで積分し，
{{制御と振動の数学/equation|<math>u(t) = \int_0^t e^{a\tau}f(\tau)d\tau + u(0), \quad u(0) = x(0)</math>}}
この結果を式[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/指数関数の Laplace 変換とその応用#eq:2.16|(2.16)]]に代入すると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(t) = e^{-at}u(t) = e^{-at}\left(\int_0^t e^{a\tau}f(\tau)d\tau + x(0)\right)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(t) = \int_0^t e^{a\tau-at}f(\tau)d\tau + e^{-at}x(0)</math>}}
となり求める結果を得る．

<math>\diamondsuit</math>


この公式は重要であるから，誘導法とともに覚えておくことが望ましい．


<!-- ex:025:start-->
<div id="ex:25">
<strong>例25</strong><math>\quad</math>
次の微分方程式を解け．解を直接微分方程式に代入して成否を確かめよ．
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{dx}{dt} + x = t;\quad x(0) = 2</math>}}

<strong>解答例</strong>

<math>s\mathcal{L}[x]-2+\mathcal{L}[x]=\frac{1}{s^2}</math><br />
<math>\mathcal{L}[x]=\frac{1}{s^2(s+1)}+\frac{2}{s+1}=\frac{-1}{s}+\frac{1}{s^2}+\frac{3}{s+1}</math><br />
<math>\therefore x = t-1+3e^{-t}</math><br />
このとき<br />
<math>x' = 1-3e^{-t}</math><br />
<math>\therefore x+x'=t-1+3e^{-t}+1-3e^{-t}=t</math><br />
<math>x(0)=-1+3^0=2</math><br />
よって解 <math>x</math> は与方程式の解のひとつ．<br />

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:025:end-->


<!-- ex:026:start-->
<div id="ex:26">
<strong>例26</strong><math>\quad</math>
次の微分方程式を解け．解を直接微分方程式に代入して成否を確かめよ．
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d^2x}{dt^2} - 3\frac{dx}{dt} + 2x = 0;\quad x(0) = 0, \quad x'(0) = 1</math>}}

<strong>解答例</strong>

<math>s^2\mathcal{L}[x]-1-3s\mathcal{L}[x]+2\mathcal{L}[x]=0</math><br />
<math>\mathcal{L}[x]=\frac{1}{(s-1)(s-2)}=\frac{1}{s-2}-\frac{1}{s-1}</math><br />
<math>\therefore x = e^{2t}-e^t</math><br />
このとき<br />
<math>x' = 2e^{2t}-e^t</math><br />
<math>x'' = 4e^{2t}-e^t</math><br />
<math>\therefore x''-3x'+2x = 4e^{2t}-e^t-3(2e^{2t}-e^t)+2(e^{2t}-e^t) = 0</math><br />
<math>x(0)=e^{2\cdot 0}-e^0 = 0</math><br />
<math>x'(0)=2e^{2\cdot 0} - e^0 = 1</math><br />
よって解 <math>x</math> は与方程式の解のひとつ．<br />

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:026:end-->


<!-- ex:027:start-->
<div id="ex:27">
<strong>例27</strong><math>\quad</math>
次の微分方程式を解け．解を直接微分方程式に代入して成否を確かめよ．
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d^2x}{dt^2} - 4x = 8;\quad x(0) = x'(0) = 0</math>}}

<strong>解答例</strong>

<math>s^2\mathcal{L}[x]-4\mathcal{L}[x]=\frac{8}{s}</math><ref><math>1 \sqsupset \frac{1}{s}</math> である．<math>s^2\mathcal{L}[x]-4\mathcal{L}[x]=8</math> と、うかつにもそうしがちだが、そうではない．</ref><br />
<math>\mathcal{L}[x]=\frac{8}{s(s+2)(s-2)} = \frac{-2}{s} + \frac{1}{s-2} + \frac{1}{s+2}</math><br />
<math>\therefore x = e^{2t} + e^{-2t} - 2</math><br />
このとき<br />
<math>x' = 2e^{2t}-2e^{-2t}</math><br />
<math>x'' = 4e^{2t}+4e^{-2t}</math><br />
<math>\therefore x''-4x = 4e^{2t}+4e^{-2t}-4(e^{2t} + e^{-2t} - 2) = 8</math><br />
<math>x(0)=e^0 + e^0 - 2 = 0</math><br />
<math>x'(0)=2e^0 - e^0 = 0</math><br />
よって解 <math>x</math> は与方程式の解のひとつ．<br />

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:027:end-->


<!-- ex:028:start-->
<div id="ex:28">
<strong>例28</strong><math>\quad</math>
次の微分方程式を解け．解を直接微分方程式に代入して成否を確かめよ．
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d^2x}{dt^2} + 5\frac{dt}{dx} +6x = f(t);\quad x(0) = x_0, x'(0) = v_0</math>}}

<strong>解答例</strong>

<math>\mathcal{L}[x] = \frac{x_0s + (v_0 + 5x_0)}{(s + 2)(s + 3)} + \frac{\mathcal{L}[f]}{(s + 2)(s + 3)}</math><br />


過渡解を <math>u(t)</math> とすると，<math>u</math> については<br />
<math>\mathcal{L}[u] = \frac{x_0s}{(s + 2)(s + 3)} + \frac{(v_0 + 5x_0)}{(s + 2)(s + 3)}</math><br />
<math>= x_0 \left( \frac{-2}{s + 2} + \frac{3}{s + 3} \right) + (v_0 + 5x_0) \left( \frac{1}{s + 2} - \frac{1}{s + 3} \right)</math><br />
この原像は <br />
<math>u(t) = x_0 \left( -2e^{-2t} + 3e^{-3t} \right) + (v_0 + 5x_0)\left(e^{-2t} - e^{-3t} \right)</math><br />
<math>=x_0\left(-2e^{-2t} + 3e^{-3t} + 5e^{-2t}-5e^{-3t}\right) + v_0\left(e^{-2t} - e^{-3t}\right)</math><br />
<math>=x_0(3e^{-2t} - 2e^{-3t}) + v_0(e^{-2t} - e^{-3t})</math><br /><br />
定常解を <math>v(t)</math> とすると，<math>v</math> については<br />
<math>\mathcal{L}[v] = \frac{\mathcal{L}[f]}{(s + 2)(s + 3)}</math><br />
<math>=\left( \frac{1}{s + 2} - \frac{1}{s + 3} \right)\cdot \mathcal{L}[f] </math><br />
この原像は<br />
<math>v(t) = (e^{-2t} - e^{-3t}) * f(t)</math><br />
<math>= \int_0^t \left \{ e^{-2(t - \tau)} - e^{-3(t - \tau)} \right \} f(\tau)d\tau</math><br /><br />
よって解は<br />
<math>x(t) = u(t) + v(t) = x_0(3e^{-2t} - 2e^{-3t}) + v_0(e^{-2t} - e^{-3t}) + \int_0^t \left \{ e^{-2(t - \tau)} - e^{-3(t - \tau)} \right \} f(\tau)d\tau</math><br />


続いて検算を実施する．積分範囲の上端が変数である定積分の微分について復習すると，<br />
<math>\frac{d}{dt}\int_0^t f(\tau)d\tau = f(t), \quad</math>ただし，<math>\int_0^t f(\tau)d\tau</math> の被積分形 <math>f(\tau)</math> の中にすでに変数 <math>t</math> が入っていてはいけない．<ref>
この定理および但し書きの意味を実際に確かめておく．
<math>f(t)=\int_0^t e^{(t-\tau)}d\tau</math> のとき，<math>f'(t)</math> を求める．<br />
1.実際に <math>f(t)</math> の形を求めてから <math>t</math> で微分する．<br />
<math>f(t) = [-e^{(t-\tau)}]_0^t = [e^{(t-\tau)}]_t^0 = e^t - 1 \therefore f'(t) = e^t</math>…①<br /><br />
2.被積分部分の <math>t</math> 依存部分を外に出してから <math>f(t)</math> の形を求める．<br />
<math>f(t) = \int_0^t e^t\cdot e^{-\tau}d\tau = e^t\int_0^t e^{-\tau}d\tau</math>…②<br />
②を実際に計算する．<br />
<math>e^t\int_0^t e^{-\tau}d\tau = e^t [ -e^{-\tau}]_0^t = e^t [ -e^{-\tau}]_t^0 = e^t(1 - e^{-t}) = e^t - 1</math><br />
これは①と一致する．<br /><br />
3. ②から「積分範囲の上端が変数である定積分の微分」を適用して <math>f'(t)</math> を求める．<br />
<math>f'(t) = \frac{d}{dt} \left \{ e^t\int_0^t e^{-\tau}d\tau \right \}</math><br />
<math>= \left( \frac{d}{dt}e^t \right) \int_0^t e^{-\tau}d\tau + e^t\cdot \frac{d}{dt} \left( \int_0^t e^{-\tau}d\tau \right)</math><br />
<math>= e^t [-e^{-\tau}]_0^t + e^t\cdot e^{-t}</math><br />
<math> = e^t ( 1 - e^{-t} ) + 1 = e^t - 1 + 1 = e^t</math>…③<br />
ここで③と①は一致し、本定理の意味を確認できた．但し書きについては，<br />
<math>f'(t) = \frac{d}{dt} \int_0^t e^{t - \tau}d\tau</math> を求めるのに<br />
<math>e^{t - \tau} |_{\tau = t} = e^{t - t} = 1</math> とすると①③に一致しない．<br />
</ref><br />


定常解 <math>v(t)</math> については <br />
<math>v(t) = \int_0^t \left \{ e^{-2(t - \tau)} - e^{-3(t - \tau)} \right \} f(\tau)d\tau</math><br />
<math>= \int_0^t \left \{ e^{-2t} \cdot e^{2\tau} - e^{-3t} \cdot e^{3\tau} \right \} f(\tau)d\tau</math><br />
<math>=e^{-2t}\int_0^t e^{2\tau}f(\tau)d\tau - e^{-3t}\int_0^t e^{3\tau}f(\tau)d\tau</math><br />
<math>v'(t) = -2e^{-2t}\int_0^t e^{2\tau}f(\tau)d\tau + e^{-2t}e^{2t}f(t) + 3e^{-3t}\int_0^t e^{3\tau}f(\tau)d\tau - e^{-3t}e^{3t}f(t)</math><br />
<math>= -2e^{-2t} \int_0^t e^{2\tau}f(\tau)d\tau +3e^{-3t}\int_0^t e^{3\tau}f(\tau)d\tau</math><br />
<math>v''(t) = 4e^{-2t} \int_0^t e^{2\tau}f(\tau)d\tau -2e^{-2t}\cdot e^{2t}f(t) -9e^{-3t}\int_0^t e^{3\tau}f(\tau)d\tau + 3e^{-3t}e^{3t}f(t)</math><br />
<math>= 4e^{-2t} \int_0^t e^{2\tau}f(\tau)d\tau - 9e^{-3t}\int_0^t e^{3\tau}f(\tau)d\tau + f(t)</math><br />
よって<br />
<math>v'' + 5v' + 6v = \left \{ 4 + 5(-2) + 6\cdot 1 \right \} \int_0^t e^{2\tau}f(\tau)d\tau + \left \{ (-9) + 5\cdot 3 + 6(-1) \right \} \int_0^t e^{3\tau}f(\tau)d\tau + f(t)</math><br />
<math>= f(t)</math><br />


過渡解 <math>u(t)</math> については <br />
<math>u(t) = x_0(3e^{-2t} -2e^{-3t}) + v_0(e^{-2t} - e^{-3t})</math><br />
<math>u'(t) = x_0(-6e^{-2t}+6e^{-3t}) + v_0(-2e^{-2t}+3e^{-3t})</math><br />
<math>u''(t) = x_0(12e^{-2t}-18e^{-3t}) + v_0(4e^{-2t} -9e^{-3t})</math><br />
よって<br />
<math>u'' + 5u' + 6u = x_0 \left[ \left \{12 +5(-6) + 6\cdot 3 \right \}e^{-2t} + \left \{ (-18) + 5\cdot 6 + 6(-2) \right \} \right] + v_0 \left[ \left\{ 4 + 5(-2) + 6\cdot 1 \right\} e^{-2t} + \left\{ -9 + 5\cdot 3 + 6(-1) \right\} e^{-3t} \right]</math><br />
<math>= 0</math><br />
<math>x(0)=u(0)=x_0(3e^0-2e^0)+v_0(e^0-e^0)=x_0</math><br />
<math>x'(0)=u'(0)=x_0(-6e^0+6e^0)+v_0(-2e^0+3e^0)=v_0</math><br />
よって <math>x</math> は与方程式の解のひとつ．<br />

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:028:end-->

==§4==
<strong>補題</strong>
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{\alpha t}f(t) * e^{\alpha t}g(t) = e^{\alpha t} \{ f(t) * g(t) \}</math>|tag=(2.17a)|label=eq:2.17a}}


<strong>証明</strong>

[[w:%E7%95%B3%E3%81%BF%E8%BE%BC%E3%81%BF|合成積]]の定義より
{{制御と振動の数学/equation|左辺<math> = \int_0^t e^{\alpha(t - \tau)}f(t-\tau)\cdot e^{\alpha \tau}g(\tau)d\tau</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>= \int_0^t e^{\alpha t}\cdot e^{-\alpha\tau}e^{\alpha\tau}\cdot f(t-\tau)g(\tau)d\tau</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>=e^{\alpha t}\int_0^t f(t-\tau)g(\tau)d\tau = </math>右辺}}
を得る．

<math>\diamondsuit</math>

この補題[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/指数関数の Laplace 変換とその応用#eq:2.17a|(2.17a)]]を適用すれば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\underbrace{e^{\alpha t} * e^{\alpha t} * \cdots * e^{\alpha t}}_{n\text{個}} = e^{\alpha t} (\underbrace{1*1*\cdots*1}_{n\text{個}}) = \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{\alpha t}</math>}}
を得る．ところで，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[\underbrace{e^{\alpha t} * e^{\alpha t} * \cdots * e^{\alpha t}}_{n\text{個}}] = (\mathcal{L}[e^{\alpha t}])^n = \frac{1}{(s-\alpha)^n}</math>}}
よって次の公式を得る．
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{\alpha t} \sqsupset \frac{1}{(s-\alpha)^n}</math>|tag=(2.17b)|label=eq:2.17b}}
この公式を[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/f(t) の積分および微分の Laplace 変換#eq:2.8|前の結果]]
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{t^{n - 1}}{(n - 1)!} \sqsupset \frac{1}{s^n}</math>|tag=(2.8)|}}
と比較すると，<math>t</math> 領域で <math>e^{\alpha t}</math> を掛けることと，<math>s</math> 領域で <math>\alpha</math> だけ移動することとが対応している．
このことは，もっと一般的に成立する事実である．

<div id="第一移動定理">
<strong>第一移動定理</strong>

{{制御と振動の数学/equation|<math>f(t) \sqsupset F(s) \Longrightarrow f(t)e^{\alpha t} \sqsupset F(s-\alpha)</math>}}

<strong>証明</strong>

{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^{\infty} f(t)e^{\alpha t}\cdot e^{-st}dt = \int_0^{\infty}f(t)e^{-(s-\alpha)t}dt = F(s-\alpha)</math><ref>
ここではすべての定理を，可能な限り合成積および[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/Laplace 変換の定義とその基本的性質|Laplace 変換の基本的性質]]から導出するように努めており，<math>\frac{1}{(s-\alpha)^n}</math> の原像も合成積から導出しているが，第一移動定理については，Laplace 変換の定義から直接導出している．
</ref>
|tag=(2.17c)|label=eq:2.17c}}

<math>\diamondsuit</math>

この定理から，直ちに，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{t^{n-1}}{(n-1)!} \sqsupset \frac{1}{s^n} \Longrightarrow \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{\alpha t} \sqsupset \frac{1}{(s-\alpha)^n}</math>}}
が導かれるのである．

<!-- ex:029:start-->
<div id="ex:29">
<strong>例29</strong><math>\quad</math>
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d^2}{dt^2} + 4 \frac{dx}{dt} + 4x = 3e^{-2t} \quad x(0) = 2, x'(0) = 1</math>}}
を解け．

<strong>解答例</strong>

与式を Laplace 変換すると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>s^2\mathcal{L}[x] - 2s + 1 + 4(\mathcal{L}[x] - 2) + 4\mathcal{L}[x] = \frac{3}{s + 2}</math>}}
これを <math>\mathcal{L}[x]</math> について解くと，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[x] = \frac{2s + 9}{(s + 2)^2} + \frac{3}{(s + 2)^3} = \frac{2}{s + 2} + \frac{5}{(s + 2)^2} + \frac{3}{(s + 2)^3}</math><ref>
<math>\frac{A}{s + 2} + \frac{B}{(s + 2)^2} = \frac{2s + 9}{(s + 2)^2}</math> と置いて，<math>A = 2, B = 5</math>
</ref>}}
となるから，この原像は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(t) = \left(2 + 5t + \frac{3}{2}t^2\right)e^{-2t}</math>}}
である．

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:029:end-->


<!-- ex:030:start-->
<div id="ex:30">
<strong>例30</strong><math>\quad</math>
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d^2}{dt^2} + 2a\frac{dx}{dt} + a^2x = f(t), \quad x(0) = x'(0) = 0</math>}}
を解け．

<strong>解</strong>

{{制御と振動の数学/equation|<math>x(t) \sqsupset X(s), \quad f(t) \sqsupset F(s)</math>}}
とおくと，
{{制御と振動の数学/equation|<math>s^2X(s) + 2asX(s) + a^2X(s) = F(s)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\therefore X(s) = \frac{F(s)}{(s + a)^2} \sqsubset te^{-at}*f(t)</math>}}
それゆえ，
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(t) = \int_0^t (t-\tau)e^{-a(t-\tau)}f(\tau)d\tau</math>}}
を得る．

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:030:end-->


<!-- ex:031:start-->
<div id="ex:31">
<strong>例31</strong><math>\quad</math>

次の微分方程式を解け．
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{dx}{dt} + x = e^{-t}, \quad x(0) = 1</math>}}

<strong>解等例</strong>

<math>s\mathcal{L}[x] - 1 + \mathcal{L}[x] = \frac{1}{s + 1}</math>

<math>\therefore \mathcal{L}[x] = \frac{1}{s+1} + \frac{1}{(s+1)^2}</math>

<math>\therefore x = (1 + t)e^{-t}</math>

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:031:end-->


<!-- ex:032:start-->
<div id="ex:32">
<strong>例32</strong><math>\quad</math>

次の微分方程式を解け．
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d^2t}{dt^2} + 2\frac{dx}{dt} + x = te^{-t}, \quad x(0) = x'(0) = 0</math>}}

<strong>解答例</strong>

<math>s^2\mathcal{L}[x] + 2s\mathcal{L}[x] + \mathcal{L}[x] = \frac{1}{(s + 1)^2}</math>

<math>\mathcal{L}[x] = \frac{1}{(s + 1)^4}</math>

<math>\therefore x = \frac{t^3}{3!}e^{-t}</math>

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:032:end-->



<!-- ex:033:start-->
<div id="ex:33">
<strong>例33</strong><math>\quad</math>

次の微分方程式を解け．
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d^2x}{dt^2} + 4\frac{dx}{dt} + 4x = 3te^{-2t}, \quad x(0) = 2, x'(0) = 1</math>}}

<strong>解答例</strong>

<math>s^2\mathcal{L}[x] - 2s - 1 + 4(s\mathcal{L}[x] - 2) + 4\mathcal{L}[x] = \frac{3}{(s + 2)^2}</math>

<math>\mathcal{L}[x] = \frac{2s + 9}{(s + 2)^2} + \frac{3}{(s + 2)^4} = \frac{2}{s + 2} + \frac{5}{(s + 2)^2} + \frac{3}{(s + 2)^4}</math>

<math>x = (2 + 5t + \frac{t^3}{2})e^{-2t}</math>

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:033:end-->


<!-- ex:034:start-->
<div id="ex:34">
<strong>例34</strong><math>\quad</math>

次の微分方程式を解け．
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d^2x}{dt^2} + 2\frac{dx}{dt}-3x=16e^t, \quad x(0) = x'(0) = 0</math>}}

<strong>解答例</strong>

<math>s^2\mathcal{L}[x] + 2s\mathcal{L}[x] - 3\mathcal{L}[x] = \frac{16}{s-1}</math>

<math>\mathcal{L}[x] = \frac{16}{(s - 1)^2(s + 3)} = \frac{1}{s + 3} - \frac{1}{s - 1} + \frac{4}{(s + 1)^2}</math>

<math>\therefore x = e^{-3t} + (4t - 1)e^t</math>

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:034:end-->

[[カテゴリ:ラプラス変換]]