制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/同次微分方程式のソースを表示

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<div id="ex:104">
<strong>例104</strong><math>\quad</math>

{{制御と振動の数学/equation|<math>\begin{cases}
\frac{dx}{dt}=-y \\
\frac{dy}{dt}=x
\end{cases}\quad\begin{cases}
x(0)=\alpha \\
y(0)=\beta
\end{cases}</math>|tag=(5.1)|label=eq:5.1}}
を解け．


これは普通に解けばよい．<math>x\sqsupset X, y\sqsupset Y</math> とおいて[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/同次微分方程式#eq:5.1|式 (5.1) ]]を[[w:%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B|Laplace 変換]]すれば
{{制御と振動の数学/equation|<math>\begin{cases}
sX - \alpha &= -Y \\
sY - \beta  &= X
\end{cases}</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\begin{pmatrix}
s &  1 \\
-1 & s
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta
\end{pmatrix}</math><ref>
:<math>s\begin{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
Y \\
-X
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta
\end{pmatrix}
</math><br />
:<math>\begin{pmatrix}
s & 0 \\
0 & s
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
0  & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta
\end{pmatrix}</math><br />
<math>\therefore\begin{pmatrix}
s  & 1 \\
-1 & s
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta
\end{pmatrix}
</math><br />
</ref>}}

{{制御と振動の数学/equation|<math>\therefore
\begin{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
s &  1 \\
-1 & s
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta
\end{pmatrix}=
\frac{1}{s^2+1}
\begin{pmatrix}
s & -1 \\
1 & s
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac{\alpha s}{s^2+1} + \frac{-\beta}{s^2+1} \\
\frac{\alpha}{s^2+1}   + \frac{\beta s}{s^2+1}
\end{pmatrix}</math>}}
この原像を求めると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\begin{cases}
x(t)=\alpha\cos t - \beta\sin t \\
y(t)=\alpha\sin t + \beta\cos t
\end{cases}</math>|tag=(5.2)|label=eq:5.2}}
を得る．
<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:104:end-->
<references />




<!-- ex:105:start-->
<div id="ex:105">
<strong>例105</strong><math>\quad</math>

次の連立微分方程式を解け．
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\begin{cases}
x' = -x + 3y \\
y' = -2x + 4y
\end{cases}
\quad
\begin{cases}
x(0) = \alpha \\
y(0) = \beta
\end{cases}</math>}}

<strong>解答例</strong>

<math>X \sqsubset x, Y \sqsubset y</math> とおいて，与方程式を Laplace 変換すると，<br />
<math>\begin{pmatrix}
s+1 & -3  \\
2   & s-4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta
\end{pmatrix}</math><br />
<math>\therefore
\begin{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
s+1 & -3  \\
2   & s-4
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta
\end{pmatrix}
=
\frac{1}{s^2-3s+2}
\begin{pmatrix}
s-4 & 3   \\
-2  & s+1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta
\end{pmatrix}
=
\frac{1}{(s-1)(s-2)}
\begin{pmatrix}
\alpha(s-4) + 3\beta  \\
-2\alpha + \beta(s+1)
\end{pmatrix}
</math><br />
<math>\frac{\alpha s - 4\alpha}{(s-1)(s-2)} = \frac{3\alpha}{s-1} - \frac{2\alpha}{s-2}</math>…①<br />
<math>\frac{3\beta}{(s-1)(s-2)} = \frac{-3\beta}{s-1} + \frac{3\beta}{s-2}</math>…②<br />
①②の原像は，<br />
<math>x = 3\alpha e^{t} - 2\alpha e^{2t} - 3\beta e^{t} + 3\beta e^{2t}</math><br />
<math>\therefore x = \alpha(3e^{t}-2e^{2t}) + 3(-e^{t}+e^{2t})\beta.</math><br />
同様に<br />
<math>\frac{-2\alpha}{(s-1)(s-2)} = 2\alpha\left(\frac{1}{s-1} - \frac{1}{s-2}\right)</math>…③<br />
<math>\frac{\beta(s+1)}{(s-1)(s-2)} = \frac{-2\beta}{s-1} + \frac{3\beta}{s-2}</math>…④<br />
③④の原像は，<br />
<math>y = 2\alpha e^t - 2\alpha e^{2t} - 2\beta e^t + 3\beta e^{2t}</math><br />
<math>\therefore y = 2(e^t-e^{2t})\alpha + (-2e^t+3e^{2t})\beta</math><br />
<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:105:end-->


<!-- ex:106:start-->
<div id="ex:106">
<strong>例106</strong><math>\quad</math>

次の連立微分方程式を解け．
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\begin{cases}
x' -\alpha x -\beta y  &= \beta e^{\alpha t} \\
y' + \beta x -\alpha y &= 0
\end{cases}
\quad
\begin{cases}
x(0) = 0 \\
y(0) = 1
\end{cases}</math>}}

<strong>解答例</strong>

<math>X \sqsubset x, Y \sqsubset y</math> とおいて，与方程式を Laplace 変換すると，<br />
<math>
\begin{cases}
sX -\alpha X -\beta Y = \frac{\beta}{s-\alpha} \\
sY - 1 +\beta X - \alpha Y = 0
\end{cases}</math><br />

<math>\therefore
\begin{pmatrix}
s-\alpha & -\beta   \\
\beta   & s-\alpha 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{\beta}{s-\alpha} \\
1
\end{pmatrix}</math><br />
<math>\therefore
\begin{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix}=
\frac{1}{(s-\alpha)^2+\beta^2}
\begin{pmatrix}
s-\alpha & \beta    \\
-\beta   & s-\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{\beta}{s-\alpha} \\
1
\end{pmatrix}</math><br />
<math>=
\frac{1}{(s-\alpha)^2+\beta^2}
\begin{pmatrix}
2\beta \\
\frac{-\beta^2}{s-\alpha} + (s - \alpha)
\end{pmatrix}</math><br />
<math>
= \mathcal{L}^{-1}[e^{\alpha t}]</math><ref>
この書き方は…厳密にはおかしいというべきかもしれない．
</ref><math>\cdot \frac{1}{s^2+\beta^2} \begin{pmatrix}
2\beta \\
\frac{-\beta}{s} + s
\end{pmatrix}</math><br />
<math>
X = \mathcal{L}^{-1}[e^{\alpha t}]\cdot\frac{2\beta}{s^2+\beta^2}</math><br />
この原像は，<br />
<math>x = e^{\alpha t}\cdot 2\sin\beta t</math><br />
また，<br />
<math>Y = \mathcal{L}^{-1}[e^{\alpha t}]\frac{1}{s^2+\beta^2}\left(\frac{-\beta^2}{s} + s\right)</math><br />
<math>= \mathcal{L}^{-1}[e^{\alpha t}] \frac{1}{s^2+\beta^2} \frac{s^2-\beta^2}{s}</math><br />
これを部分分数展開すると，<br />
<math>Y = \mathcal{L}^{-1}[e^{\alpha t}] \left( \frac{2s}{s^2 + \beta^2} - \frac{1}{s}\right)</math><br />
この原像は，<br />
<math>y = e^{\alpha t} (2\cos\beta t - 1)</math><br />
<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:106:end-->


<!-- ex:107:start-->
<div id="ex:107">
<strong>例107</strong><math>\quad</math>

次の連立微分方程式を解け．
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\begin{cases}
x' + m(y - z) &= 1\\
y' + m(z - x) &= 1\\
z' + m(x - y) &= 1
\end{cases}
\quad
\begin{cases}
x(0) = \alpha \\
y(0) = \beta \\
z(0) = \gamma
\end{cases}</math>}}

<strong>解答例</strong>


<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:107:end-->

[[カテゴリ:微分方程式]]