制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/同次微分方程式

例104$$

テンプレート:制御と振動の数学/equation を解け．

これは普通に解けばよい．$x⊐X,y⊐Y$ とおいて式 (5.1) をLaplace 変換すれば テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation

テンプレート:制御と振動の数学/equation この原像を求めると， テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る． $\mathrm{♢}$

例105$$

次の連立微分方程式を解け． テンプレート:制御と振動の数学/equation

解答例

$X⊏x,Y⊏y$ とおいて，与方程式を Laplace 変換すると，
$\left(\begin{array}{cc}s+1& -3\\ 2& s-4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)$
$\therefore \left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}s+1& -3\\ 2& s-4\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)=\frac{1}{s^2-3s+2}\left(\begin{array}{cc}s-4& 3\\ -2& s+1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)=\frac{1}{(s-1)(s-2)}\left(\begin{array}{c}\alpha (s-4)+3\beta \\ -2\alpha +\beta (s+1)\end{array}\right)$
$\frac{\alpha s-4\alpha }{(s-1)(s-2)}=\frac{3\alpha }{s-1}-\frac{2\alpha }{s-2}$…①
$\frac{3\beta }{(s-1)(s-2)}=\frac{-3\beta }{s-1}+\frac{3\beta }{s-2}$…②
①②の原像は，
$x=3\alpha e^t-2\alpha e^{2t}-3\beta e^t+3\beta e^{2t}$
$\therefore x=\alpha (3e^t-2e^{2t})+3(-e^t+e^{2t})\beta .$
同様に
$\frac{-2\alpha }{(s-1)(s-2)}=2\alpha (\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s-2})$…③
$\frac{\beta (s+1)}{(s-1)(s-2)}=\frac{-2\beta }{s-1}+\frac{3\beta }{s-2}$…④
③④の原像は，
$y=2\alpha e^t-2\alpha e^{2t}-2\beta e^t+3\beta e^{2t}$
$\therefore y=2(e^t-e^{2t})\alpha +(-2e^t+3e^{2t})\beta$
$\mathrm{♢}$

例106$$

次の連立微分方程式を解け． テンプレート:制御と振動の数学/equation

解答例

$X⊏x,Y⊏y$ とおいて，与方程式を Laplace 変換すると，
$\{\begin{array}{c}sX-\alpha X-\beta Y=\frac{\beta }{s-\alpha }\\ sY-1+\beta X-\alpha Y=0\end{array}$

$\therefore \left(\begin{array}{cc}s-\alpha & -\beta \\ \beta & s-\alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{\beta }{s-\alpha }\\ 1\end{array}\right)$
$\therefore \left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\frac{1}{(s-\alpha {)}^2+{\beta }^2}\left(\begin{array}{cc}s-\alpha & \beta \\ -\beta & s-\alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{\beta }{s-\alpha }\\ 1\end{array}\right)$
$=\frac{1}{(s-\alpha {)}^2+{\beta }^2}\left(\begin{array}{c}2\beta \\ \frac{-{\beta }^2}{s-\alpha }+(s-\alpha )\end{array}\right)$
$={ℒ}^{-1}[e^{\alpha t}]$$\cdot \frac{1}{s^2+{\beta }^2}\left(\begin{array}{c}2\beta \\ \frac{-\beta }{s}+s\end{array}\right)$
$X={ℒ}^{-1}[e^{\alpha t}]\cdot \frac{2\beta }{s^2+{\beta }^2}$
この原像は，
$x=e^{\alpha t}\cdot 2\sin \beta t$
また，
$Y={ℒ}^{-1}[e^{\alpha t}]\frac{1}{s^2+{\beta }^2}(\frac{-{\beta }^2}{s}+s)$
$={ℒ}^{-1}[e^{\alpha t}]\frac{1}{s^2+{\beta }^2}\frac{s^2-{\beta }^2}{s}$
これを部分分数展開すると，
$Y={ℒ}^{-1}[e^{\alpha t}](\frac{2s}{s^2+{\beta }^2}-\frac{1}{s})$
この原像は，
$y=e^{\alpha t}(2\cos \beta t-1)$
$\mathrm{♢}$

例107$$

次の連立微分方程式を解け． テンプレート:制御と振動の数学/equation

解答例

$\mathrm{♢}$