制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/(sI-A)^-1の計算のソースを表示

<math>(sI-A)^{-1}</math>の計算は逆行列を求める普通の計算に従えばよいのであるが、次のように計算することができる．
以下，行列 <math>A</math> の行列式を <math>|A|</math> または <math>\det A</math> などで表すことにする．

[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/行列による表示、その２#eq:5.8|式 (5.8) ]]に見られる通り，
<math>(sI-A)^{-1}</math> の各要素は共通の分母として，
{{制御と振動の数学/equation|<math>A = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}, \quad \det(sI-A) = s^2 + 1</math>}}
を持つので，各要素は <math>\frac{bs+c}{s^2+1}</math> の形をしている．そこで，
{{制御と振動の数学/equation|<math>(sI-A)^{-1} = \frac{Bs+C}{s^2+1}\quad (B, C</math> は行列)}}
とおいて <math>B, C</math> を求めることを考えよう．
まず <math>s^2+1</math> と <math>sI-A</math> とを両辺にかけると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>(s^2+1)I = (sI-A)Bs+(sI-A)C</math>}}
となる．この両辺の係数を比較すると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>s^2</math> の係数：<math>I=B</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>s</math> の係数：<math>0 = -AB + C</math>}}
これより <math>C=A</math> を得る．よって，
{{制御と振動の数学/equation|<math>(sI-A)^{-1} = \frac{s}{s^2+1}I + \frac{1}{s^2+1}A</math>}}
を得る．この原像は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>I\cos t + A\sin t = \begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix}</math>}}
となって，[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/行列による表示、その２#eq:5.8|式 (5.8) ]]と一致する．

<!-- ex:112:start-->
<div id="ex:112">
<strong>例112</strong><math>\quad</math>

[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/同次微分方程式#ex:105|例 105 ]]に対して <math>(sI-A)^{-1}</math> を計算せよ．

<strong>解答例</strong>

<math>A=\begin{pmatrix}-1&3\\-2&4\end{pmatrix}, \quad sI-A = \begin{pmatrix}s+1&-3\\2&s-4\end{pmatrix}, \quad \det (sI-A) = s^2-3s+2</math> であるから，
:<math>(sI - A)^{-1} = \frac{Bs + C}{s^2-3s+2}</math><br />
とおいて両辺に左から <math>(s^2-3s+2)(sI-A)</math> をかけると，
:<math>(s^2-3s+2)I = (sI-A)Bs + (sI-A)C</math>…①<br />
:<math>s^2</math> の項：<math>I=B</math><br />
:<math>s</math> の項：<math>-3I=-AB+C</math><br />
<math>B=I</math> より <math>-3I = -A + C \therefore C = A-3I</math><br />
:<math>\therefore (sI-A)^{-1} = \frac{Is + (A-3I)}{(s-1)(s-2)}=\frac{2I-A}{s-1} + \frac{A-I}{s-2}</math><br />
なお，①の <math>s^0 = 1</math> の項を等置すると，<br />
:<math>2I = -AC</math><br />
<math>C = A-3I</math> より，<math>2I = -A(A-3I)</math><br />
:<math>\therefore A^2 - 3A + 2I = O</math>…②<br />
②は <math>A</math> に関する [[w:%E3%82%B1%E3%82%A4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86| Cayley–Hamilton の定理]]を示している．

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:112:end-->




<!-- ex:113:start-->
<div id="ex:113">
<strong>例113</strong><math>\quad</math>

[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/同次微分方程式#ex:106|例 106 ]]に対して <math>(sI-A)^{-1}</math> を計算せよ．

<strong>解答例</strong>

<math>A=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\-\beta&\alpha\end{pmatrix},\quad sI-A = \begin{pmatrix}s-\alpha&-\beta\\\beta&s-\alpha\end{pmatrix}, \quad \det (sI-A) = (s-\alpha)^2+\beta^2</math> であるから，
:<math>(sI - A)^{-1} = \frac{Bs + C}{(s-\alpha)^2+\beta^2}</math><br />
とおいて両辺に左から <math>\{(s-\alpha)^2+\beta^2\}(sI-A)</math> をかけると，
:<math>(s^2-2\alpha s + \alpha^2+\beta^2)I = (sI-A)Bs + (sI-A)C</math>…①<br />
:<math>s^2</math> の項：<math>I=B</math><br />
:<math>s</math> の項：<math>-2\alpha I=-AB+C</math><br />
<math>B=I</math> より <math>-2\alpha I = -A + C \therefore C = A-2\alpha I</math><br />
<math>\therefore (sI-A)^{-1} = \frac{Is + (A-2\alpha I)}{(s-\alpha)^2+\beta^2}=\frac{(s-\alpha)I}{(s-\alpha)^2+\beta^2} + \frac{A-\alpha I}{(s-\alpha)^2+\beta^2}</math><br />
なお①の <math>1</math> の係数を比較して，<br />
:<math>(\alpha^2 + \beta^2)I=-AC=-A(A-2\alpha I)</math><br />
:<math>\therefore A^2 -2\alpha A + (\alpha^2 + \beta^2)I = O</math>…②<br />
②は <math>A=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\-\beta&\alpha\end{pmatrix}</math> に関する[[w:%E3%82%B1%E3%82%A4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86| Cayley–Hamilton の定理]]を示している．

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:113:end-->

[[カテゴリ:微分方程式]]