制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/Laplace 変換の基本的性質のソースを表示

[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換|前章]]と同様に，次の基本的性質が成立する．
<math>f(t), g(t)</math> を複素数値関数，<math>\alpha, \beta</math> を複素数とする．


<div id="laplace-fundamental">
<strong>複素数値関数の Lapalce 変換の基本的性質</strong>

<div id="laplace-fundamental:1">
Ⅰ
{{制御と振動の数学/equation|<math>1 \sqsupset \frac{1}{s}</math>}}

<div id="laplace-fundamental:2">
Ⅱ <math>f(t) \sqsupset F(s), g(t) \sqsupset G(s)</math> とすれば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\alpha f(t) + \beta g(t) \sqsupset \alpha F(s) + \beta G(s)</math>}}

<div id="laplace-fundamental:3">
Ⅲ
{{制御と振動の数学/equation|<math> f(t) * g(t) \sqsupset F(s)G(s)</math>}}

<strong>証明</strong>

第 1 段：
<math>f(t), g(t)</math> が実数値関数のとき，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[f*g] = \int_0^{\infty} (f*g)e^{-st}dt</math>}}
<math>s=\sigma+i\omega</math> とすると，積分の定義から，
{{制御と振動の数学/equation|<math>=\int_0^{\infty} (f*g)e^{-\sigma t}\cos\omega t\ dt - i\int_0^{\infty}(f*g)e^{-\sigma t}\sin\omega t\ dt</math><ref>
<math>(f*g)e^{-st} = (f*g)e^{-(\sigma + i\omega)t}</math><br />
<math>= (f*g)e^{-\sigma t}e^{-i\omega t}</math><br />
<math>= (f*g)e^{-\sigma t} \left\{ \cos\omega t - i\sin\omega t \right\}</math><br />
</ref>}}
である．第 1 項を <math>I_1</math>，第 2 項を <math>-iI_2</math> とおき，積分順序を交換すると，[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換|前章]]と同様にして<ref>
<math>\int_0^{\infty}dt\left\{\int_0^t d\tau\ f(t-\tau)g(\tau)\right\}e^{-st} = \int_0^{\infty} d\tau \left\{ \int_{\tau}^{\infty} dt\ f(t-\tau)e^{-st}\right\}g(\tau)</math>
</ref>，
{{制御と振動の数学/equation|<math>I_1 = \int_0^{\infty} \left\{ \int_{\tau}^{\infty} f(t-\tau) e^{-\sigma t} \cos\omega t\ dt \right\} g(\tau)d\tau</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>I_2 = \int_0^{\infty} \left\{ \int_{\tau}^{\infty} f(t-\tau) e^{-\sigma t} \sin\omega t\ dt \right\} g(\tau)d\tau</math>}}
を得る．よって <math>I_1-iI_2</math> は再び積分の定義により，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^{\infty} \left\{ \int_{\tau}^{\infty} f(t-\tau) e^{-\sigma t} (\cos\omega t\ - i\sin\omega t) dt \right\} g(\tau)d\tau</math>}}
となる．よって [[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換|前章]]と同じ関係式，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^{\infty}(f*g)e^{-st}dt = \int_0^{\infty} \left\{ \int_{\tau}^{\infty} f(t-\tau)e^{-st}dt \right\}g(\tau)d\tau</math>}}

ここで積分変数を <math>\xi := t-\tau</math> と変更すれば，積分の基本的性質[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/複素数値関数の積分#characteristic:3|Ⅲ]]により<ref>
<math>\xi = t-\tau</math> により積分変数を <math>t</math> から <math>\xi</math> に変更すると，<br />
<math>t = \xi+\tau, t: \tau \to \infty</math> より <math>\xi : 0 \to \infty, d\xi = dt</math><br />
<math>\int_0^{\infty} \left\{ \int_{\tau}^{\infty} f(t-\tau)e^{-st}dt \right\}g(\tau)d\tau = \int_0^{\infty} \left\{ \int_0^{\infty} f(\xi)e^{-s(\xi+\tau)}d\xi \right\} g(\tau)d\tau</math><br />
<math>=\int_0^{\infty} \left\{ \int_0^{\infty} f(\xi)e^{-s\xi}d\xi \right\} e^{-s\tau}g(\tau)d\tau</math><br />
<math>=\int_0^{\infty} f(\xi)e^{-s\xi}d\xi \cdot \int_0^{\infty}e^{-s\tau}g(\tau)d\tau</math><br />
</ref>，
{{制御と振動の数学/equation|<math>=\mathcal{L}[f]\cdot\mathcal{L}[g]</math>}}
を得る．これで <math>f(t), g(t)</math> が実数値関数のとき<ref>で、<math>s</math> が複素数のとき</ref>証明ができた．次に，


第 2 段：<math>f=f_1 + if_2, g=g_1 + ig_2</math> のときを証明する．
{{制御と振動の数学/equation|<math>f*g = (f_1*g_1 - f_2*g_2) + i(f_1*g_2 + f_2*g_2)</math>}}
であるから，第 1 段の結果と Laplace 変換の基本性質[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/Laplace 変換の基本的性質#laplace-fundamental:2|Ⅱ]]を用いればよい<ref>
<math>\int \{(f_1*g_1 - f_2*g_2) + i(f_1*g_2 + f_2*g_2)\}e^{-st} = \int f_1e^{-st}dt \int g_1e^{-st}dt - \int f_2e^{-st}dt \int g_2e^{-st}dt + i\left\{\int f_1e^{-st}dt \int g_2e^{-st}dt + \int f_2e^{-st}dt \int g_2e^{-st}dt \right\}</math><br />
<math> = \int \left( f_1 + if_2\right)e^{-st}dt \cdot \int\left(g_1 + ig_2\right)e^{-st}dt</math><br />
</ref>．
<math>\diamondsuit</math>
<!--laplace-fundamental:3:end-->

このように，基本的性質が示されたので[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換|前章]]と同様に，微分方程式を解くのに必要な公式のすべてを導くことができる．
例えば，

<strong>積分</strong>
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^t f(\tau)d\tau \sqsupset \frac{1}{s}\mathcal{L}[f]</math>}}

<strong>微分</strong>
{{制御と振動の数学/equation|<math>f'(t) \sqsupset s\mathcal{L}[f] - f(0)</math>}}
など．これらはもちろん Laplace 変換の定義から直接導くこともできる．また，

<strong>移動定理</strong>
{{制御と振動の数学/equation|<math>f(t-\alpha) \sqsupset e^{-s\alpha}\mathcal{L}[f]</math>}}
などの証明も，[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換|前章]]と全く同様である．




<references />

[[カテゴリ:ラプラス変換]]