制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/微分方程式の解法のソースを表示

===§1===

まず，複素係数の線形定常常微分方程式
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d^nz}{dt^n} + a_1\frac{d^{n-1}z}{dt^{n-1}} + a_2\frac{d^{n-2}z}{dt^{n-2}} + \cdots + a_{n-1}\frac{dz}{dt} + a_nz = 0</math>|tag=(4.11)|label=eq:4.11}}
を考える．ここに <math>a_i \in \mathbf{C}</math> とする．これを初期条件，
{{制御と振動の数学/equation|<math>z(0)=\xi_1, z'(0)=\xi_2, \cdots, z^{(n-1)}(0)=\xi_n, \quad \xi_i \in \mathbf{C}</math>}}
の下に [[w:%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B|Laplace 変換]]すると，実係数の場合と同様にして，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[z] = \frac{q(s)}{p(s)}</math>}}
を得る．ここに <math>p(s)</math> は[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/微分方程式の解法#eq:4.11|式 (4.11) ]]に付随する特性多項式，<math>q(s)</math> は <math>\xi_i</math> で決まる高々 <math>n-1</math> 次の多項式である．

一般に，複素係数の多項式は，[[w:%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86|代数学の基本定理]]により，複素係数の範囲で 1 次の積に因数分解できるから，それを，
{{制御と振動の数学/equation|<math>p(s) = \prod_{i=1}^{\mu}(s-\alpha_i)^{l_i}</math>}}
とすると，これに対応して，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[z] = \sum_{i=0}^{\mu} \left\{ \frac{A_{i1}}{s-\alpha_i} + \frac{A_{i2}}{(s-\alpha_i)^2} + \cdots + \frac{A_{il_i}}{(s-\alpha_i)^{l_i}} \right\}</math>}}
と部分分数に展開できる．それゆえ，この原像は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>z(t) = \sum_{i=1}^{\mu} \left\{ A_{i1} + A_{i2}t + A_{i3}\frac{t^2}{2!} + \cdots + A_{il_i}\frac{t^{l_i - 1}}{(l_i-1)!} \right\}e^{\alpha_i}t</math>}}
または
{{制御と振動の数学/equation|<math>=\sum_{i=1}^{\mu}f_i(t)e^{\alpha_i}t</math>|tag=(4.12)|label=eq:4.12}}
と求まる．ここに <math>f_i(t)</math> は <math>t</math> の多項式で次数は高々 <math>l_i - 1</math>，係数は複素数である．

[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/複素数値関数の微分|複素数値関数の微分]]に述べたように，
{{制御と振動の数学/equation|<math>(D-\alpha_i)^{l_i} \left\{ f_i(t)e^{\alpha_i}t \right\} = e^{\alpha_i t}D^{l_i}f_i(t) = 0</math>}}
であるから
{{制御と振動の数学/equation|<math>p(D)z(t) = 0 \quad \left( D=\frac{d}{dt} \right)</math>}}
となり，[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/微分方程式の解法#eq:4.12|式 (4.12) ]]が[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/微分方程式の解法#eq:4.11|式 (4.11) ]]の解であることが分かる．解の一意性の証明も全く同じであるから，繰り返さない．また非同次方程式，
{{制御と振動の数学/equation|<math>p(D)z(t) = f(t)</math>}}
の解法も，全く同様である．なお，[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/微分方程式の解法#eq:4.11|式 (4.11) ]]の解の基本系は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\{ e^{\alpha_i t}, te^{\alpha_i t}, t^2e^{\alpha_i t}, \cdots, t^{l_i - 1}e^{\alpha_i t}; i = 1, \cdots, \mu \}</math>}}
となる．実際，これらが 1 次独立となることは，[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解|前章]]の証明よりも，はるかに容易に示し得る．
事実，[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/複素数値関数の微分#lemma:4.1corollary|補題 4.1 の系]]によれば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>f_i(t)e^{\alpha_i t} \quad (i=1, \cdots \mu)</math>}}
は一次独立であるから，あとは，
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{\alpha_i t}, te^{\alpha_i t}, t^2e^{\alpha_i t}, \cdots, t^{l_i - 1}e^{\alpha_i t}</math>}}
の 1 次独立性だけを示せばよい．これは，
{{制御と振動の数学/equation|<math>1, t, t^2, \cdots, t^{l_i - 1}</math>}}
の 1 次独立性と同じであるから，明らかである．



===§2===

微分方程式[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/微分方程式の解法#eq:4.11|式 (4.11) ]]の係数が実数の場合を，この章の立場から述べておく．
特性方程式 <math>p(s)</math> が 1 次の因数に分解できることは同様であるが，その内容は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>p(s) = \prod_{i=1}^{\mu}(s-c_i)^{l_i} \prod_{j=1}^{\nu} (s-\alpha_j)^{m_j}(s-\overline{\alpha_j})^{m_j}</math>}}
のような形をしている．ここに <math>c_i \in \mathbf{R}, \alpha_j, \overline{\alpha_j} \in \mathbf{C}</math> で <math>\overline{\alpha_j}</math> は <math>\alpha_j</math> の共役複素数である．
このとき解の基本系は，次の 3 種類の型のものから成り立っている．
{{制御と振動の数学/equation|Ⅰ<math>\quad e^{ct}, te^{ct}, t^2e^{ct}, \cdots t^{l - 1}e^{ct}</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|Ⅱ<math>\quad e^{\alpha t}, te^{\alpha t}, t^2e^{\alpha t}, \cdots t^{m - 1}e^{\alpha t}</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|Ⅲ<math>\quad e^{\overline{\alpha} t}, te^{\overline{\alpha} t}, t^2e^{\overline{\alpha} t}, \cdots t^{m - 1}e^{\overline{\alpha} t}</math>}}
Ⅰ型は実関数である．しかし，Ⅱ，Ⅲ型は複素数値関数である．これらを，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{e^{\alpha t} + e^{\overline{\alpha} t}}{2} = e^{at}\cos bt</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{e^{\alpha t} - e^{\overline{\alpha} t}}{2i} = e^{at}\sin bt</math>}}
ここに <math>\alpha = a + ib, \ \overline{\alpha} = a - ib</math> を用いて実関数の基本形に直すと，Ⅱ，Ⅲの変わりに，
{{制御と振動の数学/equation|Ⅱ'<math>\quad e^{at}\cos bt, te^{at}\cos bt, t^2e^{at}\cos bt, \cdots t^{m - 1}e^{at}\cos bt</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|Ⅲ'<math>\quad e^{at}\sin bt, te^{at}\sin bt, t^2e^{at}\sin bt, \cdots t^{m - 1}e^{at}\sin bt</math>}}
となる．Ⅰ，Ⅱ'，Ⅲ'が実形式で表した解の基本形である．[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解|前章]]で求めたものと形は異なるが，この方が導出が簡単である．


<!-- ex:094:start-->
<div id="ex:94">
<strong>例94</strong><math>\quad</math>

｛Ⅰ，Ⅱ'，Ⅲ'｝が解の基本系となること，すなわち 1 次独立であることを示せ．

<strong>解答例</strong>

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:94:end-->


非同次方程式の一般解は，同次方程式の一般解に特解を付加すればよいことは，[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解|前章]]と同様である．

ここに述べたように，一般に，理論的な話をするときには，複素数値関数で取り扱う方が見通しがよい．
しかし実際に初期値問題を解くときには，[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解|前章]]の手法の方が優れている．
ただ，一般解を求めるのは，本章の方法によるのが賢明である．




<references />

[[カテゴリ:ラプラス変換]]