制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/Hurwitzの定理のソースを表示

特性多項式の係数から，直ちに微分方程式 [[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/安定の定義と定理#eq:4.13|(4.13) ]]の解の安定性を判別する方法がいくつかある．
次のものは有名である．

<div id="theorem:4.2:Hurwitz">
<strong>定理 4.2　[[w:%E3%83%A9%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AB%E3%83%93%E3%83%83%E3%83%84%E3%81%AE%E5%AE%89%E5%AE%9A%E5%88%A4%E5%88%A5%E6%B3%95|Hurwitz の定理]]</strong>

実係数の代数方程式，
{{制御と振動の数学/equation|<math>p_n(s) = a_0s^n + a_1s^{n-1} + a_2s^{n-2} + \cdots + a_{n-1}s + a_n = 0 \quad (a_0 > 0)</math>}}
のすべての根が，<math>s</math> 平面の左半平面に位置するための必要十分条件は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>H_n = 
\begin{vmatrix}
a_1  & a_0 &           \\
a_3  & a_2 & a_1 & a_0 \\
a_5  & a_4 & a_3 & a_2 \\
a_7  & a_6 & a_5 & a_4 & \cdot & \cdot & \\
\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& \cdot & \cdot & \\
\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& \cdot & \cdot & \\
\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& \cdot & a_{n-2} & \\
\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& \cdot & a_{n} 
\end{vmatrix}</math>}}
の首座の小行列式がすべて正となることである．すなわち，
{{制御と振動の数学/equation|<math>a_0 > 0, \quad H_1 = a_1 > 0, \quad H_2 =
\begin{vmatrix}
a_1 & a_0 \\
a_3 & a_2
\end{vmatrix} > 0, 
\quad
H_3 =
\begin{vmatrix}
a_1 & a_0 & 0   \\
a_3 & a_2 & a_1 \\
a_5 & a_4 & a_3
\end{vmatrix} > 0, 
\quad \cdots, H_n > 0</math>}}
が成立することである．
<math>\diamondsuit</math>
<!-- theorem:4.2:Hurwitz:end-->

この定理は，1895 年にある技術者の依頼によって，[[w:%E3%82%A2%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%95%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AB%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%83%E3%83%84|Hurwitz]] が解いたものであるが，
それ以前に [[w:%E3%82%A8%E3%83%89%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%82%A6%E3%82%B9|Routh]] によって解かれていたので，
Routh-Hurwitz の定理とも呼ばれる．証明は[[制御と振動の数学/第一類/付録・Hurwitz の定理|付録]]に譲る．

<!-- ex:096:start-->
<div id="ex:96">
<strong>例96</strong><math>\quad</math>

<math>p_1(s) = s + a_1, \quad (a_0 = 1 > 0)</math> のとき，
{{制御と振動の数学/equation|<math>H_1 = a_1 > 0</math>}}

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:96:end-->



<!-- ex:097:start-->
<div id="ex:97">
<strong>例97</strong><math>\quad</math>

<math>p_2(s) = s^2 + a_1s + a_2</math> のとき，
{{制御と振動の数学/equation|<math>H_2 = 
\begin{vmatrix}
a_1 &   1 \\
  0 & a_2
\end{vmatrix}
</math>}}
であるから，<math>H_1 = a_1 > 0, H_2 = a_1a_2 > 0</math>，それゆえ，
{{制御と振動の数学/equation|<math>a_1 > 0, \quad a_2 > 0</math>}}
を得る．これは，2 根の和が負，積が正ということで，解と係数の関係から得られるものと一致する．

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:97:end-->




<!-- ex:98:start-->
<div id="ex:98">
<strong>例98</strong><math>\quad</math>

<math>p_3(s) = s^3 + a_1s^2 + a_2s + a_3</math> のとき，
{{制御と振動の数学/equation|<math>H_3 = 
\begin{vmatrix}
a_1 &   1 & \\
a_3 & a_2 & a_1 \\
  0 &   0 & a_3
\end{vmatrix}
</math>}}
であるから，
{{制御と振動の数学/equation|<math>H_1 = a_1 > 0, H_2 = a_1a_2 - a_3 > 0, H_3 = a_3H_2 > 0</math>}}
したがって
{{制御と振動の数学/equation|<math>a_1 > 0, \quad a_3 > 0, \quad a_1a_2 > a_3</math>}}
を得る．これから当然 <math>a_2 > 0</math>．

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:98:end-->





<!-- ex:99:start-->
<div id="ex:99">
<strong>例99</strong><math>\quad</math>

<math>a_0 > 0, \quad H_i > 0 \quad (i = 1, 2, \cdots, n)</math> より，
<math>a_i > 0 \quad (i = 1, 2, \cdots, n)</math> を導け．

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:99:end-->

よく他書に Hurwitz の条件として，

(1) <math>a_0 > 0, a_1 > 0, \cdots, a_n > 0</math>

(2) <math>H_1 > 0, \cdots, H_n > 0</math>

の両方満足するべきことが述べられているが，(1) の <math>a_0 > 0</math> 以外は不要である．
もし (1) が満たされれば，(2) の条件のうち幾つかは不要となる<ref>
高木貞治：代数学講義（共立出版）第10章．
</ref>．





<references />

[[カテゴリ:ラプラス変換]]