制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/Hurwitzの定理

特性多項式の係数から，直ちに微分方程式 (4.13) の解の安定性を判別する方法がいくつかある．次のものは有名である．

実係数の代数方程式，テンプレート:制御と振動の数学/equation のすべての根が， $s$ 平面の左半平面に位置するための必要十分条件は，テンプレート:制御と振動の数学/equation の首座の小行列式がすべて正となることである．すなわち，テンプレート:制御と振動の数学/equation が成立することである． $♢$

この定理は，1895 年にある技術者の依頼によって，Hurwitz が解いたものであるが，それ以前に Routh によって解かれていたので， Routh-Hurwitz の定理とも呼ばれる．証明は付録に譲る．

例96

$p_{1} (s) = s + a_{1}, (a_{0} = 1 > 0)$ のとき，テンプレート:制御と振動の数学/equation

$♢$

例97

$p_{2} (s) = s^{2} + a_{1} s + a_{2}$ のとき，テンプレート:制御と振動の数学/equation であるから， $H_{1} = a_{1} > 0, H_{2} = a_{1} a_{2} > 0$ ，それゆえ，テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．これは，2 根の和が負，積が正ということで，解と係数の関係から得られるものと一致する．

$♢$

例98

$♢$

例99

$a_{0} > 0, H_{i} > 0 (i = 1, 2, \dots, n)$ より， $a_{i} > 0 (i = 1, 2, \dots, n)$ を導け．

$♢$

よく他書に Hurwitz の条件として，

(1) $a_{0} > 0, a_{1} > 0, \dots, a_{n} > 0$

(2) $H_{1} > 0, \dots, H_{n} > 0$

の両方満足するべきことが述べられているが，(1) の $a_{0} > 0$ 以外は不要である．もし (1) が満たされれば，(2) の条件のうち幾つかは不要となる^[1]．

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