制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/正弦波入力に対する定常応答のソースを表示

[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/複素振幅の方法|前節]]で述べた複素振幅の方法に関連して，安定論の立場から若干の補足をしておこう．
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d^nx}{dt^n} + a_1\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}} + a_1\frac{d^{n-2}x}{dt^{n-2}} + \cdots + a_{n-1}\frac{dx}{dt} + a_nx = f(t)</math>|tag=(4.15)|label=eq:4.15}}
は安定な微分方程式としておく．つまり <math>f(t)=0</math> とおいた同次式の解は，十分時間が経過した後では消えるものとする．なお[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/正弦波入力に対する定常応答#eq:4.15|式 (4.15) ]]の係数は実数であるとする．さて，
{{制御と振動の数学/equation|<math>f(t)=A\sin\omega t</math>}}
のとき，[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/正弦波入力に対する定常応答#eq:4.15|式 (4.15) ]]の任意の解は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(t)=x_0(t) + \frac{A}{|p(i\omega)|}\sin(\omega t-\theta)</math>}}
となる．ここに，<math>p(s)</math> は特性多項式で，

(i) <math>x_0(t)</math> は同次式の解

(ii) <math>p(i\omega) = |p(i\omega)|e^{i\theta}</math>

である．系が安定であるから，
{{制御と振動の数学/equation|<math>x_0(t) \to 0 \quad (t \to \infty)</math>}}
となる．よって，十分時間が経過した後では，どんな初期条件から出発した解も，定常解 <math>x_s(t):</math>
{{制御と振動の数学/equation|<math>x_s(t)=\frac{A}{|p(i\omega)|}\sin(\omega t-\theta)</math>|tag=(4.16)|label=eq:4.16}}
に近づく．この結果を[[w:%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B|Laplace 変換]]による解法から導いてみよう．
[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/正弦波入力に対する定常応答#eq:4.15|式 (4.15) ]]の解は
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(t)=x_0(t) + \int_0^t g(\tau)A\sin\omega(t-\tau)d\tau</math>|tag=(4.17)|label=eq:4.17}}
と書けるのであった．ここに <math>x_0(t)</math> は同次式の解で，
{{制御と振動の数学/equation|<math>g(t) \sqsupset \frac{1}{p(s)}</math>|tag=(4.18)|label=eq:4.18}}
である．<math>t\to\infty</math> のとき，[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/正弦波入力に対する定常応答#eq:4.17|式 (4.17) ]]で <math>x_0(t)</math> は消えるから，第 2 項だけが問題になる．
{{制御と振動の数学/equation|<math>\sin\omega t = \frac{1}{2i}(e^{i\omega t}-e^{-i\omega t})</math>}}
を[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/正弦波入力に対する定常応答#eq:4.17|式 (4.17) ]]の右辺第 2 項に代入すると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^t g(\tau)A\sin\omega(t-\tau)d\tau = \frac{Ae^{i\omega t}}{2i} \int_0^t g(\tau)e^{-i\omega\tau}d\tau - \frac{Ae^{-i\omega t}}{2i}\int_0^t g(\tau)e^{i\omega\tau}d\tau</math><ref>
<math>\int_0^t g(\tau)A\sin\omega(t-\tau)d\tau = \frac{A}{2i}\int_0^t g(\tau) \left\{ e^{i\omega(t-\tau)}-e^{-\omega(t-\tau)}\right\}d\tau</math><br />
<math>= \frac{A}{2i} \left\{ e^{i\omega t}\int_0^t g(\tau) e^{-\omega\tau} - e^{-i\omega t}\int_0^t g(\tau) e^{\omega\tau}\right\}</math><br />
</ref>|tag=(4.19)|label=eq:4.19}}
となる．ところで，[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/正弦波入力に対する定常応答#eq:4.18|式 (4.18) ]]から，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^{\infty}g(\tau)e^{\pm i\omega \tau}d\tau = \frac{1}{p(\mp i\omega)}</math>|tag=(4.20)|label=eq:4.20}}
となるので<ref>
Laplace 変換の定義から <math>\int_0^{\infty} g(\tau)e^{-s\tau}d\tau = \frac{1}{p(s)}</math>，これに <math>s = \mp i\omega</math> を代入する．
</ref>，[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/正弦波入力に対する定常応答#eq:4.19|式 (4.19) ]]は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{1}{2i}\left\{ \frac{A}{p(i\omega)}e^{i\omega t} - \frac{A}{p(-\omega)}e^{-i\omega t}\right\} = \frac{A}{|p(i\omega)|}\sin(\omega t-\theta)</math>}}
に漸近する<ref>
[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/正弦波入力に対する定常応答#eq:4.19|式 (4.19) ]]を <math>t\to\infty</math> とし，[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/正弦波入力に対する定常応答#eq:4.20|式 (4.20) ]]をあてはめる．
</ref>．事実，<math>t\to\infty</math> のとき，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\left|\frac{Ae^{i\omega t}}{2i}\int_0^tg(\tau)e^{-i\omega\tau}d\tau - \frac{Ae^{i\omega t}}{2ip(i\omega)}\right| = \frac{A}{2}\left|\int_0^tg(\tau)e^{-i\omega\tau}d\tau - \frac{1}{p(i\omega)}\right| \to 0</math><ref>
<math>|e^{i\omega t}| = 1, |i| = 1</math><br />
</ref>}}
となるからである．このことは，言い換えれば[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/正弦波入力に対する定常応答#eq:4.20|式 (4.20) ]]の無限積分の存在は，<math>g(t)</math> が安定な同次方程式 <math>p(D)x = 0</math> の解であることから保証される．すなわち，このとき既述のように，
{{制御と振動の数学/equation|<math>|g(t)| \leqq Me^{-ct} \quad (c > 0)</math>}}
なる評価ができるから，<math>g(t)</math> の Laplace 変換は <math>\mathrm{Re}\ s = 0</math> において存在する．

最後に，この問題の工学的応用に触れておこう．ここで議論したことは，
[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/正弦波入力に対する定常応答#eq:4.15|式 (4.15) ]]が安定な微分方程式ならば，
これに正弦波が入力として加えられたとき，それに対する応答は，しばらく待てば同じ周波数の正弦波になるということである．
それでは，任意の波形を持った信号が入力として加えられたとき，しばらく待つと同じ波形の応答が得られるであろうか．この問題を考えてみる．
記録器に対してはこのことが要求される．

さて任意の信号 <math>f(t)</math> は，ある範囲 <math>0 \leqq t \leqq T</math> で，いくつかの正弦波で近似できる<ref>
[[w:%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E7%B4%9A%E6%95%B0|Fourier 級数展開]]</ref>．すなわち，
{{制御と振動の数学/equation|<math>f(t) \fallingdotseq \sum_{n=0}^N A_n\sin(n\omega t+\varphi_n)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\omega = \frac{2\pi}{T}</math>}}
この信号に対する[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/正弦波入力に対する定常応答#eq:4.15|式 (4.15) ]]の定常応答は，重ね合わせの原理と上の議論から，
{{制御と振動の数学/equation|<math>x_s(t) \fallingdotseq \sum_{n=0}^N \frac{A_n}{|p(i\omega)|}\sin(n\omega t + \varphi_n-\theta_n)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\theta_n := \mathrm{arg}\ p(i n\omega)</math>}}
となる．これが <math>f(t)</math> とほぼ同じ波形となるためには，

(i) <math>|p(in\omega|, n=0, 1, \cdots, N</math> がほぼ一定（<math>\fallingdotseq B</math>）

(ii) <math>\theta_n</math> がほぼ <math>n</math> に比例する．（<math>n\omega_0)</math>）

という条件があればよいことが分かる．このとき，
{{制御と振動の数学/equation|<math>x_s(t) \fallingdotseq\sum_{n=0}^N \frac{A}{B}\sin\left\{n\omega\left(t-\frac{\omega_0}{\omega}\right)+\varphi_n\right\}</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>x_s(t) \fallingdotseq \frac{1}{B}f\left(t-\frac{\omega_0}{\omega}\right)</math>}}
となり，所期の目的を達成する．

<math>\omega</math> を変数と考え，<math>p(i\omega)</math> を[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/正弦波入力に対する定常応答#eq:4.15|系 (4.15) ]]の周波数特性と呼ぶことにすれば，上の条件は“考えている周波数範囲では，周波数特性があまり変わらない”ということである（<math>p(i\omega)</math> の偏角は <math>\omega</math> に比例して変わってもよい）。この条件は周波数の小さい範囲で現実できる．言い換えれば，入力信号の変動が余り激しくなければ，出力応答はそれに追従するということで，あたりまえの結果である．交流を直流の計器で計る場合を想像してみればよい．




<references />

[[カテゴリ:ラプラス変換]]