制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/グラフによる安定判別のソースを表示

平面上の 1 点 <math>a</math> と閉曲線 <math>C</math> が与えられているとき，
<math>C</math> が <math>a</math> を何回まわるか，その回転数を数えることによって，安定判別をする方法がある．
結果を述べる前に若干の準備をしておこう．

<div id = "rotation">
<strong>回転数</strong>

<math>C</math> は <math>a</math> を通らない閉曲線とする．
動点 <math>s</math> が <math>C</math> 上を動くとき，半直線 <math>\vec{as}</math> が <math>a</math> の周りを正の向き（反時計まわり）に回る回数を，
<math>C</math> の <math>a</math> のまわりの回転数といい，
{{制御と振動の数学/equation|<math>r(C, a)</math>}}
で表す．


<!-- ex:100:start-->
<div id="ex:100">
<strong>例100</strong><math>\quad</math>

<math>C</math> を単純閉曲線<ref>
自分自身と交わらない閉曲線のことである．
</ref>とすると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>r(C, a) = 
\begin{cases}
1 & (a \ \text{が} \ \ C \ \text{の 内 部 に あ る と き}\ ) \\
0 & (a \ \text{が} \ \ C \ \text{の 外 部 に あ る と き}\ )
\end{cases}</math>}}
<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:100:end-->

{{制御と振動の数学/equation|<math>r(C, a) = \frac{1}{2\pi}\times ( s</math> が <math>C</math> を正の向きに 1 周するときの <math>s-a</math> の偏角 <math>\theta</math> の全変化量 <math>)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>= \frac{1}{2\pi}\int_{C}d\theta</math>}}
であるから，
{{制御と振動の数学/equation|<math>r(C, a) = \frac{1}{2\pi}\int_{C}d\ \mathrm{arg}\ (s-a)</math>}}
が成立する．ここに，複素数 <math>s - a</math> を極表示したものを <math>s - a = re^{i\theta}</math> とし，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\theta := \mathrm{arg}\ (s-a)</math>}}
とおいている．



<div id="theorem:4.3">
<strong>定理 4.3  偏角変化量の原理</strong><math>\quad</math>

<math>p(s)</math> を <math>n</math> 次の多項式，<math>C</math> を <math>s</math> 平面上の単純閉曲線とし，
<math>p(s)</math> の根は <math>C</math> 上にはないものとする．このとき，
<math>\Gamma</math> を <math>\omega = p(s)</math> による <math>C</math> の像，すなわち <math>\Gamma := p(C)</math> とすると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>r(\Gamma, 0; p)</math><ref>
<math>p(C)</math> の原点 <math>0</math> 周りの回転数である．
</ref><math> := r(p(C), 0)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>= C</math> の内部にある <math>p(s)</math> の根の個数}}
が成立する．

<strong>証明</strong>
{{制御と振動の数学/equation|<math>p(s) = a_0s^n + a_1s^{n-1} + a_2s^{n-2} + \cdots + a_n = a_0(s-\alpha_1)(s-\alpha_2)\cdots(s-\alpha_n)</math>}}
とする．<math>\alpha_i</math> は重複していてもよい．複素数の偏角を <math>\mathrm{arg}</math> で表すと，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathrm{arg}\ p(s) = \mathrm{arg}\ a_0 + \sum_{i=1}^n \mathrm{arg}\ (s-\alpha_i)</math><ref>
<math>\alpha, \beta</math> を複素数とするとき，<math>\mathrm{arg}\ (\alpha\beta) = \mathrm{arg}\ \alpha + \mathrm{arg}\ \beta</math><br />
</ref>}}
よって，
{{制御と振動の数学/equation|<math>r(\Gamma, 0; p) = \sum_{i=1}^n r(C, \alpha_i)</math>}}
となる<ref>
:<math>\mathrm{arg}\ p(s) = \mathrm{arg}\ a_0 + \sum_{i=1}^n \mathrm{arg}\ (s-\alpha_i)</math><br />
の両辺を <math>\int d\theta</math> とすると，<br />
<math>\int_{p(C)} d\ \mathrm{arg}\ \{p(s)-0\} = \sum_{i=1}^n \int_{C} d\ \mathrm{arg}\ (s-\alpha_i)</math><br />
すなわち<br />
<math>r(\Gamma, 0; p) = \sum_{i=1}^n r(C, \alpha_i)</math><br />
</ref>．
上述のように，<math>r(C, \alpha_i)</math> は <math>\alpha_i</math> は <math>C</math> の内部にあるときだけ <math>1</math> で，
その他のときは <math>0</math> であるから求める結果を得る．
<math>\diamondsuit</math>
<!-- theorem:4.3:end-->





<div id="theorem:4.4">
<strong>定理 4.4</strong><math>\quad</math>
{{制御と振動の数学/equation|<math>p(s) = s^n + a_1s^{n-1} + a_2s^{n-2} + \cdots + a_{n-1}s + a_n</math>}}
において，<math>s</math> が虚軸上を下から上まで動くとき，
<math>\omega = p(s)</math> の軌跡が <math>\omega</math> 平面の原点を通らずに，原点を <math>\frac{n}{2}</math> 回まわれば，
<math>p(s)</math> の根はすべて <math>s</math> 平面の左半平面に存在する．逆も成立する．

<strong>証明</strong>

左半平面を囲む半径 <math>\infty</math> の半円を考え，これを <math>C</math> とする．
<math>C</math> 内に <math>n</math> 個の根が存在することをいえばよい．
いまこの半円 <math>C</math> を虚軸上の部分 <math>C_1</math> と円弧部分 <math>C_2</math> に分け，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\Gamma = f(C), \quad \Gamma_i = f(C_i)\quad (i = 1, 2)</math>}}
とする．このとき，
{{制御と振動の数学/equation|<math>r(\Gamma, 0) = r(\Gamma_1, 0) + r(\Gamma_2, 0)</math>}}
である．
仮定は <math>r(\Gamma_1, 0) = \frac{n}{2}</math> である．
さて，<math>s \in C_2</math> のとき，
{{制御と振動の数学/equation|<math>p(s) = s^n \{ 1 + \varepsilon(s) \}</math>}}
と表すと，半径 <math>\infty</math>（十分大）であるから <math>\varepsilon(s) \fallingdotseq 0</math> である．この偏角は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathrm{arg}\ p(s) = n\ \mathrm{arg}\ s + \mathrm{arg}\ \{ 1 + \varepsilon(s) \}</math>}}
となるが，<math>s</math> が <math>C_2</math> を動くとき，<math>\mathrm{arg}\ \{ 1 + \varepsilon(s)\}</math> の変化量は <math>0</math> である．
<math>C_2</math> は <math>s</math> 平面上の原点を正の方向に半周するから，<math>n\ \mathrm{arg}\ s</math> の変化量は <math>\frac{n}{2}</math> である．
よって，
{{制御と振動の数学/equation|<math>r(\Gamma_2, 0) = \frac{n}{2}</math>}}
それゆえ，
{{制御と振動の数学/equation|<math>r(\Gamma, 0) = \frac{n}{2} + \frac{n}{2} = n</math><ref>
仮定より <math>r(\Gamma_1, 0) = \frac{n}{2}</math>．
</ref>}}
を得る．このことは <math>p(s)=0</math> の根がすべて <math>s</math> 平面の左半平面に位置していることを示す．逆は明らかであろう．
<math>\diamondsuit</math>
<!-- theorem:4.3:end-->



<!-- ex:101:start-->
<div id="ex:101">
<strong>例101</strong><math>\quad</math>

{{制御と振動の数学/equation|<math>p^3 + a_1s^2 + a_2s + a_3</math>}}
の場合を考えてみよう．<math>s = i\omega \quad (\omega \in \mathbf{R})</math> とおき実部と虚部とに分けると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\begin{cases}
x &= -a_1\omega^2 + a_3 \\
y &= -\omega^3 + a_2\omega
\end{cases}</math>|tag=(4.14)|label=eq:4.14}}
となる．<math>a_1 = 0</math> なら，<math>s</math> 平面の虚軸の像 <math>\Gamma_1 = p(i\omega), \quad -\infty < \omega < \infty</math> は <math>y</math> 軸に平行な直線であるから，
<math>r(\Gamma_1, 0) = \pm \frac{1}{2}</math> となって<ref>
<math>\omega: -\infty \to \infty</math> にて <math>a_3 < 0</math> なら回転数は <math>-\frac{1}{2}</math>，<math>a_3 > 0</math> なら <math>+\frac{1}{2}</math>，いずれにしても <math>n = 3</math> であるのだから原点の周りの回転数は <math>\frac{3}{2}</math> にならなければ安定でないが，そうではない．
</ref>
不安定である．そこで <math>a_1 \ne 0</math> とする．
[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/グラフによる安定判別#eq:4.14|式 (4.14) ]]から <math>\omega</math> を消去すると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>y^2 = \frac{(a_1a_2 - a_3 + x)^2(a_3 - x)}{a_1^3} = \frac{1}{a_1^3}(H_2 + x)^2(a_3 - x)</math>}}
ここに，
{{制御と振動の数学/equation|<math>H_2 := a_1a_2 - a_3</math>}}
となる．<math>y^2 > 0</math> であるから，
{{制御と振動の数学/equation|<math>a_1 > 0 \implies a_3 > x</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>a_1 < 0 \implies a_3 < x</math>}}
となる．
いずれの場合も <math>\omega</math> が <math>-\infty</math> から <math>+\infty</math> へ動くとき
[[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/グラフによる安定判別#eq:4.14|式 (4.14) ]]
から分かるように，<math>y</math> は <math>+\infty</math> から <math>-\infty</math> へ動く．つまり <math>\Gamma_1</math> 上を上から下へ動く．
したがって，<math>a_1 < 0</math> なら<math>a_3, H_2</math> がどんな値をとっても，<math>r(\Gamma_1, 0)</math> は <math>\frac{3}{2}</math> にならない<ref>
原点を時計回りに周る軌跡であるため，<math>r(\Gamma_1, 0)</math> は負の値となる．
</ref>．
<math>a_1 > 0</math> のとき，原点を囲むような形となるときだけ，
{{制御と振動の数学/equation|<math>r(\Gamma_1, 0) = \frac{3}{2}</math>}}
が成立する．このとき，
{{制御と振動の数学/equation|<math>a_3 > 0, H_2 > 0</math>}}
である．すなわち，
{{制御と振動の数学/equation|<math>a_1 > 0, a_3 > 0, H_2 > 0</math>}}
のとき安定となる．これは 
[[w:%E3%83%A9%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AB%E3%83%93%E3%83%83%E3%83%84%E3%81%AE%E5%AE%89%E5%AE%9A%E5%88%A4%E5%88%A5%E6%B3%95|Hurwitz の方法]]で求めたものと一致する．
<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:101:end-->

この技法は Hurwitz の方法に比べて，極めて迂遠のようであるが，自動制御理論では，フィードバック系の安定判別に用いられ，極めて有用である．


<!-- ex:102:start-->
<div id="ex:102">
<strong>例102</strong><math>\quad</math>

{{制御と振動の数学/equation|<math>p(s) = s + a_1</math>}}
の場合の安定判別を，上例にならって行い，Hurwitz の方法による結果と比較せよ．

<strong>解答例</strong>

<math>p(i\omega) = i\omega + a_1, \quad (\omega \in \mathbf{R})</math> を実部 <math>x</math> と虚部 <math>y</math> とにわける．

:<math>\begin{cases}
x &= a_1 \\
y &= \omega
\end{cases}</math><br />
<math>x</math> は定数だから軌跡 <math>\Gamma_1</math> は <math>y</math> に平行．<br />
<math>a_1 < 0</math> ならば，<math>r(\Gamma_1, 0)</math> は時計回りに回転し，その値は <math>-\frac{1}{2}</math> で不安定．<br />
<math>a_1 > 0</math> ならば，<math>r(\Gamma_1, 0)</math> は反時計回りに回転し，その値は <math>+\frac{1}{2}</math> で <math>n = 1</math> より安定．<br />
これは Hurwitz の定理による結果に符合する．

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:102:end-->



<!-- ex:103:start-->
<div id="ex:103">
<strong>例103</strong><math>\quad</math>

{{制御と振動の数学/equation|<math>p(s) = s^2 + a_1s + a_2</math>}}
の場合の安定判別を，上例にならって行い，Hurwitz の方法による結果と比較せよ．

<strong>解答例</strong>

<math>p(i\omega) = -\omega^2 + a_1, \quad (\omega \in \mathbf{R})</math> を実部 <math>x</math> と虚部 <math>y</math> とにわける．<br />
:<math>\begin{cases}
x &= a_2 - \omega^2 \\
y &= a_1\omega
\end{cases}</math>…①<br />
①から <math>\omega</math> を消去すると，<math>y^2 = -a_1^2x + a_1^2a_2</math>…②<br />
②のグラフの形は <math>y = x^2</math> を 90°反時計回りに回転させたもので、頂点の座標は <math>(a_2, 0)</math>．<br />
②が原点 <math>(0, 0)</math> を「取り込む」必要があるから，<math>a_2 > 0</math><br />
①の軌跡が <math>y</math> の <math>-\infty</math> から <math>+\infty</math> まで動けば，原点の周りを反時計回りに 1 回転して <math>n = 2</math> より安定，すなわち <math>a_1 > 0</math><br />
条件 <math>a_1 > 0, a_2 > 0</math> は Hurwitz の定理とも一致する．

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:103:end-->

[[カテゴリ:ラプラス変換]]