制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/実変数の複素数値関数のソースを表示

[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換|前章]]では[[w:%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B| Laplace 変換]]，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[f] = \int_0^{\infty} f(t)e^{-st}dt</math>}}
において，<math>f(t)</math> は実変数 <math>t</math> の実数値関数，<math>s</math> は実数と考えた．
この章では，<math>f(t)</math> としては実変数 <math>t</math> の複素数値関数をも許すものとする．<ref>
定義域の変数 <math>t</math> としては常に実数を考える．
</ref>
すなわち，
{{制御と振動の数学/equation|<math>f(t) = g(t) + ih(t)</math>}}
を考える．ここに <math>g(t), h(t)</math> は実数値関数であり，
{{制御と振動の数学/equation|<math>g(t) := \mathrm{Re}\ f(t) : f(t)</math> の実部}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>h(t) := \mathrm{Im}\ f(t) : f(t)</math> の虚部}}
と呼ぶ．また，<math>s</math> は実数でも，複素数でもよいが，一応複素数としておく．<ref>
複素数は既知として取り扱う．複素数の全体を <math>\mathbf{C}</math>，実数の全体を <math>\mathbf{R}</math> で表す．
</ref>

以下で取り扱う複素数値関数としては，次のものが一番重要である．
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{\alpha t}; \alpha := a + ib, \quad i = \sqrt{-1}</math>}}
ここに <math>\alpha</math> は複素数である．この関数の定義を述べよう．指数関数の [[w:%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%B1%95%E9%96%8B| Taylor 展開]]，
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math>}}
が，<math>x</math> が複素数 <math>it</math> であっても成り立つとすればどのような結果が得られるか考えてみよう．

{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{it} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(it)^n}{n!} = \left( 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \frac{t^6}{6!} + \cdots \right) + i \left(t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \frac{t^7}{7!} + \cdots \right)</math>}}
ここで最右辺の式の括弧内はそれぞれ <math>\cos t</math> と <math>\sin t</math> の Taylor 展開であるから，
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{it} = \cos t + i\sin t</math>|tag=(4.1)|label=eq:4.1}}
という関係が得られる．これを[[w:%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F| Euler の公式]]と呼んでいる．
ここで <math>t = \pi</math> とおくと，
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{i\pi} = -1</math>}}
となる．これも [[w:%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%AD%89%E5%BC%8F| Euler の公式]]ということがある．
この公式の発見は，当時の数学界（サロン）におけるセンセーショナルな事件であったという．
それは <math>1, i, \pi, e</math> という当時知られていた数学の基本定数が，このような簡単なそして美しい関係で結び付けられていることに対する驚きによるものである．

我々は以後この結果から出発する．すなわち [[制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/実変数の複素数値関数#eq:4.1|式 (4.1) ]]を指数関数 <math>e^{it}</math> の定義とするのである．“良き結果は良き定義として採用できる”からである．このことは，これからの議論によって次第に明らかになるであろう．

まず，指数関数の加法定理，
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{it}\cdot e^{i\tau} = e^{i(t+\tau)}</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>(e^{it})^n = e^{int}</math>}}
が導かれる．なぜなら三角関数の加法定理から，
{{制御と振動の数学/equation|<math>(\cos t + i\sin t)(\cos\tau + i\sin\tau) = \cos(t + \tau) + i\sin(t + \tau)</math>}}
が出<ref>
:<math>(\cos t + i\sin t)(\cos\tau + i\sin\tau) = \cos t\cos\tau + i\cos t\sin\tau + i\sin t\cos\tau - \sin t\sin\tau</math><br />
:<math>= \left\{ \cos t\cos\tau - \sin t\sin\tau \right\} + i\left\{ \cos t\sin\tau + \sin t\cos\tau \right\}</math><br />
:<math>= \cos(t+\tau) + i\sin(t+\tau) \quad (\because </math> 実部は <math>\cos</math> の加法定理，虚部は <math>\sin</math> の加法定理．）<br />
</ref>，
これより直ちに，
{{制御と振動の数学/equation|<math>(\cos t + i\sin t)^n = \cos nt + i\sin nt</math>}}
が得られる<ref>
<math>(\cos t + i\sin t)^n = (\cos t + i\sin t)(\cos t + i\sin t)(\cos t + i\sin t)^{n-2}</math><br />
<math>= (\cos 2t + i\sin 2t)(\cos t + i\sin t)^{n-2} = (\cos 2t + i\sin 2t)(\cos t + i\sin t)(\cos t + i\sin t)^{n-3}</math><br />
<math>= (\cos 3t + i\sin 3t)(\cos t + i\sin t)^{n-3}</math><br />
<math>= (\cos 4t + i\sin 4t)(\cos t + i\sin t)^{n-4}</math><br />
<math>\cdots</math><br />
<math> = \left\{ \cos(n-1)t + i\sin(n-1)\right\}(\cos t + i\sin t)</math><br />
<math> = \cos nt + i\sin nt</math><br />
</ref>
からである．これらの式は [[w:%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%A2%E3%82%A2%E3%83%96%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86| d'Moivre の公式]]として知られている．


<references />


この加法定理が，もっと一般に成立するものだとすれば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{(a+ib)t} = e^{at}\cdot e^{ibt} = e^{at}(\cos bt + i\sin bt)</math>}}
でなければならない．これが最初に述べた <math>e^{\alpha t}</math> の定義である．すなわち，

<div id="def:4.1">
<strong>定義 4.1</strong>

{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{(a+ib)t} = e^{at}(\cos bt + i\sin bt)</math>}}
<math>\diamondsuit</math>
<!-- def:4.1:end-->

<!-- ex:083:start-->
<div id="ex:83">
<strong>例83</strong><math>\quad</math>

この定義から，

{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{\alpha t}\cdot e^{\beta t} = e^{(\alpha + \beta)t}, \quad \alpha, \beta \in \mathbf{C}</math>}}
を示せ．

<strong>解答例</strong>

<math>\alpha = a + ib, \beta = c + id \quad (a, b, c, d \in \mathbf{R})</math> とおくと，<br />
<math>e^{\alpha t}\cdot e^{\beta t} = e^{(a + ib)t}\cdot e^{(c + id)t}</math><br />
<math>= e^{at}(\cos bt + i\sin bt)\cdot e^{ct}(\cos dt + i\sin dt)</math><br />
<math>= e^{(a+c)t}e^{i(bt)}e^{i(dt)}(\because \cos bt + i\sin bt = e^{i(bt)}, etc.)</math><br />
<math>= e^{(a+c)t}e^{i(bt + dt)} (\because e^{it}e^{i\tau} = e^{i(t+\tau)})</math><br />
<math>= e^{\{(a+c) + i(b+d)\}t}</math>．<br />

<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:83:end-->





<references />

[[カテゴリ:微分積分学]]