制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の合理化のソースを表示

==§1==

[[w:%E3%82%AA%E3%83%AA%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%98%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%89|Heaviside]] の着想は大変優れたものであり，
多くの正しい結果を導いた．
しかしながら数学的に首肯しかねるところが多い．

{{制御と振動の数学/equation|<math>p = \frac{d}{dt}</math>}}
とか
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{1}{p} = \int_0^t dt</math>}}
と置くことには問題はない．しかし，

:(1) <math>p</math> の関数（例えば <math>p + 1</math>)で割る

:(2) <math>p</math> や <math>\frac{1}{p}</math> のべきで展開する

:(3) 部分分数に分解する

などは <math>p</math> が数であるならば差し支えないが，そうでない場合は極めて問題である．
このような疑問もあって，彼の仕事は生前は必ずしも正しく評価されなかったという．
しかしその成果の豊かさには目をみはるものがある．
そのことが，幾人かの数学者の注意を引き、1920 年前後には，[[w:en:Thomas_John_I%27Anson_Bromwich|T. Bromwitch]]，[[w:de:Karl_Willy_Wagner|K. W. Wagner]]，[[w:en:John_Renshaw_Carson|J. R. Carson]] などにより，正当化が試みられ，
多くの応用を生み，これらは，[[w:en:Gustav_Doetsch|G. Doetsch]] による [[w:%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B|Laplace 変換]]による厖大な著作<ref>
[https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-0348-6984-3 Handbuch der Laplace-Transformation] 3巻 (1950, 1955, 1956, Springer)
</ref>
としてまとめられている．


==§2==

さてその合理化の方法であるが，
{{制御と振動の数学/equation|<math>x' = px, \quad \int xdt = \frac{1}{p}x</math>}}
すなわち，微分すれば <math>p</math> 倍となり，積分すれば <math>\frac{1}{p}</math> となる関数は手近なところに見出される．それは指数関数
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{pt}</math>}}
である．ここに <math>p</math> は実数または複素数である．この事実に留意して <math>x(t)</math> に対する微分や積分を <math>e^{pt}</math> に肩代わりさせることを試みよう．
それは部分積分<ref>
部分積分を復習しておく．関数 <math>f(x), g(x)</math> の積 <math>f(x)g(x)</math> の <math>x</math> による微分は<br />
<math>\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)</math><br />
ゆえに <math>f(x)g'(x) = \{ f(x)g(x) \}' - f'(x)g(x)</math><br />
両辺を <math>x</math> で積分すると <math>\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx</math>
</ref>を通じて可能となる．すなわち
{{制御と振動の数学/equation|関数：<math>f(t), g(t)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|導関数：<math>f'(t), g'(t)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|原始関数：<math>F(t), G(t)</math>}}
とすると，部分積分は
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int f'(t)g(t)dt</math> を <math>\int f(t)g'(t)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int F(t)g(t)dt</math> を <math>\int f(t)G(t)</math>}}
に変える技法であるから，まず


<strong>(a)</strong>

{{制御と振動の数学/equation|<math>f(t) = x(t), g(t) = e^{-pt}</math>}}
とおくと，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^T x'(t)e^{-pt}dt = x(T)e^{-pT} - x(0) - (-p) \int_0^T x(t)e^{-pt}dt</math><ref><math>x'(t)</math> を積分、<math>e^{-pt}</math> を微分した．</ref>}}
となる．ここで，
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(T)e^{-pT} \to 0 \quad (T \to \infty)</math>}}
となるならば<ref>
<math>|x(t)|<Me^{\alpha t} (\alpha</math> は実数) ならば，<math>p > \alpha</math> のとき可能．このような <math>x(t)</math> を指数位の関数という．
</ref>，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^\infty x'(t)e^{-pt}dt = p \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt - x(0)</math>|tag=(1.18)|label=eq:1.18}}
となる．そこで今，
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(t) \mapsto \tilde{X}(p) := p \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt</math>|tag=(1.19)|label=eq:1.19}}
のような対応（積分変換）を考えると，式 [[制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の合理化#eq:1.18|(1.18)]] は
{{制御と振動の数学/equation|<math>x'(t) \mapsto p \tilde{X}(p) - px(0)</math><ref>
さらに精緻にみていく．<math>x(t) \mapsto \tilde{X}(p) = p \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt</math>．したがって<br />
<math>x'(t) \mapsto p \int_0^\infty x'(t)e^{-pt}dt</math>．<br />
ここで式 [[制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の合理化#eq:1.18|(1.18)]] よりただちに<br />
<math>\int_0^\infty x'(t)e^{-pt}dt = p \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt - x(0)</math><br />
ゆえに <math>x'(t) \mapsto p \left[ p \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt - x(0) \right]</math><br />
<math>p</math> を各項に分配して <math>x'(t) \mapsto p \cdot p \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt - px(0)</math><br />
ここで <math>\tilde{X}(p) = p \ \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt</math> だから<br />
<math>x'(t) \mapsto p \tilde{X}(x) - px(0)</math>．<br />
</ref><ref>
式 [[制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の完成#eq:1.12|(1.12)]] と比較せよ．
</ref>|tag=(1.20)|label=eq:1.20}}
となる．


<strong>(b)</strong>

次に，
{{制御と振動の数学/equation|<math>F(t)=\int_0^t x(\tau)d\tau, \quad g(t) = e^{-pt}</math>
<ref>部分積分 <math>\int F(t)g(t)dt = F(t)G(t) - \int f(t)G(t)dt</math> を適用する．
</ref>}}
とおいて部分積分を考えると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^T F(t)e^{-pt}dt = \left[ F(t)(-\frac{1}{p})e^{-pt} \right]^T_0 - \frac{(-1)}{p}\int_0^T x(t)e^{-pt}dt</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^T F(t)e^{-pt}dt = -\frac{F(T)}{p}e^{-pT} + \frac{1}{p}\int_0^T x(t)e^{-pt}dt</math><ref>
<math>F(0)=\int_0^{t=0} x(\tau)d\tau = 0</math>
</ref>}}
となる．ここでも，
{{制御と振動の数学/equation|<math>F(T)e^{-pT} \to 0 \quad (T \to \infty)</math>}}
となるならば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^\infty \left \{ \int_0^t x(\tau)d\tau \right \} e^{-pt}dt</math><math> = \frac{1}{p}\int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt</math>}}
となる．対応　式 [[制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の合理化#eq:1.19|(1.19)]] を考えれば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^t x(\tau)d\tau \mapsto \frac{1}{p}\tilde{X}(p)</math>|tag=(1.21)|label=eq:1.21}}
を得る<ref>
<math>x(t) \mapsto \tilde{X}(p) = p \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt</math>．したがって<br />
<math>\int_0^t x(\tau)d\tau \mapsto p\int_0^\infty \left \{ \int_0^t x(\tau)d\tau \right \} e^{-pt}dt</math>．<br />
<math>\int_0^\infty \left \{ \int_0^t x(\tau)d\tau \right \} e^{-pt}dt = \frac{1}{p}\int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt</math> であるから，<br />
<math>\int_0^t x(\tau)d\tau \mapsto p \cdot \frac{1}{p} \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt = \frac{1}{p} \cdot p \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt</math><br />
ここで <math>\tilde{X}(p) = p \ \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt</math> だから<br />
<math>\int_0^t x(\tau)d\tau \mapsto \frac{1}{p} \tilde{X}(p)</math>．
</ref>．
式 [[制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の合理化#eq:1.20|(1.20)]] と [[制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の合理化#eq:1.21|(1.21)]] は我々が求めていた関係である<ref>
さらに [[制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の完成#eq:1.13|式(1.13)]] については，
<math>e^{at} \mapsto p \int_0^\infty e^{at}e^{-pt}dt = p\int_0^\infty e^{(a - p)t}dt = \frac{p}{a - p} \left[ e^{(a - p)t} \right]_0^\infty = \frac{p}{p - a}</math>．（ただし <math>p > a</math>）<br />
また式 [[制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の完成#eq:1.14a|(1.14a)]] については，
<math>p\int_0^{\infty} t^n e^{-pt}dt = \frac{n}{p}\cdot p\int_0^{\infty} t^{n - 1}e^{-pt}dt</math> および <math>p\int_0^{\infty} t^0 e^{-pt}dt = 1</math> より
<math>t^n \mapsto \frac{n!}{p^n}</math>．<br /> 
式[[制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の完成#eq:1.16|(1.16)]]，[[制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の完成#eq:1.17|(1.17)]]については，<br/>
<math>I_1 = p\int_0^{\infty}\sin\omega t\ e^{-pt}dt,\quad I_2 = p\int_0^{\infty}\cos\omega t\ e^{-pt}dt</math> と置くとき，<br />
<math>I_1 = \omega\int_0^{\infty}\cos\omega t\ e^{-pt}dt</math>…①，
<math>I_2 = 1 - \omega\int_0^{\infty}\sin\omega t\ e^{-pt}dt</math>…②<br />
①②より <math>I_1 = \frac{\omega}{p}\left(1 - \frac{\omega}{p}I_1\right)</math>．<br />
すなわち <math>\sin\omega t \mapsto I_1 = \frac{\omega p}{p^2 + \omega^2}</math><br />
また <math>\cos\omega t \mapsto I_2 = 1 - \frac{\omega}{p}I_1 = \frac{p^2}{p^2 + \omega^2}</math><br />
</ref>．
つまり，変換式 [[制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の合理化#eq:1.19|(1.19)]] によって <math>t</math> の関数を <math>p</math> の関数に変換すれば，
<math>t</math> の領域での微分や積分が，<math>p</math> の領域では <math>p</math> を乗除することに対応することが証明されたのである．
ここでは <math>p</math> は数であるから，<math>p</math> に関する演算に係わるわだかまりは氷解するのである．
このようにして，少なくとも，1930 年頃までには，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\tilde{F}(p) = p\int_0^\infty f(t)e^{-pt}dt</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>f(t) = \frac{1}{2\pi i}\int_{c - i\infty}^{c + i\infty}\frac{\tilde{F}(p)}{p}e^{pt}dp</math>}}
なる関係式が見出だされ，演算子法の合理化が完成したのである．しかし現在では，
{{制御と振動の数学/equation|<math>F(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st}dt</math>|tag=(1.22)|label=eq:1.22}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>f(t) = \frac{1}{2\pi i}\int_{c - i\infty}^{c + i\infty}F(s)e^{st}ds</math>|tag=(1.23)|label=eq:1.23}}
が用いられている．この方が部分分数分解などを行う際の計算が楽になるのである．
この式は，これより以前に [[w:%E3%83%94%E3%82%A8%E3%83%BC%E3%83%AB%EF%BC%9D%E3%82%B7%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9|Laplace (1749-1827)]] によって用いられていたので，
式 [[制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の合理化#eq:1.22|(1.22)]] を [[w:%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B|Laplace 変換]]（Laplace 積分），
式 [[制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の合理化#eq:1.23|(1.23)]] を Laplace の逆変換（Bromwich 積分, または Laplace 積分の反転公式）と呼んでいる．
この対応を，
{{制御と振動の数学/equation|<math>f(t) \sqsupset F(s)</math>}}
あるいは，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[f(t)] = F(s)</math>}}
などと記す．この対応（変換）により，微分・積分が，<math>s</math> の乗・除という代数演算に変換され，それに伴い微分方程式が代数方程式となる．そして，
この原理によって，微分方程式を解くことができるのである．このような方法で，ある種の積分方程式や差分方程式を解くこともできる．
このような考え方は，特に新奇なものではない．これと類似の演算技法はすでに経験済みである．
対数をとることによって，掛け算を足し算に変えたあの技法を思い出せばよいのである．




<references />