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== 数列の和 ==
=== 数列の和の公式 ===
*<span id="シグマ4"/><math> \sum_{k=1}^n k^4 = {1\over 30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)</math>
*:
*:導出は、<math> \sum_{k=1}^n k^2</math> の場合（[[高等学校数学B/数列#シグマ2|証明]]）、<math> \sum_{k=1}^n k^3</math> の場合（[[高等学校数学B/数列#シグマ3|証明]]）の延長と考える。
*:　
*:<math>(k+1)^5 - k^5 = 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1</math> である。ここで <math>k</math> に 1 から <math>n</math> までを代入したものはそれぞれ
*:　
*:<math>2^5 - 1^5 = 5\cdot1^4 + 10\cdot1^3  + 10\cdot1^2 + 5\cdot1 + 1</math>
*:<math>3^5 - 2^5 = 5\cdot2^4 + 10\cdot2^3  + 10\cdot2^2 + 5\cdot1 + 1</math>
*:　　　　　　　　　　<math>\vdots</math>
*:<math>(n+1)^5 - n^5 = 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 1</math>
*:　
*:である。この <math>n</math> 式をそれぞれ足し合わせると、
*:　
*:<math>(n+1)^5 - 1 = 5\sum_{k=1}^{n}k^4 + 10\sum_{k=1}^{n}k^3 + 10\sum_{k=1}^{n}k^2 + 5\sum_{k=1}^{n}k + n</math>
*:　
*:となる。ここで、<math>\sum_{k=1}^{n}k^4</math> について、変形すると、
*:　
*:<math>\sum_{k=1}^{n}k^4 = \frac{1}{5} \left((n+1)^5 - 1 - 10\sum_{k=1}^{n}k^3 - 10\sum_{k=1}^{n}k^2 - 5\sum_{k=1}^{n}k - n \right)</math> 
*:　
*:<math>\sum_{k=1}^{n}k^4 = \frac{1}{5} \left((n+1)^5 - 1 - 10\sum_{k=1}^{n}k^3 - 10\sum_{k=1}^{n}k^2 - 5\sum_{k=1}^{n}k - n \right)</math> 
*:　
*::<math> \sum_{k=1}^n k = {1\over 2}n(n+1)</math>, <math> \sum_{k=1}^n k^2 = {1\over 6}n(n+1)(2n+1)</math>, <math> \sum_{k=1}^n k^3 = \left\{ {1\over 2}n(n+1) \right\}^2</math> を代入して、
*:　
*:<math>\sum_{k=1}^{n}k^4 = \frac{1}{5} \left((n+1)^5 - 1 - {10\over 4}n^2(n+1)^2 - {10\over 6}n(n+1)(2n+1) - {5\over 2}n(n+1) - n \right)</math> 
*:　
*::<math>= \frac{1}{30} \left(6(n+1)^5 - 15n^2(n+1)^2 - 10n(n+1)(2n+1) - 15n(n+1) - 6(n + 1)\right)</math> 
*:　
*::<math>= \frac{n+1}{30} \left(6(n+1)^4 - 15n^2(n+1) - 10n(2n+1) - 15n - 6\right)</math> 
*:　
*::<math>= \frac{n+1}{30} \left(6(n+1)^4 - 15n^2(n+1) - 10n(2n+1) - 15n - 6\right)</math><math>= \frac{n+1}{30} \left\{6(n+1)^4 - 6 - 15n^2(n+1) - 10n(2n+1) - 15n\right\}</math>
*:　
*::<math>= \frac{n+1}{30} \left\{6n((n+1)^3+(n+1)^2+(n+1)+1) - 15n^2(n+1) - 10n(2n+1) - 15n\right\}</math>
*:　
*::<math>= \frac{n(n+1)}{30} \left\{6(n+1)^3+6(n+1)^2+6(n+1)+6 - 15n(n+1) - 10(2n+1) - 15\right\}</math>
*:　
*:::ここで括弧内の式を<math>n+1=N</math> で置換すると
*::::（括弧内の式）<math>=6N^3+6N^2+6N+6-15N(N-1) - 10(2N-1) - 15 = 6N^3-9N^2+N+1 </math>
*::::この式は、<math>N=\frac{1}{2}</math> のとき、<math>0</math> となるから、<math>2N-1</math> を因数に持ち、括弧内の式を因数分解すると <math>6N^3-9N^2+N+1 =(2N-1)(3N^2-3N-1)</math> 
*::::置換を戻すと、<math>(2N-1)(3N^2-3N-1)=(2(n+1)-1)(3(n+1)^2-3(n+1)-1)=(2n+1)(3n^2+3n-1)</math> となる。<math>3n^2+3n-1</math> は、判別式<math>D=3^2-4\cdot 3\cdot(-1)= 21</math>であって平方数ではなく、整数計数式には因数分解できないため、以上の結果を代入すると、
*:　
*:<math> \sum_{k=1}^n k^4 = {1\over 30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)</math> となる。
*:　
;<span id="連続する自然数の積の和"/>連続する自然数の積の和
*<math> \sum_{k=1}^n k(k+1) = 1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 3\cdot 4 + \cdots + n(n+1) = {1\over 3}n(n+1)(n+2)</math>
**'''既存の知識（公式）を使う解法'''
**:<math> \sum_{k=1}^n k(k+1) = \sum_{k=1}^n (k^2+k)  = \sum_{k=1}^n k^2 +  \sum_{k=1}^n k = {1\over 6}n(n+1)(2n+1) + {1\over 2}n(n+1) = {1\over 6}n(n+1)(2n + 1 +3) = {1\over 3}n(n+1)(n+2)</math>
**:　
**'''「連続する自然数の積」に着目する解法'''
**:<math>k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)= k(k+1)\{(k+2)-(k-1)\} = 3k(k+1)</math> となることを利用。
**:　
**:<math>k=1</math>のとき、<math>1\cdot 2 \cdot 3 - 0 \cdot 1 \cdot 2 = 3\cdot 1\cdot 2</math> 
**:<math>k=2</math>のとき、<math>2\cdot 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot 3 = 3\cdot 2\cdot 3</math> 
**:　　　　　　　　　　<math>\vdots</math>
**:<math>k=n</math>のとき、<math>n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1) = 3n(n+1)</math> 
**:　
**:これを辺々足し合わせると、
**::左辺の第1項は、次式の第2項と打ち消しあい、（左辺の合計）=<math>n(n+1)(n+2) - 0 \cdot 1 \cdot 2 = n(n+1)(n+2)</math> となり、
**::右辺は、<math>k=1</math> から <math>k=n</math> までの合計となるので、（右辺の合計）<math>=\sum_{k=1}^n 3k(k+1) = 3\sum_{k=1}^n k(k+1)</math> である。
**:　
**:以上より、<math>n(n+1)(n+2) = 3\sum_{k=1}^n k(k+1)</math> となり、<math> \sum_{k=1}^n k(k+1) = {1\over 3}n(n+1)(n+2)</math> が証明された。
**:　
**:　
**:同じ方法により、 <math> \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) = {1\over 4}n(n+1)(n+2)(n+3)</math> も、
**:　
**:一般形である、<math> \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2)\cdots (k+m-1)= \frac {n(n+1)(n+2)(n+3)\cdots (n+m)}{m+1}</math> も証明することができる。

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