初等数学公式集/数列のソースを表示

== 一般項 ==
*等差数列(算術数列)
*:初項を  <math>a_1</math> とし、公差を <math>d</math>とすれば、<math>n</math>番目の項 <math>a_n</math> は
*::<math>{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}</math>
*等比数列(幾何数列)
*:初項を  <math>a_1</math> とし、公比を <math>r</math>とすれば、<math>n</math>番目の項 <math>a_n</math> は
*::<math>{\displaystyle a_{n}=a_1r^{n-1}}</math>
== 数列の和 ==
<span id="シグマ"/>数列 <math>a_i</math> に関して、 <math>i</math>について区間<math>[m,n]</math>で足し上げた総和を記号:<math> \sum</math>（シグマ）を用いて、<math> \sum_{i=m}^n a_i</math>と表す。

=== 数列の和の性質 ===
*<math> \sum_{i=m}^n a_i - \sum_{i=m}^{n-1} a_i = a_n</math>
*:　
;線形性
* <math>\sum_{i=m}^n \left(a_i+b_i\right) = \left( \sum_{i=m}^n a_i \right) + \left( \sum_{i=m}^n b_i \right)</math>
* <math>\sum_{i=m}^n \lambda a_i = \lambda \sum_{i=m}^n a_i</math>
*:なお、 <math> \sum_{k=1}^n 1 = n</math>、したがって、<math> \sum_{k=1}^n \lambda = \lambda n</math>
=== 数列の和の公式 ===
;等差数列の和
* <math> \sum_{k=1}^n \left\{a + d(k-1)\right\} = \frac{n}{2}(2a + d(n-1))</math>
*:　
;等比数列の和
* <math> \sum_{k=1}^n ar^{k-1}=\begin{cases}
   an                & (r=1)\\
  \cfrac{a(1-r^n)}{1-r}& (r\not=1)\end{cases}
</math>
*:　
;自然数の累乗の和
* <math> \sum_{k=1}^n k = {1\over 2}n(n+1)</math>　（[[高等学校数学B/数列#シグマ1|証明]]）
*:　
* <math> \sum_{k=1}^n k^2 = {1\over 6}n(n+1)(2n+1)</math>　（[[高等学校数学B/数列#シグマ2|証明]]）
*:　
* <math> \sum_{k=1}^n k^3 = \left\{ {1\over 2}n(n+1) \right\}^2</math>　（[[高等学校数学B/数列#シグマ3|証明]]）
*:　
* <math> \sum_{k=1}^n k^4 = {1\over 30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)</math>　（[[/証明#シグマ4|証明]]）
*:　
;連続する自然数の積の和　（[[/証明#連続する自然数の積の和|証明]]）
* <math> \sum_{k=1}^n k(k+1) = 1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 3\cdot 4 + \cdots + n(n+1) = {1\over 3}n(n+1)(n+2)</math>
*:　
* <math> \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) = 1\cdot 2\cdot 3 + 2\cdot 3\cdot 4 + 3\cdot 4\cdot 5 + \cdots + n(n+1)(n+2) = {1\over 4}n(n+1)(n+2)(n+3)</math>
*:　
* <math> \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2)\cdots (k+m-1)</math> [<math>m</math>個の連続する自然数の積の和]<math>= \frac {n(n+1)(n+2)(n+3)\cdots (n+m)}{m+1}</math>
*:　
;連続する自然数の積を分母とする数列の和
* <math> \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots - \frac{1}{n} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}  = \frac{n}{n+1} </math>
*:　
* <math> \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} + \frac{1}{2\cdot 3\cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)(n+2)} </math>
*:<math>= {1\over 2}\left(\frac{1}{1\cdot 2} - \frac{1}{2\cdot 3}\right) + {1\over 2}\left(\frac{1}{2\cdot 3} - \frac{1}{3\cdot 4}\right) + \cdots +  {1\over 2}\left(\frac{1}{(n-1)n} - \frac{1}{n(n+1)}\right) + {1\over 2}\left(\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) </math>
*:<math>= {1\over 2}\left(\frac{1}{1\cdot 2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)} </math>

== 階差数列 ==
{{wikipedia|階差数列}}
初項が <math>a_1</math> であり、2項間の差<math>:b_k = a_{k+1} - a_k</math>としたとき、<math>\{b_k\}</math> が規則性を持つのであれば（すなわち、いわゆる数列であれば）、<math>\{a_k\}</math> も規則性を有することとなり数列であると言える。このような数列を'''階差数列'''という。さらに、数列<math>\{b_k\}</math> の規則性が不明瞭である時、さらにその階差をとって数列<math>\{c_k\}</math> を作って明瞭な規則性を発見する場合もあり、それからさらに階差の深度を深める場合もある。数列<math>\{a_k\}</math> に対して、数列<math>\{b_k\}</math> を第1階差数列、数列<math>\{c_k\}</math> を第2階差数列という。
:
:<math>a_n - a_{n-1} = b_{n-1} </math> であるとき、<math>a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k</math> 
::<math>\because a_n = b_{n-1} + a_{n-1} = b_{n-1} + b_{n-2} + a_{n-2} = b_{n-1} + b_{n-2} + b_{n-3} + a_{n-3} = \cdots = b_{n-1} + \cdots + b_1 + a_1 = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k</math> 
:
:<math>a_n - a_{n-1} = b_{n-1}, b_n - b_{n-1} = c_{n-1}</math> であるとき、<math>a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}  \left( \sum_{k=1}^{n-2} c_k\right)</math> 

== 漸化式と一般項 ==
初項<math>a_1</math>の値と、第<math>k</math>項<math>a_k</math>と第<math>k+1</math>項<math>a_{k+1}</math>の関係によって数列を定義することができる。このような定義のしかたを数列の帰納的定義といい、<math>a_k</math>と<math>a_{k+1}</math>のような関係式を漸化式という。
=== 二項間漸化式 ===
※以下、初項<math>a_1</math>は所与
*<math>\displaystyle a_{n+1}-a_n=k</math>（定数） のとき、
*:一般項は、<math>a_n=a_1+k(n-1)</math>　　[等差数列]
*<math>\displaystyle a_{n+1}=ra_n </math> のとき、
*:一般項は、<math>a_n=a_1r^{n-1}</math>　　[等比数列]
*<math>\displaystyle a_{n+1}-a_n=b_n</math> のとき、
*:一般項は、<math>a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_k</math>　　[階差数列]
**階差数列の拡張
**:<math>a_n</math>の一般項は不明であるが、数列の和 <math>\sum_{i=1}^n a_i</math>を漸化式<math>S_n</math>として、<math>n</math>の式で与えられていたり、<math>a_n</math>を含んだ関係式が示されているとき、
**::<math>S_n - S_{n-1} = a_n</math> , <math>S_1 = a_1</math>
**:の性質を用い、<math>a_n</math>の一般項を求める。
==== 等比数列となる漸化式の応用 ====
*<math>\displaystyle a_{n+1}=ra_n+k</math>　<math> (r\not=1)</math> のとき、
*:
*:
*:<math>\displaystyle a_{n+1}=r\left(a_n-\frac{k}{1-r}\right)+\frac{k}{1-r} </math> 
*:
*:ここで、
*::<math>\displaystyle b_n = a_n-\frac{k}{1-r}</math> とすると、
*:
*:元の漸化式は、
*::<math>\displaystyle b_{n+1}=rb_n </math> となり、これは等比数列なので、一般項は、<math>b_n=b_1r^{n-1}</math> となる。
*:
*::<math>\displaystyle a_n = b_n+\frac{k}{1-r}</math> かつ、<math>\displaystyle b_1 = a_1-\frac{k}{1-r}</math> なので、
*:
*:一般項は、<math>\displaystyle a_n =\left( a_1-\frac{k}{1-r}\right)r^{n-1}+\frac{k}{1-r}</math> となる。

=== 三項間漸化式 ===
※以下、初項<math>a_1</math>及び第2項<math>a_2</math>は所与
==== 一般形 ====
:<math>\displaystyle a_n + s a_{n-1} + t a_{n-2}=0</math> - ① のとき、
::<math>\displaystyle a_n - \alpha a_{n-1}=\beta (a_{n-1}- \alpha a_{n-2})</math> - ② と変形、
:::<math>\displaystyle a_n - \alpha a_{n-1}=\beta (a_{n-1}- \alpha a_{n-2})=\beta^2 (a_{n-2}- \alpha a_{n-3})</math>・・・<math>\displaystyle =\beta^{n-2} (a_2+ \alpha a_1)</math> - ③
::①と②から、<u><math>-s = \alpha + \beta</math>, <math>t = \alpha \beta</math>が成立している（※）</u>ので、①は<math>\displaystyle a_n - \beta a_{n-1}=\alpha (a_{n-1}- \beta a_{n-2})</math>とも変形でき、③同様、
:::<math>\displaystyle a_n - \beta a_{n-1} =\alpha^{n-2} (a_2- \beta a_1)</math> - ④となる。
::③-④
:::<math>- \alpha a_{n-1} + \beta a_{n-1} =\beta^{n-2} (a_2- \alpha a_1) - \alpha^{n-2} (a_2- \beta a_1)</math>
:::即ち、<math>(\beta - \alpha ) a_n =\beta^{n-1} (a_2- \alpha a_1) - \alpha^{n-1} (a_2- \beta a_1)</math>
:::<math>a_n =\frac {\beta^{n-1} (a_2- \alpha a_1) - \alpha^{n-1} (a_2- \beta a_1)}{\beta - \alpha}</math>  - ⑤
:
::（参考）
::#※から、<math>\alpha, \beta</math>は、二次方程式<math>\displaystyle x^2 + s x + t=0</math>（特性方程式）の解であることがわかるが、高校の過程では「変形できる」でよい。
::#特性方程式の解が、以下に示す重解の場合を除き、有理数である時のみならず、無理数であっても（下記「[[#フィボナッチ数列|フィボナッチ数列]]参照」）、虚数解であっても成立する。

==== 特殊形 ====
上記②において、<math>\alpha = \beta</math>であるとき
:変形の結果、以下の式が得られる。
::<math>\displaystyle a_n - \alpha a_{n-1}=\alpha^{n-2} (a_2- \alpha a_1)</math>
:両辺を<math>\displaystyle \alpha^n</math>で割ると、
::<math>\displaystyle \frac{a_n}{\alpha^n} - \frac{a_{n-1}}{\alpha^{n-1}}= \frac{a_2- \alpha a_1}{\alpha^2}</math>
:ここで、<math>\displaystyle \frac{a_n}{\alpha^n} = b_n</math>、左辺は定数なので、<math>k</math>と置くと、この式の形は、<math>\displaystyle b_n - b_{n-1}=k</math>となり、等差数列となる。したがって、
::<math>\displaystyle b_n =b_1+k(n-1)=\frac{a_1}{\alpha}+\frac{(a_2- \alpha a_1)(n-1)}{\alpha^2}</math>
::<math>\displaystyle a_n =\alpha^n b_n=\alpha^{n-2}((n-1) a_2 - \alpha (n-2) a_1)</math>

==== 非斉次形 ====
<math>\displaystyle a_n - 2 a_{n-1} + a_{n-2}=k</math>(定数)は以下のように変形して解くことができる。
:<math>\displaystyle a_n - a_{n-1} =  a_{n-1} - a_{n-2} + k</math>
:<math>\displaystyle a_n - a_{n-1} =  b_{n-1}</math>とおけば、<math>\displaystyle b_n =  b_{n-1} + k</math>なので、<math>\{b_n\}</math>は等差数列となり、
:<math>b_{n-1}=b_1+k(n-2)=a_2-a_1+k(n-2)</math>である。これが<math>\{a_n\}</math>の階差数列であることから、
:<math>a_n=a_1+\sum_{l=2}^{n} (a_2-a_1+k(l-2))=(n-1)a_2-(n-2)a_1+\frac{k(n-2)(n-1)}{2}</math>

=== フィボナッチ数列 ===
{{wikipedia|フィボナッチ数}}
以下の関係で定義される数列をフィボナッチ数列という。
:<math>F_1 =1</math>, <math>F_2 =1</math>,  <math>F_n = F_{n-1} + F_{n-2} </math> (<math>n</math> ≧3)

:上記三項間漸化式にあてはめ、<math>F_n - F_{n-1} - F_{n-2} = 0 </math>を解く。
:特性方程式:<math>\displaystyle x^2 - x - 1=0</math>を解くと<math>x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}</math>であるから、
::<math>\alpha = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}</math>, <math>\beta = \frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>
:を⑤に代入する。<math>\beta - \alpha= \sqrt{5}</math>, <math>F_2 -  \alpha F_1= \frac{1+\sqrt{5}}{2} = \beta</math>, <math>F_2 -  \beta F_1= \frac{1- \sqrt{5}}{2} = \alpha</math>であるから、
::<math>F_n =\frac {\beta^{n-1} (F_2- \alpha F_1) - \alpha^{n-1} (F_2- \beta F_1)}{\beta - \alpha} =\frac {\beta^n - \alpha^n}{\beta - \alpha} =\frac {1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+ \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1- \sqrt{5}}{2} \right)^n \right\}</math>
==== 参考（黄金数）====
{{wikipedia|黄金比}}
:<math>\displaystyle x^2 - x - 1=0</math>の正の解;<math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>（上記<math>\beta</math>）との比を'''黄金比'''（Golden ratio）、その値を'''黄金数'''といい、しばしば、<math>\varphi</math>で表す。
:同様に、<math>\varphi</math>と共役関係にある負の解;<math>\frac{1-\sqrt{5}}{2}</math>（上記<math>\alpha</math>）を<math>\overline{\varphi}</math>で表し、フィボナッチ数を以下のように表すこともある。
:　
::<math>F_n =\frac {\varphi^n - \overline{\varphi}^n}{\varphi - \overline{\varphi}} =\frac {1}{\sqrt{5}} ( \varphi^n - \overline{\varphi}^n )</math>
:　
:黄金比・黄金数は、数学の[[初等数学公式集/初等関数の性質/参考#黄金比との関係|その他の分野]]にも登場する興味深い数である。
<!--=== 様々な漸化式の解法 ===-->

== 数学的帰納法 ==
:順々に出現する自然数<math>n</math>について（離散的）、命題が成立することの証明法。
:　
:（手順）
:#<math>n=1</math>のときに、命題が成り立つことを証明。
:#<math>n=k</math>のときに、その命題が成り立つことを仮定して，演算を行なって<math>n=k+1</math>のときその命題が成り立つことを証明する。
:#1.及び2.により、与えられた命題はすべての自然数<math>n</math>について成り立つことが証明された。
:　
::（事例）一般項の式が漸化式を満たすことの証明
:::<math>\displaystyle a_{n+1}=ra_n+k , a_1=a , (r\not=1)</math> のとき、一般項は、<math>\displaystyle a_n =\left( a -\frac{k}{1-r}\right)r^{n-1}+\frac{k}{1-r}</math> （命題※）となることの証明。
:::#<math>n=1</math>のとき、<math>a_1=a</math> 。一般項の式:<math>\left( a-\frac{k}{1-r}\right)r^{1-1}+\frac{k}{1-r} = a-\frac{k}{1-r} + \frac{k}{1-r} = a</math>、となり命題※は成立。
:::#<math>n=m</math>のとき、命題※が成立していると仮定。
:::#:<math>n=m+1</math>のとき、
:::#:<math>\displaystyle a_{m+1} = ra_m + k = r \left( \left( a -\frac{k}{1-r}\right)r^{m-1}+\frac{k}{1-r} \right) + k</math><math> = \left( a -\frac{k}{1-r}\right)r^m + \frac{kr}{1-r} + k</math><math> = \left( a -\frac{k}{1-r}\right)r^m + \frac{k}{1-r}</math>
:::#::となり、<math>n=m+1</math>のときも命題※は成立している。
:::#1.及び2.により、命題※はすべての自然数<math>n</math>について成り立つ。

== 数列・級数の極限 ==
=== 極限 ===
:自然数 <math>n</math> に対応する数列 <math>a_n</math> について、<math>n</math> が無限に大きくなるものを'''無限数列'''といい、無限に大きくする操作を <math>\lim_{n\to\infty}a_n</math> と記述する。
:<math>\lim_{n\to\infty}a_n</math> による数列 <math>a_n</math> の挙動には以下のものがある。
:#ある実数 <math>\alpha</math> に<u>限りなく近づく<ref>数学的に厳密な表現ではないが、高校数学では足りる。 <math>a_m = \alpha</math> となる自然数 <math>m</math> が存在しているわけではないことに注意。</ref></u>。これを、<math>\lim_{n\to\infty}a_n = \alpha</math> と表記し、「数列 <math>a_n</math> は、<math>\alpha</math> に'''収束'''する」という。
:#:（例）<math>a_n = \left( \frac{1}{2} \right)^n</math>, <math>a_n = \left( - \frac{1}{2} \right)^n</math>　いずれも、<math>\lim_{n\to\infty}a_n = 0</math> となる。
:#<math>n</math> が無限に大きくなることで収束しない場合を、'''発散'''するという。
:##<math>n</math> が無限に大きくなると <math>a_n</math> も無限に大きくなる。これを、<math>\lim_{n\to\infty}a_n = \infty</math> と表記し、「数列 <math>a_n</math> は、正の無限大に発散する」という。
:##:（例）<math>a_n = n</math>, <math>a_n = 2^n</math>　いずれも、<math>\lim_{n\to\infty}a_n = \infty</math> となる。
:##<math>n</math> が無限に大きくなると <math>a_n</math> は<u>負の方向に無限に大きくなる<ref>「無限に小さくなる」は、基本的に「<math>0</math> に近づく」を意味するので、この表現を用いる。</ref></u>。これを、<math>\lim_{n\to\infty}a_n = -\infty</math> と表記し、「数列 <math>a_n</math> は、負の無限大に発散する」という。
:##:（例）<math>a_n = -n</math>, <math>a_n = -2^n</math>　いずれも、<math>\lim_{n\to\infty}a_n = -\infty</math> となる。
:##<math>n</math> が無限に大きくなると <math>a_n</math> は、<math>n</math> の値によって、正または負の値いずれかを取り、収束しない。これを'''振動'''するという。なお、<math>a_n = (-1)^n</math> は、振動し収束しないが発散の範疇とは通常しない。
:##:（例） <math>a_n = (-a)^n (a >1)</math>
:上記の場合で、振動しないものを「'''極限'''がある」といい、振動するものを「極限がない」という。
=== 数列の極限 ===
* 数列 <math>\displaystyle \{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}</math> が、<math>N</math> が十分大きいとき常に <math>\displaystyle a_N \le b_N \le c_N</math> を満たし、<math>\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha</math> となるならば、<math>\displaystyle \{b_n\}</math> も収束し、
*:<math>\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha</math>
（はさみうちの原理）
*数列<math>\{a_n\}, \{b_n\}</math>が<math>N</math>が十分大きいとき常に<math>a_N < b_N</math>を満たし、<math>\lim_{n \to \infty} a_n = \infty</math>となるならば、
*:<math>\lim_{n \to \infty} b_n = \infty</math>
（追い出しの原理）
* 数列 <math>\{a_n\},\{b_n\}</math> に対して, <math>\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha</math>, <math>\lim_{n\to\infty}b_n=\beta</math> ならば、
# <math>\lim_{n\to\infty}ka_n=k\alpha</math> ただし <math>k</math> は定数。
# <math>\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=\alpha\pm \beta</math>　（複号同順）。
# <math>\lim_{n\to\infty}a_nb_n=\alpha\beta</math>
# <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}</math> 　（ただし、<math>\beta\not=0</math>）。
* 数列 <math>\{r^n\}</math> について、
# <math>\displaystyle |r|<1</math> ならば <math>\lim_{n\to\infty}r^n=0</math>。（収束）
# <math>r=1</math> ならば <math>\lim_{n\to\infty}r^n=1</math>。（収束）
# <math>\displaystyle r > 1</math> ならば <math>\lim_{n\to\infty}r^n=\infty</math>。（発散）
# <math>r</math> &le; <math>-1</math> ならば <math>\lim_{n\to\infty}r^n</math> は存在しない。（振動）
* 数列 <math>\{ n r^n\}</math> において、<math>0 < r < 1</math> ならば <math>\lim_{n\to\infty}n r^n=0</math>
:(証明) <math> \frac{1}{r} > 1 </math> であるから <math> \frac{1}{r} = 1 + h , (h > 0) </math> とおくと、<math> n > 2 </math> のとき、
:: <math> 0 < n r^n = \frac{n}{(1+h)^n} < \frac{n}{ \frac{n(n-1)}{2}h^2 } = \frac{2}{(n-1)h^2} </math>。
: ここで、<math> (1+h)^n </math>を2項定理で展開して、2次の項だけ抽出した。<math> n \to \infty </math> のとき右辺 <math> \to 0 </math> であるから、はさみうちの原理により、<math> \lim_{n\to\infty}n r^n=0 </math>
=== 級数の極限 ===
:無限数列 <math>a_n</math> の各項を足し合わせたものを'''無限級数'''または単に'''級数'''と呼ぶ。和の表現を用いると、<math> \sum_{i=m}^{\infty} a_i</math>であり、<math> \sum_{i=m}^n a_i = S_n</math> という数列であると捉えると、<math>\lim_{n\to\infty}S_n</math> と記すことができる。  
:
* 級数： <math>S_n=\sum_{k=0}^{n} ar^{k}</math> について、
# <math>|r|<1</math> のとき <math>\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{a}{1-r}</math>。
# <math>|r|</math> &ge; <math>1</math> のとき <math>\lim_{n\to\infty}S_n</math> は発散する。
:(証明)<math>S_n - r S_n = a(\sum_{k=0}^{n} r^{k} - \sum_{k=1}^{n+1} r^{k}) = a(r^0 - r^{n+1})</math>
:<math>\therefore S_n = \frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}</math>
:<math>|r|<1</math>のとき<math>\lim_{n \to \infty} r^{n+1} =0 </math>より<math>\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a}{1-r}</math>
:<math>r>1</math>のとき<math>\lim_{n \to \infty} r^{n+1} = \infty</math>より<math>S_n</math>の極限は発散する。
<!--:<math>r=1, r=-1, r<-1</math>のときの証明は誰か頼んだ。-->

== 脚注 ==
<references/>
{{DEFAULTSORT:しよとうすうかくこうしきしゆう 06すうれつ}}
[[カテゴリ:数列]]
[[Category:初等数学公式集|すうれつ]]