初等数学公式集/数と集合・論理/証明のソースを表示

== 数の性質 ==
=== 数の体系 ===
==== 実数 ====
===== 無理数と有理数の和 =====
;無理数と有理数の和は無理数となることの証明
:数<math>a</math>が無理数、数<math>b</math>が有理数であるとき、その和<math>c</math>を有理数であると仮定、
:<math>a + b = c</math>
:<math>b</math>を移項して、
:<math>a = c - b</math>
:右辺は有理数となるため、仮定に矛盾する。
:従って、<math>c</math>は無理数であり、無理数と有理数の和は無理数となる（[[初等数学公式集/数と集合・論理#背理法|背理法]]）。
===== 無理数の証明 =====
;<span id="平方根"/><math>\sqrt{2}</math> が無理数であることの証明
:<math>\sqrt{2}</math>が有理数であると仮定すると、<u>互いに素である整数</u> <math>p, q</math>を用いて、
::<math>\sqrt{2} =\frac{p}{q}</math> とおくことができる。
:両辺、<math>2</math>乗すると
::<math>2 =\frac{p^2}{q^2}</math>
::<math>2 q^2=p^2</math>
:ここで、<math>p</math>は、因数に<math>2</math>を持つこととなるので、<math>p = 2r</math>と置くことができる。
:これを代入すると、
::<math>2 q^2=4 r^2</math>
::<math>q^2=2 r^2</math>
:となって、<math>q</math>も、因数に<math>2</math>を持つこととなる。
:これは、<math>p, q</math>は「互いに素」であるとした仮定に矛盾する。
:従って、<math>\sqrt{2}</math>は有理数ではない（=無理数である。[[初等数学公式集/数と集合・論理#背理法|背理法]]）。
:　
;<span id="n乗根"/>ある有理数 <math>a</math> が分母・分子ともに整数の<math>n</math>乗でないとき、<math>x=\sqrt[n]{a}</math> が無理数であることの証明
:考え方は、上記:<math>\sqrt{2}</math> が無理数であることの証明と同様である。
:<math>\sqrt[n]{a}</math>が有理数であると仮定すると、各組で<u>互いに素である整数</u> <math>\{b,c \},\{p, q \}</math>を用いて、
::<math>\sqrt[n]{\frac{b}{c}} =\frac{p}{q}</math> とおくことができる。
:両辺、<math>n</math>乗して、
::<math>\frac{b}{c} =\frac{p^n}{q^n}</math>
::<math>b{q^n} =c{p^n}</math>
:ここで、右辺の<math>c</math>は<math>b</math>と互いに素であるため、<math>b</math>を因数にもつのは<math>p</math>になるので、<math>p = br</math>と置くことができる。
:これを代入すると、
::<math>b{q^n} ={b^n}c{r^n}</math>
::<math>{q^n} ={b^{n-1}}c{r^n}</math>
:となって、<math>q</math>も、因数に<math>b</math>を持つこととなる。
:これは、<math>p, q</math>は「互いに素」であるとした仮定に矛盾する。
:従って、<math>\sqrt[n]{a}</math>は有理数ではない（=無理数である）と証明された。
:　
;<span id="平方根同士の和"/>「有理数 <math>a,b</math> がともに有理数の平方数でないならば <math>\sqrt{a} \pm \sqrt{b}</math> は無理数である。」ことの証明
:<math>\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = p</math> として <math>a, b, p</math> は有理数であり、<math>a, b</math> は有理数の平方数ではないと仮定する。
::<math>\pm \sqrt{b} = p - \sqrt{a} </math>
:両辺2乗して <math>b = p^2 - 2p\sqrt{a} +a</math>
::<math>\sqrt{a} = \frac{p^2 +a - b}{p}</math> となり、有理数 <math>a</math> について、この式が成立するならば <math>a</math> は平方数であり仮定に矛盾する。

===== 二重根号 =====
:<math>a \pm \sqrt{b} = \left( \sqrt{p} \pm \sqrt{q} \right)^2</math> となる <math>p, q</math> (<math>p > q</math>) を求める。
:<math>\left( \sqrt{p} \pm \sqrt{q} \right)^2 = p + q \pm 2\sqrt{pq}  = p + q \pm \sqrt{4pq} = a \pm \sqrt{b}</math>
:となり、以下の連立方程式を解くことにより、<math>p, q</math> は得られる。
:: <math>\begin{cases}
 a = p + q \\
 b = 4pq
\end{cases}</math>
:これを解くと、
:: <math>\begin{cases}
 p = \sqrt{ \frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \\
 q = \sqrt{ \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}
\end{cases}</math>
=== 記数法 ===
==== 小数 ====
;分数<math>\frac{a}{b}</math>（ただし、<math>ab \neq 0, a \neq kb</math>(<math>k</math>は整数)）において、<math>n</math>進法で表示する時、<math>b</math>のすべての素因数が、基数<math>n</math>の素因数に含まれる時、<math>\frac{a}{b}</math>は有限小数となることの証明
（前提）
:*<math>\frac{a}{b}</math>は有限小数となることは、<math>a</math>が整数であるので<math>\frac{1}{b}</math>が有限小数であることを証明することで足りる。
:*<math>\frac{1}{b}</math>が有限小数であるということは、<math>\frac{1}{b} = \frac{c_1}{n} + \frac{c_2}{n^2} + \cdots + \frac{c_k}{n^k} + \cdots + \frac{c_m}{n^m} </math> のように、<math>\frac{1}{b}</math>が<math>\frac{c_k}{n^k}</math> (<math>c_k</math> は <math>0 \le c_k < n </math> である整数)の有限個の和で表すことができるということであるので、これを証明する。
（証明）
:<math>b</math>を素因数分解すると、<math>b={p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \cdots  {p_k}^{\alpha_k} </math>（<math>p_k</math> は、<math>b</math>を構成する素数で <math>k</math> 番目のもの、<math>\alpha_k</math> は<math>p_k</math> の次数とする）となり、
:　
:同様に、<math>n</math>を素因数分解すると、<math>n={q_1}^{\beta_1} {q_2}^{\beta_2} \cdots  {q_k}^{\beta_k} </math>（<math>q_k</math> は、<math>n</math>を構成する素数で <math>k</math> 番目のもの、<math>\beta_k</math> は<math>q_k</math> の次数）となるとする。
:　
:ここで、すべての<math>k</math> について <math>p_k = q_k</math>（ただし、<math>\beta_k \ne 0</math><ref><math>\alpha_k = 0</math>となることがあることを意味する。集合論的に表すと、<math>\{p_1,p_2,\dots ,p_k\}  \subset  \{q_1,q_2,\dots,q_k\}</math></ref>） であるとする（すなわち、<math>b</math>のすべての素因数が、基数<math>n</math>の素因数に含まれる）。
:　
:この時、（<math>\alpha_k</math> の最大値 < <math>\beta_k \cdot m</math>）となる適当な<math>m</math> を取れば、<math>\frac{n^m}{b}</math> は整数となり、<math>\frac{1}{b} = \frac{c_1}{n} + \frac{c_2}{n^2} + \cdots + \frac{c_k}{n^k} + \cdots + \frac{c_m}{n^m} </math> の形で表される。
:　
;分数<math>\frac{a}{b}</math>（ただし、<math>ab \neq 0, a \neq kb</math>(<math>k</math>は整数)）において、<math>n</math>進法で表示する時、<math>\frac{a}{b}</math>が有限小数であれば、<math>b</math>のすべての素因数が、基数<math>n</math>の素因数に含まれていることの証明

※前提は共通

（証明）
:<math>\frac{1}{b}</math>が有限小数で、<math>\frac{1}{b} = \frac{c_1}{n} + \frac{c_2}{n^2} + \cdots + \frac{c_m}{n^m} </math> ならば、両辺に<math>n^m</math>をかけると、<math>\frac{n^m}{b} = n^{m-1}{c_1} + n^{m-2}{c_2} + \cdots + c_m </math> となる。
:　
:右辺は整数となるため、<math>\frac{n^m}{b}</math> も整数となり、<math>b</math> は、<math>n^m</math> の約数となり、<math>b</math>のすべての素因数は、基数<math>n</math>の素因数に含まれる。

==脚注== 
<references/>
[[Category:初等数学公式集|かすとしゆうこうろんり]]