初等数学公式集/微積分/証明のソースを表示

== 関数の極限と連続 ==
*<math>\lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{x^2}=\frac{1}{2}</math> [[#cos極限|⬇️]]
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*<span id="cos極限"/>[[初等数学公式集/初等関数の性質#半角の公式|半角の公式]]より、<math>1 - \cos x = 2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)</math>
*:　
*:与式に代入、<math>\lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)}{x^2}</math>
*:　
*:<math>\frac{x}{2} = t</math> と置くと、与式<math>=\lim_{2t\to 0}\frac{2 \sin^2 t}{(2t)^2}=\lim_{t\to 0}\frac{\sin^2 t}{2 t^2}=\frac{1}{2} \lim_{t\to 0}\left(\frac{\sin t}{t}\right)^2=\frac{1}{2} \lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t}  \frac{\sin t}{t} </math><math>= \frac{1}{2}</math>
== 微分 ==
== 積分 ==
=== 基本的な積分の考え方 ===
*<math>f(x) = f(-x)</math>（<math>f(x)</math>は偶関数）ならば、
*:　
*:<math>\int_{-a}^a \frac{f(x)}{1+p^x} dx = \int_0^a f(x) dx</math>　[[#基本偶関数|⬇️]]
=== 代表的な関数の積分公式 ===
==== 複合的な積分 ====
===== 複合的な三角関数の積分 =====
:*<math>\int \sin ^2 xdx = \frac{2x - \sin 2x}{4}+ C</math>　[[#三角関数積分1|⬇️]]
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:*<math>\int \cos ^2 xdx = \frac{2x + \sin 2x}{4}+ C</math>　[[#三角関数積分2|⬇️]]
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:*<span id="公式1"/><math>\int \frac{1}{\sin x} dx = \frac{1}{2} \log \left( {\frac{1-\cos x}{1+\cos x}} \right) + C  = \frac{1}{2} \log \left| \tan {\frac{x}{2}} \right| + C</math>　[[#三角関数積分3|⬇️]]
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:*<math>\int \frac{1}{\cos x} dx = \frac{1}{2} \log \left( {\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} \right) + C</math>　[[#三角関数積分4|⬇️]]
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:*<math>\int \frac{1}{\sin x \cos x} dx = \log|\tan x| + C </math>　[[#三角関数積分5-0|⬇️]]
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:*<math>\int \frac{1}{1 \pm \sin x} dx = \tan x \mp \frac{1}{\cos {x}} + C </math>　[[#三角関数積分5|⬇️]]
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:**<math>\int \frac{1}{1 \pm \sin x} dx = -\frac{2}{1 \pm \tan{\frac{x}{2}}} + C</math>　[[#三角関数積分5-1|⬇️]]
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:*<math>\int \frac{1}{1 \pm\cos x} dx =  - \frac{1}{\tan {x}} \pm \frac{1}{\sin {x}} + C </math> [[#三角関数積分6|⬇️]]
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:**<math>\int \frac{1}{1 + \cos x} dx =  \tan{\frac{x}{2}} + C</math> [[#三角関数積分6-1|⬇️]]
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:**<math>\int \frac{1}{1 - \cos x} dx = -\frac{1}{\tan{\frac{x}{2}}} + C</math> [[#三角関数積分6-2|⬇️]]
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*<span id="基本偶関数"/><math>\int_{-a}^a \frac{f(x)}{1+p^x} dx = \int_0^a f(x) dx</math>
*:　
*:左辺の積分範囲を分割、
*::<math>\int_{-a}^a \frac{f(x)}{1+p^x} dx = \int_{-a}^0 \frac{f(x)}{1+p^x} dx + \int_0^a \frac{f(x)}{1+p^x} dx</math>
*:　
*:第1項と第2項の積分範囲を揃えるため、第1項を<math>t = - x</math> / <math>dt = - dx</math>（積分区間<math>[-a,0]</math>⇒<math>[a,0]</math>）で置換、
*::<math>\int_{-a}^0 \frac{f(x)}{1+p^x} dx + \int_0^a \frac{f(x)}{1+p^x} dx =- \int_a^0 \frac{f(-t)}{1+p^{-t}} dt + \int_0^a \frac{f(x)}{1+p^x} dx  =\int_0^a \frac{f(-t)}{1+p^{-t}} dt + \int_0^a \frac{f(x)}{1+p^x} dx </math>
*:　
*:第1項において<math>f(-t)=f(t)</math>（∵偶関数）、また、第2項と分母を揃えるため、分母・分子に<math>p^{t}</math>をかける、
*::<math>\int_0^a \frac{f(-t)}{1+p^{-t}} dt + \int_0^a \frac{f(x)}{1+p^x} dx =\int_0^a \frac{p^{t} f(t)}{1+p^{t}} dt + \int_0^a \frac{f(x)}{1+p^x} dx </math>
*:　
*:第1項と第2項は、積分範囲は一致しており、置換の変数記号は便宜上のものなので、
*::<math>\int_0^a \frac{p^{t} f(t)}{1+p^{t}} dt + \int_0^a \frac{f(x)}{1+p^x} dx =\int_0^a \left( \frac{p^{x} f(x)}{1+p^{x}} + \frac{f(x)}{1+p^x} \right) dx =\int_0^a \frac{(1 +p^{x}) f(x)}{1+p^x} dx = \int_0^a f(x) dx</math>

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*<span id="三角関数積分1"/><math>\int \sin ^2 xdx = \frac{2x - \sin 2x}{4}+ C</math>
*::倍角（半角）公式より、<math>\sin ^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}</math>
*:<math>\int \sin ^2 xdx = \int \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right) dx  = \frac{1}{2} \left( \int dx - \int \cos 2x dx \right)  = \frac{1}{2} \left( x - \frac{\sin 2x}{2} + C \right) = \frac{2x - \sin 2x}{4}+ C</math>
*:　
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*<span id="三角関数積分2"/><math>\int \cos ^2 xdx = \frac{2x + \sin 2x}{4}+ C</math>
*::倍角（半角）公式より、<math>\cos ^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}</math>
*:<math>\int \cos ^2 xdx = \int \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) dx  = \frac{1}{2} \left( \int dx + \int \cos 2x dx \right)  = \frac{1}{2} \left( x + \frac{\sin 2x}{2} + C \right) = \frac{2x + \sin 2x}{4}+ C</math>
*:　
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*<span id="三角関数積分3"/><math>\int \frac{1}{\sin x} dx = \frac{1}{2} \log \left( {\frac{1-\cos x}{1+\cos x}} \right) + C  = \frac{1}{2} \log \left| \tan {\frac{x}{2}} \right| + C</math>
*:　
**（解法1）<math>\int \frac{1}{\sin x} dx = \frac{1}{2} \log \left( {\frac{1-\cos x}{1+\cos x}} \right) + C</math>
**:　
**:<math>\int \frac{1}{\sin x} dx = \int \frac{\sin x}{\sin ^2 x} dx = \int \frac{\sin x}{1 - \cos ^2 x} dx</math>
**:　
**::<math>\cos x = t</math>とおいて、置換積分を行う。
**:　
**::微分して、<math>dt = -\sin x dx</math>、
**:　
**:<math>\int \frac{\sin x}{1 - \cos ^2 x} dx = - \int \frac{1}{1 - t^2} dt = - \int \frac{1}{(1-t)(1+t)} dt</math>
**:　
**:部分分数に分解して、
**:　
**:<math> - \int \frac{1}{(1-t)(1+t)} dt = - \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{1 - t} + \frac{1}{1 + t} \right) dt = - \frac{1}{2} \left( -\log{|1 - t|} + \log{|1 + t|} \right) + C = \frac{1}{2} \left( \log{|1 - t|} - \log{|1 + t|} \right) + C  = \frac{1}{2} \log \left| \frac{1 - t}{1 + t} \right| + C</math>
**:　
**:<math>t = \cos x</math>を戻す。この時、<math>-1 \leq \cos x \leq 1</math>であり、<math>\frac{1 - t}{1 + t}</math>は正であるので、絶対値は外せる。
**:　
**:<math>\frac{1}{2} \log \left| \frac{1 - t}{1 + t} \right| + C = \frac{1}{2} \log \left( {\frac{1-\cos x}{1+\cos x}} \right) + C </math>
**:　
**（解法2:<math>\tan {\frac{x}{2}}</math>を用いて求める方法）
**:　
**:<math>\tan {\frac{x}{2}}</math>が使えるよう、<math>\frac{x}{2}</math>の形にそろえる。
**:　
**::<math>t=\tan {\frac{x}{2}}</math>とおくと、[[初等数学公式集/初等関数の性質#半角公式拡張|半角の公式（拡張）]]を使って、<math>\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}</math>
**:
**:<span id="dt"/><math>t=\tan {\frac{x}{2}}</math>を微分すると、<math>\frac{dt}{dx}=\frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}}=\frac{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}}=\frac{1}{2} \left( 1 + \tan^2 \frac{x}{2} \right) = \frac{1}{2} ( 1 + t^2 )</math>
**:
**::したがって、<math>dx = \frac{2}{ 1 + t^2 } dt</math>。
**:　
**:各々、<math>\int \frac{1}{\sin x} dx</math>に代入して、<math>\int \frac{1}{\frac{2t}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{ 1 + t^2 } dt = \int \frac{1 + t^2}{2t} \cdot \frac{2}{ 1 + t^2 } dt = \int \frac{1}{t} dt = \log|t|+C = \frac{1}{2} \log \left| \tan {\frac{x}{2}} \right| + C</math>
*:　
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*<span id="三角関数積分4"/><math>\int \frac{1}{\cos x} dx = \frac{1}{2} \log \left( {\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} \right) + C</math>
*:　
**（解法1）<math>\int \frac{1}{\cos x} dx = \frac{1}{2} \log \left( {\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} \right) + C</math>
**:　
**:<math>\int \frac{1}{\cos x} dx = \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{\cos x}{1 - \sin ^2 x} dx</math>
**:　
**::<math>\sin x = t</math>とおいて、置換積分を行う。
**:　
**::微分して、<math>dt = \cos x dx</math>、
**:　
**:<math>\int \frac{\cos x}{1 - \sin ^2 x} dx = - \int \frac{1}{1 - t^2} dt = \int \frac{1}{(1-t)(1+t)} dt</math>
**:　
**:部分分数に分解して、
**:　
**:<math> \int \frac{1}{(1-t)(1+t)} dt = \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{1 - t} + \frac{1}{1 + t} \right) dt = \frac{1}{2} \left( -\log{|1 - t|} + \log{|1 + t|} \right) + C  = \frac{1}{2} \log \left| \frac{1 + t}{1 - t} \right| + C</math>
**:　
**:<math>t = \sin x</math>を戻す。この時、<math>-1 \leq \sin x \leq 1</math>であり、<math>\frac{1 - t}{1 + t}</math>は正であるので、絶対値は外せる。
**:　
**:<math>\frac{1}{2} \log \left| \frac{1 + t}{1 - t} \right| + C = \frac{1}{2} \log \left( {\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} \right) + C </math>
**:　
**（解法2:<math>\tan {\frac{x}{2}}</math>を用いて求める方法）
**:　
**:<math>\tan {\frac{x}{2}}</math>が使えるよう、<math>\frac{x}{2}</math>の形にそろえる。
**:　
**::<math>t=\tan {\frac{x}{2}}</math>とおくと、[[初等数学公式集/初等関数の性質#半角公式拡張|半角の公式（拡張）]]を使って、<math>\cos x \frac{1-t^2}{1+t^2}</math>
**:
**:<math>t=\tan {\frac{x}{2}}</math>を微分すると、<math>\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2} ( 1 + t^2 )</math>。したがって、<math>dx = \frac{2}{ 1 + t^2 } dt</math>。（[[#dt|導出は上記参照]]）
**:　
**:各々、<math>\int \frac{1}{\cos x} dx</math>に代入して、<math>\int \frac{1}{\frac{1 - t^2}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{ 1 + t^2 } dt = \int \frac{1 + t^2}{1 - t^2} \cdot \frac{2}{ 1 + t^2 } dt = \int \frac{2}{1-t^2} dt</math>
**: 
**:部分分数に分解して、<math>\int \frac{2}{1-t^2} dt = \int \frac{2}{(1-t)(1+t)} dt = \int \left( \frac{1}{1 - t} + \frac{1}{1 + t} \right) dt = \left( -\log{|1 - t|} + \log{|1 + t|} \right) + C  = \log \left| \frac{1 + t}{1 - t} \right| + C</math>
**:　
**:<math>t = \tan {\frac{x}{2}}</math>を戻して、
**:
**:<math>\log \left| \frac{1 + t}{1 - t} \right| + C = \log \left| \frac{1 + \tan {\frac{x}{2}}}{1 - \tan {\frac{x}{2}}} \right| + C</math>
**:　
**::以下、式変形のバリエーション。
**:
**:::<math>\log \left| \frac{1 + \tan {\frac{x}{2}}}{1 - \tan {\frac{x}{2}}} \right| + C = \log \left| \frac{\cos {\frac{x}{2}} + \sin {\frac{x}{2}}}{\cos {\frac{x}{2}} - \sin {\frac{x}{2}}} \right| + C </math>
**:　
**::::分母・分子に<math>\cos {\frac{x}{2}} + \sin {\frac{x}{2}}</math>をかけると、
**:
**::::分母<math>=\cos^2 {\frac{x}{2}} - \sin^2 {\frac{x}{2}} = \cos x</math>、分子<math>= \left( \cos {\frac{x}{2}} + \sin {\frac{x}{2}} \right)^2 = \cos^2 {\frac{x}{2}} + 2\sin{\frac{x}{2}} \cos{\frac{x}{2}} + \sin^2 {\frac{x}{2}} = 1 + \sin x</math>
**::　
**:::<math>\log \left| \frac{1 + \tan {\frac{x}{2}}}{1 - \tan {\frac{x}{2}}} \right| + C = \log \left| \frac{1 + \sin x}{\cos x} \right| + C = \log \frac{1 + \sin x}{|\cos x|} + C</math>
**::　
**::<math> |\cos x | = \sqrt {1 - \sin^2 x}</math>であるから、
**::　
**:::<math>\log \frac{1 + \sin x}{|\cos x|} + C = \log \frac{1 + \sin x}{\sqrt {1 - \sin^2 x}} + C = \log \frac{(\sqrt {1 + \sin x})^2}{\sqrt {1 - \sin x} \sqrt {1 + \sin x}} + C = \log {\sqrt {\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} }} + C = \log \left( \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \right)^\frac{1}{2} + C = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \right) + C</math>
:　
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:　
*<span id="三角関数積分5-0"/><math>\int \frac{1}{\sin x \cos x} dx = \log|\tan x| + C</math>
*:　
*:<math>\int \frac{1}{\sin x \cos x} dx =\int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} dx =\int \left( \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x} \right) dx = -\int \frac{(\cos x)'}{\cos x} dx+ \int \frac{(\sin x)'}{\sin x} dx = -\log |\cos x| + \log |\sin x| +C = \log | \tan x | +C</math>
*:　
*:（別解）
*::倍角の公式:<math>\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}</math>より、
*:　
*::<math>\int \frac{1}{\sin x \cos x} dx =\int \frac{2}{\sin 2x} dx</math>
*:　
*::[[#公式1|公式]]:<math>\int \frac{1}{\sin x} dx = \frac{1}{2} \log \left| \tan {\frac{x}{2}} \right| + C</math>の<math>x</math>に<math>2x</math>を当てはめ、
*:　
*:<math>\int \frac{2}{\sin 2x} dx = \frac{1}{2} \log \left| \tan x \right| + C</math>
----
:　
*<span id="三角関数積分5"/><math>\int \frac{1}{1 \pm \sin x} dx = \tan x \mp \frac{1}{\cos {x}} + C</math>
*:　
**（解法1）
**:　
**:<math>\int \frac{1}{1 \pm \sin x} dx</math>の分母の項を減らすため、分母・分子に<math>1 \mp \sin x</math>をかける。
**:　
**:<math>\int \frac{1}{1 \pm \sin x} dx = \int \frac{1 \mp \sin x}{(1 \pm \sin x)(1 \mp \sin x)} dx = \int \frac{1 \mp \sin x}{1 - \sin^2 x} dx = \int \frac{1 \mp \sin x}{\cos^2 x} dx= \int \frac{1}{\cos^2 x} dx \mp \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx= \tan x \mp \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx</math>
**:　
**:::<math>\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx</math> について、<math>t = \cos x</math> / <math>dt = - \sin x dx</math>で置換して、<math>\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{1}{t^2} (-dt) = \frac{1}{t} +C = \frac{1}{\cos x} +C</math>
**:　
**:したがって、<math>\tan x \mp \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx = \tan x \mp \frac{1}{\cos x} +C</math>
*:　
**（解法2）<span id="三角関数積分5-1"/><math>\int \frac{1}{1 \pm \sin x} dx = -\frac{2}{1 \pm \tan{\frac{x}{2}}} + C</math>
**:　
**:<math>t=\tan {\frac{x}{2}}</math>とおくと、[[初等数学公式集/初等関数の性質#半角公式拡張|半角の公式（拡張）]]を使って、<math>\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}</math>、<math>dx = \frac{2}{ 1 + t^2 } dt</math><sup> [[#dt|⬆️]]</sup>
**:　
**:<math>\int \frac{1}{1 \pm \sin x} dx = \int \frac{1}{1 \pm \frac{2t}{1 + t^2}} \frac{2}{ 1 + t^2 } dt = \int \frac{1}{ \frac{1 + t^2 \pm 2t}{1 + t^2} } \frac{2}{ 1 + t^2 } dt = \int \frac{2}{ (1 \pm t )^2 } dt = \left( - \frac{2}{1 \pm t } \right) +C = -\frac{2}{1 \pm \tan{\frac{x}{2}}} + C</math>
:　
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*<span id="三角関数積分6"/><math>\int \frac{1}{1 \pm\cos x} dx =  - \frac{1}{\tan {x}} \pm \frac{1}{\sin {x}} + C</math>
*:　
**（解法1）
**:　
**:<math>\int \frac{1}{1 \pm\cos x} dx</math>の分母の項を減らすため、分母・分子に<math>1 \mp \cos x</math>をかける。
**:　
**:<math>\int \frac{1}{1 \pm \cos x} dx = \int \frac{1 \mp \cos x}{(1 \pm \cos x)(1 \mp \cos x)} dx = \int \frac{1 \mp \cos x}{1 - \cos^2 x} dx = \int \frac{1 \mp \cos x}{\sin^2 x} dx= \int \frac{1}{\sin^2 x} dx \mp \int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx= - \frac{1}{\tan {x}} \mp \int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx</math>
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**:::<math>\int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx</math> について、<math>t = \sin x</math> / <math>dt = \cos x dx</math>で置換して、<math>\int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx = \int \frac{1}{t^2} dt = - \frac{1}{t} +C = -\frac{1}{\sin x} +C</math>
**:　
**:したがって、<math>\tan x \mp \int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx = \tan x \pm \frac{1}{\sin x} +C</math>
**:　
**（解法2）
**:　
**:<math>t=\tan {\frac{x}{2}}</math>とおくと、[[初等数学公式集/初等関数の性質#半角公式拡張|半角の公式（拡張）]]を使って、<math>\cos x \frac{1-t^2}{1+t^2}</math>、<math>dx = \frac{2}{ 1 + t^2 } dt</math><sup> [[#dt|⬆️]]</sup>
**:　
***<span id="三角関数積分6-1"/><math>\int \frac{1}{1 + \cos x} dx =  \tan{\frac{x}{2}} + C</math>
***:　
***:<math>\int \frac{1}{1 + \cos x} dx = \int \frac{1}{1 + \frac{1-t^2}{1+t^2}} \frac{2}{ 1 + t^2 } dt = \int \frac{1}{ \frac{1 + t^2 + 1 - t^2}{1 + t^2} } \frac{2}{ 1 + t^2 } dt = \int dt = t +C = \tan{\frac{x}{2}} + C</math>
***:　
***<span id="三角関数積分6-2"/><math>\int \frac{1}{1 - \cos x} dx = -\frac{1}{\tan{\frac{x}{2}}} + C</math>
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***:<math>\int \frac{1}{1 - \cos x} dx = \int \frac{1}{1 - \frac{1-t^2}{1+t^2}} \frac{2}{ 1 + t^2 } dt = \int \frac{1}{ \frac{1 + t^2 - 1 + t^2}{1 + t^2} } \frac{2}{ 1 + t^2 } dt = \int \frac{1}{ \frac{ 2 t^2 }{1 + t^2} } \frac{2}{ 1 + t^2 } dt = \int \frac{1}{t^2} dx = -\frac{1}{t} +C = -\frac{1}{\tan{\frac{x}{2}}} + C</math>
***:　

[[Category:初等数学公式集|ひせきふん]]