初等数学公式集/微積分/証明

関数の極限と連続

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$ ⬇️

　

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• 半角の公式より、$1-\cos x=2{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)$

  　

  与式に代入、$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)}{x^2}$

  　

  $\frac{x}{2}=t$ と置くと、与式$=\underset{2t\to 0}{\lim }\frac{2{\sin }^{2}t}{(2t{)}^2}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\sin }^{2}t}{2t^2}=\frac{1}{2}\underset{t\to 0}{\lim }{\left(\frac{\sin t}{t}\right)}^2=\frac{1}{2}\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t}\frac{\sin t}{t}$$=\frac{1}{2}$

積分

基本的な積分の考え方

• $f(x)=f(-x)$（$f(x)$は偶関数）ならば、

  　

  $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}\frac{f(x)}{1+p^x}dx=\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$　⬇️

代表的な関数の積分公式

複合的な積分

複合的な三角関数の積分

• $\int {\sin }^{2}xdx=\frac{2x-\sin 2x}{4}+C$　⬇️

  　

• $\int {\cos }^{2}xdx=\frac{2x+\sin 2x}{4}+C$　⬇️

  　

• $\int \frac{1}{\sin x}dx=\frac{1}{2}\log \left(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)+C=\frac{1}{2}\log |\tan \frac{x}{2}|+C$　⬇️

  　

• $\int \frac{1}{\cos x}dx=\frac{1}{2}\log \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)+C$　⬇️

  　

• $\int \frac{1}{\sin x\cos x}dx=\log |\tan x|+C$　⬇️

  　

• $\int \frac{1}{1\pm \sin x}dx=\tan x\mp \frac{1}{\cos x}+C$　⬇️

  　

  • $\int \frac{1}{1\pm \sin x}dx=-\frac{2}{1\pm \tan \frac{x}{2}}+C$　⬇️

  　

• $\int \frac{1}{1\pm \cos x}dx=-\frac{1}{\tan x}\pm \frac{1}{\sin x}+C$ ⬇️

  　

  • $\int \frac{1}{1+\cos x}dx=\tan \frac{x}{2}+C$ ⬇️

  　

  • $\int \frac{1}{1-\cos x}dx=-\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}+C$ ⬇️

　

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• $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}\frac{f(x)}{1+p^x}dx=\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$

  　

  左辺の積分範囲を分割、

  $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}\frac{f(x)}{1+p^x}dx=\underset{-a}{\overset{0}{\int }}\frac{f(x)}{1+p^x}dx+\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{f(x)}{1+p^x}dx$

  　

  第1項と第2項の積分範囲を揃えるため、第1項を$t=-x$ / $dt=-dx$（積分区間$[-a,0]$⇒$[a,0]$）で置換、

  $\underset{-a}{\overset{0}{\int }}\frac{f(x)}{1+p^x}dx+\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{f(x)}{1+p^x}dx=-\underset{a}{\overset{0}{\int }}\frac{f(-t)}{1+p^{-t}}dt+\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{f(x)}{1+p^x}dx=\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{f(-t)}{1+p^{-t}}dt+\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{f(x)}{1+p^x}dx$

  　

  第1項において$f(-t)=f(t)$（∵偶関数）、また、第2項と分母を揃えるため、分母・分子に$p^t$をかける、

  $\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{f(-t)}{1+p^{-t}}dt+\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{f(x)}{1+p^x}dx=\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{p^{t}f(t)}{1+p^t}dt+\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{f(x)}{1+p^x}dx$

  　

  第1項と第2項は、積分範囲は一致しており、置換の変数記号は便宜上のものなので、

  $\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{p^{t}f(t)}{1+p^t}dt+\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{f(x)}{1+p^x}dx=\underset{0}{\overset{a}{\int }}(\frac{p^{x}f(x)}{1+p^x}+\frac{f(x)}{1+p^x})dx=\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{(1+p^x)f(x)}{1+p^x}dx=\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$

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• $\int {\sin }^{2}xdx=\frac{2x-\sin 2x}{4}+C$

  倍角（半角）公式より、${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$

  $\int {\sin }^{2}xdx=\int \left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)dx=\frac{1}{2}(\int dx-\int \cos 2xdx)=\frac{1}{2}(x-\frac{\sin 2x}{2}+C)=\frac{2x-\sin 2x}{4}+C$

  　

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• $\int {\cos }^{2}xdx=\frac{2x+\sin 2x}{4}+C$

  倍角（半角）公式より、${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

  $\int {\cos }^{2}xdx=\int \left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)dx=\frac{1}{2}(\int dx+\int \cos 2xdx)=\frac{1}{2}(x+\frac{\sin 2x}{2}+C)=\frac{2x+\sin 2x}{4}+C$

  　

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• $\int \frac{1}{\sin x}dx=\frac{1}{2}\log \left(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)+C=\frac{1}{2}\log |\tan \frac{x}{2}|+C$

  　

  • （解法1）$\int \frac{1}{\sin x}dx=\frac{1}{2}\log \left(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)+C$

    　

    $\int \frac{1}{\sin x}dx=\int \frac{\sin x}{{\sin }^{2}x}dx=\int \frac{\sin x}{1-{\cos }^{2}x}dx$

    　

    $\cos x=t$とおいて、置換積分を行う。

    　

    微分して、$dt=-\sin xdx$、

    　

    $\int \frac{\sin x}{1-{\cos }^{2}x}dx=-\int \frac{1}{1-t^2}dt=-\int \frac{1}{(1-t)(1+t)}dt$

    　

    部分分数に分解して、

    　

    $-\int \frac{1}{(1-t)(1+t)}dt=-\frac{1}{2}\int (\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t})dt=-\frac{1}{2}(-\log |1-t|+\log |1+t|)+C=\frac{1}{2}(\log |1-t|-\log |1+t|)+C=\frac{1}{2}\log \left|\frac{1-t}{1+t}\right|+C$

    　

    $t=\cos x$を戻す。この時、$-1\le \cos x\le 1$であり、$\frac{1-t}{1+t}$は正であるので、絶対値は外せる。

    　

    $\frac{1}{2}\log \left|\frac{1-t}{1+t}\right|+C=\frac{1}{2}\log \left(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)+C$

    　

  • （解法2:$\tan \frac{x}{2}$を用いて求める方法）

    　

    $\tan \frac{x}{2}$が使えるよう、$\frac{x}{2}$の形にそろえる。

    　

    $t=\tan \frac{x}{2}$とおくと、半角の公式（拡張）を使って、$\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$

    $t=\tan \frac{x}{2}$を微分すると、$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{2{\cos }^2\frac{x}{2}}=\frac{{\cos }^2\frac{x}{2}+{\sin }^2\frac{x}{2}}{2{\cos }^2\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}(1+{\tan }^2\frac{x}{2})=\frac{1}{2}(1+t^2)$

    したがって、$dx=\frac{2}{1+t^2}dt$。

    　

    各々、$\int \frac{1}{\sin x}dx$に代入して、$\int \frac{1}{\frac{2t}{1+t^2}}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt=\int \frac{1+t^2}{2t}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt=\int \frac{1}{t}dt=\log |t|+C=\frac{1}{2}\log |\tan \frac{x}{2}|+C$

  　

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• $\int \frac{1}{\cos x}dx=\frac{1}{2}\log \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)+C$

  　

  • （解法1）$\int \frac{1}{\cos x}dx=\frac{1}{2}\log \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)+C$

    　

    $\int \frac{1}{\cos x}dx=\int \frac{\cos x}{{\cos }^{2}x}dx=\int \frac{\cos x}{1-{\sin }^{2}x}dx$

    　

    $\sin x=t$とおいて、置換積分を行う。

    　

    微分して、$dt=\cos xdx$、

    　

    $\int \frac{\cos x}{1-{\sin }^{2}x}dx=-\int \frac{1}{1-t^2}dt=\int \frac{1}{(1-t)(1+t)}dt$

    　

    部分分数に分解して、

    　

    $\int \frac{1}{(1-t)(1+t)}dt=\frac{1}{2}\int (\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t})dt=\frac{1}{2}(-\log |1-t|+\log |1+t|)+C=\frac{1}{2}\log \left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C$

    　

    $t=\sin x$を戻す。この時、$-1\le \sin x\le 1$であり、$\frac{1-t}{1+t}$は正であるので、絶対値は外せる。

    　

    $\frac{1}{2}\log \left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C=\frac{1}{2}\log \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)+C$

    　

  • （解法2:$\tan \frac{x}{2}$を用いて求める方法）

    　

    $\tan \frac{x}{2}$が使えるよう、$\frac{x}{2}$の形にそろえる。

    　

    $t=\tan \frac{x}{2}$とおくと、半角の公式（拡張）を使って、$\cos x\frac{1-t^2}{1+t^2}$

    $t=\tan \frac{x}{2}$を微分すると、$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{2}(1+t^2)$。したがって、$dx=\frac{2}{1+t^2}dt$。（導出は上記参照）

    　

    各々、$\int \frac{1}{\cos x}dx$に代入して、$\int \frac{1}{\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt=\int \frac{1+t^2}{1-t^2}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt=\int \frac{2}{1-t^2}dt$

    部分分数に分解して、$\int \frac{2}{1-t^2}dt=\int \frac{2}{(1-t)(1+t)}dt=\int (\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t})dt=(-\log |1-t|+\log |1+t|)+C=\log \left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C$

    　

    $t=\tan \frac{x}{2}$を戻して、

    $\log \left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C=\log \left|\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}\right|+C$

    　

    以下、式変形のバリエーション。

    $\log \left|\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}\right|+C=\log \left|\frac{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}\right|+C$

    　

    分母・分子に$\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}$をかけると、

    分母$={\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}=\cos x$、分子$={(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2})}^2={\cos }^2\frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+{\sin }^2\frac{x}{2}=1+\sin x$

    　

    $\log \left|\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}\right|+C=\log \left|\frac{1+\sin x}{\cos x}\right|+C=\log \frac{1+\sin x}{|\cos x|}+C$

    　

    $|\cos x|=\sqrt{1-{\sin }^{2}x}$であるから、

    　

    $\log \frac{1+\sin x}{|\cos x|}+C=\log \frac{1+\sin x}{\sqrt{1-{\sin }^{2}x}}+C=\log \frac{(\sqrt{1+\sin x}{)}^2}{\sqrt{1-\sin x}\sqrt{1+\sin x}}+C=\log \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}+C=\log {\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)}^{\frac{1}{2}}+C=\frac{1}{2}\log \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)+C$

　

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• $\int \frac{1}{\sin x\cos x}dx=\log |\tan x|+C$

  　

  $\int \frac{1}{\sin x\cos x}dx=\int \frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{\sin x\cos x}dx=\int (\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x})dx=-\int \frac{(\cos x{)}^{\prime }}{\cos x}dx+\int \frac{(\sin x{)}^{\prime }}{\sin x}dx=-\log |\cos x|+\log |\sin x|+C=\log |\tan x|+C$

  　

  （別解）

  倍角の公式:$\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}$より、

  　

  $\int \frac{1}{\sin x\cos x}dx=\int \frac{2}{\sin 2x}dx$

  　

  公式:$\int \frac{1}{\sin x}dx=\frac{1}{2}\log |\tan \frac{x}{2}|+C$の$x$に$2x$を当てはめ、

  　

  $\int \frac{2}{\sin 2x}dx=\frac{1}{2}\log |\tan x|+C$

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• $\int \frac{1}{1\pm \sin x}dx=\tan x\mp \frac{1}{\cos x}+C$

  　

  • （解法1）

    　

    $\int \frac{1}{1\pm \sin x}dx$の分母の項を減らすため、分母・分子に$1\mp \sin x$をかける。

    　

    $\int \frac{1}{1\pm \sin x}dx=\int \frac{1\mp \sin x}{(1\pm \sin x)(1\mp \sin x)}dx=\int \frac{1\mp \sin x}{1-{\sin }^{2}x}dx=\int \frac{1\mp \sin x}{{\cos }^{2}x}dx=\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx\mp \int \frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x\mp \int \frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}dx$

    　

    $\int \frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}dx$ について、$t=\cos x$ / $dt=-\sin xdx$で置換して、$\int \frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}dx=\int \frac{1}{t^2}(-dt)=\frac{1}{t}+C=\frac{1}{\cos x}+C$

    　

    したがって、$\tan x\mp \int \frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x\mp \frac{1}{\cos x}+C$

  　

  • （解法2）$\int \frac{1}{1\pm \sin x}dx=-\frac{2}{1\pm \tan \frac{x}{2}}+C$

    　

    $t=\tan \frac{x}{2}$とおくと、半角の公式（拡張）を使って、$\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$、$dx=\frac{2}{1+t^2}dt$ ^⬆️

    　

    $\int \frac{1}{1\pm \sin x}dx=\int \frac{1}{1\pm \frac{2t}{1+t^2}}\frac{2}{1+t^2}dt=\int \frac{1}{\frac{1+t^2\pm 2t}{1+t^2}}\frac{2}{1+t^2}dt=\int \frac{2}{(1\pm t{)}^2}dt=(-\frac{2}{1\pm t})+C=-\frac{2}{1\pm \tan \frac{x}{2}}+C$

　

---

　

• $\int \frac{1}{1\pm \cos x}dx=-\frac{1}{\tan x}\pm \frac{1}{\sin x}+C$

  　

  • （解法1）

    　

    $\int \frac{1}{1\pm \cos x}dx$の分母の項を減らすため、分母・分子に$1\mp \cos x$をかける。

    　

    $\int \frac{1}{1\pm \cos x}dx=\int \frac{1\mp \cos x}{(1\pm \cos x)(1\mp \cos x)}dx=\int \frac{1\mp \cos x}{1-{\cos }^{2}x}dx=\int \frac{1\mp \cos x}{{\sin }^{2}x}dx=\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx\mp \int \frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}dx=-\frac{1}{\tan x}\mp \int \frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}dx$

    　

    $\int \frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}dx$ について、$t=\sin x$ / $dt=\cos xdx$で置換して、$\int \frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}dx=\int \frac{1}{t^2}dt=-\frac{1}{t}+C=-\frac{1}{\sin x}+C$

    　

    したがって、$\tan x\mp \int \frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}dx=\tan x\pm \frac{1}{\sin x}+C$

    　

  • （解法2）

    　

    $t=\tan \frac{x}{2}$とおくと、半角の公式（拡張）を使って、$\cos x\frac{1-t^2}{1+t^2}$、$dx=\frac{2}{1+t^2}dt$ ^⬆️

    　

    • $\int \frac{1}{1+\cos x}dx=\tan \frac{x}{2}+C$

      　

      $\int \frac{1}{1+\cos x}dx=\int \frac{1}{1+\frac{1-t^2}{1+t^2}}\frac{2}{1+t^2}dt=\int \frac{1}{\frac{1+t^2+1-t^2}{1+t^2}}\frac{2}{1+t^2}dt=\int dt=t+C=\tan \frac{x}{2}+C$

      　

    • $\int \frac{1}{1-\cos x}dx=-\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}+C$

      　

      $\int \frac{1}{1-\cos x}dx=\int \frac{1}{1-\frac{1-t^2}{1+t^2}}\frac{2}{1+t^2}dt=\int \frac{1}{\frac{1+t^2-1+t^2}{1+t^2}}\frac{2}{1+t^2}dt=\int \frac{1}{\frac{2t^2}{1+t^2}}\frac{2}{1+t^2}dt=\int \frac{1}{t^2}dx=-\frac{1}{t}+C=-\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}+C$