位相空間論/導入のソースを表示

解析学において、収束や連続という概念が重要であるが、これらの概念はかなり実数の公理系に依存している。しかし、これらの概念は非常に有用なので、実数とは違う集合に対しても同様にこの概念を考えたい、ということで位相空間の理論が始まった。

位相空間は「開集合」というもので定義される。実数において連続という概念は ε-δ 論法で定義されるが、実はこの開集合という概念で連続を定義できる。まず、開集合の定義と ε-δ 論法での連続の定義を確認する。


'''定義''' （開集合の定義）
:集合 <math>U \subseteqq \mathbb{R}</math> が開集合であるとは、<math>\forall u \in U \ \exists \varepsilon > 0 (|x-u| < \varepsilon \Rightarrow x \in U)</math> が成り立つことをいう。

'''定義''' （連続の定義）
:関数 <math>f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> が <math>a</math> で連続であるとは、
:<math>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 (0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(a)| < \varepsilon)</math> が成り立つことをいう。
:<math>\mathbb{R}</math> の全ての点で連続のとき、<math>\mathbb{R}</math> で連続、または単に連続であるという。


このとき、次の命題が成り立つ。

'''命題'''
:関数 <math>f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> が連続
:<math>\iff</math> 任意の開集合 <math>U</math> について、<math>f^{-1}(U)</math> が開集合
'''証明'''
:（<math>\Rightarrow</math>）
:<math>x_0 \in f^{-1}(U)</math> として、<math>y_0 = f(x_0)</math> とおく。<math>y_0 \in U</math> なので、開集合の定義より、<math>\exists \varepsilon > 0 \ \forall y \ ( \ |y-y_0| < \varepsilon \Rightarrow y \in U \ ) \ \ \ \cdots (1)</math>が成り立つ。
:さて、ここで <math>f</math> が連続であるという仮定から、この <math>\varepsilon</math> に対して、<math>\exists \delta > 0 \ \forall x \ ( \ |x-x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - y_0| < \varepsilon \ ) \ \ \cdots (2)</math>
:(1), (2) より、<math>\exists \delta > 0 \ \forall x \ (\, |x - x_0| < \delta \Rightarrow f(x) \in U \,). \ \ \cdots (3)</math>
:<math>f^{-1}(U) = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ f(x) \in U \}</math> であり、<math>f(x) \in U \iff x \in f^{-1}(U)</math> より、(3) から<math>\exists \delta > 0 \ \forall x \ (\, |x - x_0| < \delta \Rightarrow x \in f^{-1}(U) \,)</math>
:ところで、<math>x_0</math> の取り方は任意だったので、つまり <math>f^{-1}(U)</math> は開集合である。


:（<math>\Leftarrow</math>）
:<math>a, \varepsilon > 0</math> を任意に取る。<math>U = \{\, y \in \mathbb{R} \ | \ |y-f(a)| < \varepsilon \,\}</math> は開集合なので、仮定より <math>f^{-1}(U)</math> も開集合である。
:<math>f^{-1}(U) = \{ x \in \mathbb{R} | f(x) \in U \} = \{ x \in \mathbb{R} | |f(x) - f(a)| < \varepsilon \}</math> であるから、つまりこの <math>\varepsilon</math> に対して
:<math>\exists \delta > 0 \ (\, |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(a)| < \varepsilon \,).</math> すなわち <math>f</math> は連続である。 q.e.d.

[[カテゴリ:位相幾何学]]