位相空間論/位相空間のソースを表示

位相空間の定義を述べる。

;定義 1.1
: 集合 <math>X</math> 及び <math>\mathcal{O} \subseteqq \mathcal{P}(X)</math> について、以下の3つの条件を満たすとき、<math>(X, \mathcal{O})</math> を'''位相空間'''と言う。
:# <math>\varnothing, X \in \mathcal{O}</math>
:# <math>\forall U, V \in \mathcal{O} \ ( \ U \cap V \in \mathcal{O} \ )</math>
:# <math>\mathcal{O}</math> の任意の集合族 <math>\{ U_{\lambda} \}_{\lambda \in \Lambda}</math> について、<math>\bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda} \in \mathcal{O}</math>
:
: このときの <math>X, \mathcal{O}</math> をそれぞれ'''台集合'''、'''位相'''ということがあり、位相が文脈から明らかなときは単に <math>X</math> は位相空間である、とも言われる。
: <math>\mathcal{O}</math> の元を'''開集合'''という。また、位相を開集合系ということもある。


; 定義 1.2
: <math>(X, \mathcal{O})</math> を位相空間として、開集合の補集合を'''閉集合'''という。この位相空間の閉集合を全て集めた集合を、開集合系に対して、閉集合系という。閉集合系を式で書くと、
: <math>\mathcal{F} = \{ \, U^c \ | \  U \in \mathcal{O} \, \} \ .</math>


ド・モルガンの法則より、以下が成り立つ。
; 命題 1.3
: <math>(X, \mathcal{O})</math> を位相空間とし、その閉集合系を <math>\mathcal{F}</math> とする。このとき、閉集合系は以下の3つの条件を満たす。
:# <math>\varnothing, X \in \mathcal{F}</math>
:# <math>\forall U, V \in \mathcal{F} \ ( \ U \cup V \in \mathcal{F} \ )</math>
:# <math>\mathcal{F}</math> の任意の集合族 <math>\{ F_{\lambda} \}_{\lambda \in \Lambda}</math> について、<math>\bigcap_{\lambda \in \Lambda} F_{\lambda} \in \mathcal{F}</math>

; 証明
1 について
: <math>\begin{cases} \varnothing^c = X \\ X^c = \varnothing \end{cases} \ \ \ </math> であるから、<math>\varnothing, X \in \mathcal{F}.</math>
:
2 について
: <math>U, V \in \mathcal{F}</math> とすると、閉集合は開集合の補集合であるから、閉集合の補集合は開集合である。すなわち、<math>U^c, V^c \in \mathcal{O}.</math>
: 定義 1.1 の 2 より、<math>U^c \cap V^c \in \mathcal{O}</math> 、ゆえに <math>U \cup V = (U^c \cap V^c)^c \in \mathcal{F}.</math>
:
3 について
: <math>\{ U_{\lambda} \}_{\lambda \in \Lambda}</math> を <math>\mathcal{F}</math> の集合族とする。先ほどと同様に、各 <math>F_{\lambda}^c</math> は開集合。
: 定義 1.1 の 3 より、<math>\bigcup_{\lambda \in \Lambda} F_{\lambda}^c \in \mathcal{O}.</math> ゆえに <math>\bigcap_{\lambda \in \Lambda} F_{\lambda} = ( \bigcup_{\lambda \in \Lambda} F_{\lambda}^c )^c \in \mathcal{F}.</math>

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