中学数学3年円のソースを表示

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この章では、2年生で学んだ三角形と四角形の性質をもとにして、円周角と中心角の性質を扱います。

==円周角と中心角==
[[ファイル:円周角1.jpg|frame|right|円周角と中心角]]
中心がOである円を円Oと呼ぶ。円Oにおいて、円周上の2点A , Bをとったとき、AからBまでの円周の部分を '''弧AB''' （こAB）といい、<math style="vertical-align:-4%">\begin{array}{c}\frown\\[-9pt] \scriptstyle \rm AB\end{array}</math>と書く。<math>\angle AOB</math> を弧ABに対する '''中心角'''（ちゅうしんかく） という。また、弧ABを'''中心角 <math>\angle AOB</math> に対する弧'''（こ）という。

円Oの周上の点で、弧AB上にはない点Pをとったとき、<math>\angle APB</math> を弧ABに対する '''円周角'''（えんしゅうかく） という。また、弧ABを'''円周角 <math>\angle APB</math> に対する弧'''という。

右の図のように、弧ABに対する円周角は <math>\angle APB\  ,\  \angle AP'B\  ,\  \angle AP''B</math> のようにいくつもできる。しかし、弧ABに対する中心角 <math>\angle AOB</math> は1つに決まる

==円周角の定理==
中心角と円周角には次の性質がある。

{| style="border:2px solid magenta;width:80%" cellspacing=0
|style="background:magenta"|'''円周角の定理'''
|-
|style="padding:5px"|
1つの弧に対する円周角の大きさは一定であり、その弧に対する中心角の半分である。
|}

この定理を証明するためには、円Oの弧ABに対する円周角の1つを <math>\angle APB</math> として、<math>\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB</math> を示せばよい。

===中心Oが 直線PAまたは直線PB上にある場合===
[[ファイル:円周角2.jpg|frame|right|中心Oが <math>\angle APB</math> の辺上にある場合]]
Oが直線PB上にある場合について示せば十分である。<math>\angle AOB</math> は <math>\triangle AOP</math> の外角であるから、三角形の1つの外角はそれととなり合わない2つの内角の和に等しいので
:<math>
\angle AOB = \angle APO + \angle PAO \cdots \cdots (1)
</math>
<math>\triangle AOP</math> の辺OP , OAは等しいから
:<math>
\angle APO = \angle PAO \cdots \cdots (2)
</math>
(1)、(2)より
:<math>
\angle AOB = 2 \angle APO
</math>
したがって
:<math>
\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB
</math>
よって、中心Oが 直線PB上にある場合、<math>\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB</math> が成り立つ。

===中心Oが ∠APB の内部にある場合===
[[ファイル:円周角3.jpg|frame|right|中心Oが <math>\angle APB</math> の内部にある場合]]
直線POと円Oとの交点のうちPでない方をCとすると、<math>\angle AOC</math> は <math>\triangle AOP</math> の外角であるから
:<math>
\angle AOC = \angle APO + \angle PAO
</math>
<math>\triangle AOP</math> の辺OP , OAは等しいから
:<math>
\angle APO = \angle PAO 
</math>
したがって
:<math>
\angle AOC = 2 \angle APO \cdots \cdots (1)
</math>

<math>\angle BOC</math> は <math>\triangle BOP</math> の外角であるから
:<math>
\angle BOC = \angle BPO + \angle PBO
</math>
<math>\triangle BOP</math> の辺OP , OBは等しいから
:<math>
\angle BPO = \angle PBO 
</math>
したがって
:<math>
\angle BOC = 2 \angle BPO \cdots \cdots (2)
</math>

(1)と(2)の左辺どうしと右辺どうしをそれぞれ加えると
:<math>
\angle AOC + \angle BOC = 2 (\angle APO + \angle BPO)
</math>
したがって
:<math>
\angle AOB = 2 \angle APB
</math>
すなわち
:<math>
\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB
</math>

よって、中心Oが <math>\angle APB</math> の内部にある場合、<math>\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB</math> が成り立つ。

=== 中心Oが ∠APB の外部にある場合 ===
[[ファイル:円周角4.jpg|frame|right|中心Oが <math>\angle APB</math> の外部にある場合]]
直線POと円Oとの交点のうちPでない方をCとすると、<math>\angle AOC</math> は <math>\triangle AOP</math> の外角であるから
:<math>
\angle AOC = \angle APO + \angle PAO
</math>
<math>\triangle AOP</math> の辺OP , OAは等しいから
:<math>
\angle APO = \angle PAO 
</math>
したがって
:<math>
\angle AOC = 2 \angle APO \cdots \cdots (1)
</math>

<math>\angle BOC</math> は <math>\triangle BOP</math> の外角であるから
:<math>
\angle BOC = \angle BPO + \angle PBO
</math>
<math>\triangle BOP</math> の辺OP , OBは等しいから
:<math>
\angle BPO = \angle PBO 
</math>
したがって
:<math>
\angle BOC = 2 \angle BPO \cdots \cdots (2)
</math>

(1)と(2)の左辺どうしと右辺どうしをそれぞれひくと
:<math>
\angle AOC - \angle BOC = 2 (\angle APO - \angle BPO)
</math>
したがって
:<math>
\angle AOB = 2 \angle APB
</math>
すなわち
:<math>
\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB
</math>

よって、中心Oが <math>\angle APB</math> の外部にある場合、<math>\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB</math> が成り立つ。

以上で考えられるすべてのPの位置について証明されたので、「1つの弧に対する円周角の大きさはすべて等しい」ことが成り立つことがわかった。

===半円の弧に対する円周角===
半円の弧に対する中心角は <math>180{}^\circ</math> であるから、円周角は <math>90{}^\circ</math> である。半円の弧に対する弦は直径であるから、次の定理が得られる。

{| style="border:2px solid magenta;width:80%" cellspacing=0
|style="background:magenta"|'''直径と円周角(ターレスの定理)'''
|-
|style="padding:5px"|
[[ファイル:円周角5.jpg|right]]
線分ABを直径とする円の周上にA、Bと異なる点Pをとれば
:<math>
\angle APB = 90{}^\circ
</math>
である。
|}

==円周角と弧==
[[ファイル:円周角6.jpg|frame|right|円周角と弧]]
右の図の円Oで、円周角 <math>\angle APB\  ,\  \angle CQD</math> が等しい場合、円周角の定理により
:<math>
\angle AOB = 2 \angle APB \cdots \cdots (1)
</math>
:<math>
\angle COD = 2 \angle CQD  \cdots \cdots (2)
</math>
となる。

<math>\angle APB = \angle CQD</math> であるから、(1)、(2)より
:<math>
\angle AOB = \angle COD
</math> 
となる。

1つの円において等しい中心角に対する弧の長さは等しいので、
:<math style="vertical-align:-4%">\begin{array}{c}\frown\\[-9pt] \scriptstyle \rm AB\end{array} = \begin{array}{c}\frown\\[-9pt] \scriptstyle \rm CD\end{array}</math>
が成り立つ。


また、右の図の円Oで、<math style="vertical-align:-4%">\begin{array}{c}\frown\\[-9pt] \scriptstyle \rm AB\end{array}\  ,\  \begin{array}{c}\frown\\[-9pt] \scriptstyle \rm CD\end{array}</math>が等しい場合、1つの円において等しい長さの弧に対する中心角は等しいので
:<math>
\angle AOB = \angle COD
</math>
となる。

よって、円周角の定理により
:<math>
\angle APB = \angle CQD
</math>
が成り立つ。


{| style="border:2px solid magenta;width:80%" cellspacing=0
|style="background:magenta"|'''円周角と弧'''
|-
|style="padding:5px"|
1つの円において
#　等しい円周角に対する弧は等しい。
#　等しい弧に対する円周角は等しい。
|}

==円周角の定理の逆==
[[高等学校数学A/図形の性質#円周角の定理の逆]]も参照。

円Oの周上の点をA,B,Cとし、<math>\angle ACB = \angle a</math> とする。また、直線ABについて点Cと同じ側に点Pをとる。このとき、Pが円Oの周上、内部、外部にある場合について、<math>\angle APB</math> と <math>\angle a</math> との大きさを比べる。

===点Pが円Oの周上にある場合===
[[ファイル:円周角7.jpg|frame|right|点Pが円Oの周上にある場合]]
円周角の定理により
:<math>
\angle APB = \angle a
</math>

===点Pが円Oの内部にある場合===
[[ファイル:円周角8.jpg|frame|right|点Pが円Oの内部にある場合]]
APの延長と円周の交点をQとする。<math>\angle APB</math> は <math>\triangle PBQ</math> における <math>\angle P</math> の外角であるから
:<math>
\angle APB = \angle PQB + \angle PBQ
</math>
となる。
円周角の定理により、<math>\angle AQB = \angle ACB = \angle a</math> であるから、
:<math>
\angle APB = \angle a + \angle PBQ
</math>
よって
:<math>
\angle APB > \angle a
</math>

===点Pが円Oの外部にある場合===
[[ファイル:円周角9.jpg|frame|right|点Pが円Oの外部にある場合]]
APと円周の交点をQとする。<math>\angle AQB</math> は <math>\triangle QBP</math> における <math>\angle Q</math> の外角であるから
:<math>
\angle AQB = \angle QPB + \angle PBQ
</math>
となる。
円周角の定理により、<math>\angle AQB = \angle ACB = \angle a</math> であるから、
:<math>
\angle a = \angle APB + \angle PBQ
</math>
式を変形すると
:<math>
\angle APB = \angle a - \angle PBQ
</math>
よって
:<math>
\angle APB < \angle a
</math>

===円周角の定理の逆===
上で調べたことから、点Pを直線ABについて点Cと同じ側にとったとき
:<math>
\angle APB = \angle a
</math>
ならば、点Pは円Oの周上にあることがわかった。したがって、円周角の定理の逆として次のようにまとめられる。

{| style="border:2px solid magenta;width:80%" cellspacing=0
|style="background:magenta"|'''円周角の定理の逆'''
|-
|style="padding:5px"|
[[ファイル:円周角10.jpg|frame|right|円周角の定理の逆]]
4点A,B,P,Qについて、P,Qが直線ABについて同じ側にあるとき，
:<math>
\angle APB = \angle AQB
</math>
ならば，この4点は1つの円周上にある。
|}

==円周角の定理の応用==
===円の接線===
まずは1年生で学んだ円の接線について復習する。

直線が円とただ1点で出あうとき、この直線は円に'''接する'''（せっする）といい、この直線を円の '''接線'''（せっせん） といい、出あう1点を '''接点'''（せってん） という。
{| style="border:2px solid magenta;width:80%" cellspacing=0
|style="background:magenta"|'''円の接線'''
|-
|style="padding:5px"|
[[ファイル:円周角11.jpg|frame|right|円の接線]]
円の接線は、接点を通る半径に垂直である。
|}

===円外の点からの接線===
[[ファイル:円周角12.jpg|frame|right|円外の点からの接線]]
円O外の点Aから円Oにひけたとし、その接点をP,P'とする。
AP,AP'は円Oの接線であるから、
:<math>
\angle APO = 90{}^\circ
</math>
:<math>
\angle AP'O = 90{}^\circ
</math>
であるから、点P,P'はAOを直径上とする円周上にあることがわかる。


このことをふまえて、円O外の点Aから円Oに接線をひくには、次のようにすればよい。
[[ファイル:円周角13.jpg|frame|right|円外の点からの接線のひき方]]
#　点AとOを結ぶ。
#　線分AOの垂直二等分線をひき、AOとの交点をO'とする。
#　点O'を中心として半径OO'の円を書き、円Oとの交点をP,P'とする。
#　直線AP,AP'をひく。

===接線の長さ===
[[ファイル:円周角14.jpg|frame|right|接線の長さの証明]]
<math>\triangle APO</math> と <math>\triangle AP'O</math> において

AP,AP'は接線だから
:<math>
\angle APO = \angle AP'O = 90{}^\circ \cdots \cdots (1)
</math>
共通な辺だから
:<math>
AO = AO = \cdots \cdots (2)
</math>
円Oの半径だから
:<math>
OP = OP' \cdots \cdots (3)
</math>
(1)、(2)、(3)より斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいから
:<math>
\triangle APO \equiv \triangle AP'O
</math>
したがって、<math>AP = AP'</math>


線分APまたはAP'の長さを、Aから円Oにひいた'''接線の長さ'''という。

上で調べたことから、次のようにまとめられる。
{| style="border:2px solid magenta;width:80%" cellspacing=0
|style="background:magenta"|'''接線の長さ'''
|-
|style="padding:5px"|
円外の1点からその円にひいた2つの接線の長さは等しい。
|}

[[Category:中学校数学|3年生 すけい えんしゆうかく]]