一般相対性理論:微分可能多様体のソースを表示

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集合<math>\mathrm{M}</math>が滑らかな<math>n</math>次元多様体であるとは、次のような性質をもつ部分集合の族<math>\{O_\alpha\}</math>を持つことである。

# 任意の点<math>p\in\mathrm{M}</math>は少なくとも一つの<math>O_\alpha</math>に属す。すなわち、<math> \mathrm{M}=\cup_\alpha O_\alpha</math>
# 任意の<math>\alpha</math>から、<math>\mathbb{R}^n</math>の開部分集合<math>U_\alpha</math>への全単射<math>\psi_\alpha:O_\alpha\longrightarrow U_\alpha</math>が存在する。
# <math>O_\alpha\cap O_\beta</math>が空でないとき、写像<math>\psi_\alpha\circ\psi_\beta^{-1}:\psi_\beta[O_\alpha\cap O_\beta]\longrightarrow\psi_\alpha[O_\alpha\cap O_\beta]</math>は滑らか。

2つ目の公理の全単射を局所座標といい、局所座標の族を局所座標系という。局所座標系は''M''に（局所座標が連続写像になるような）位相を誘導する。

== 例 ==
*ユークリッド空間<math>\mathbb{R}^n</math>は恒等写像を局所座標として自明に<math>n</math>次元多様体となる。
*2次元球面<math> S^2 = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x^2 + y^2 + z^2 = 1 \}</math>は多様体である。
:ただしこの場合、<math>S^2</math>は<math>\mathbb{R}^3</math>の開部分集合ではないので、包含写像は局所座標ではない。<math>S^2</math>の一部（たとえば、半円をひとつ）を除いた領域から<math>\mathbb{R}^2</math>への写像を定めることができ、除く部分が重ならないようにすればこの定義域の全体は<math>S^2</math>となるので、局所座標系を構成できる。したがって<math>S^2</math>は2次元多様体となる。

[[カテゴリ:幾何学]]