一般相対性理論のソースを表示

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== リーマン幾何学 ==
ここでは、ミンコフスキー空間の計量を <math>\eta_{\mu\nu} = \operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)</math> とする。

<math>g</math> を計量テンソルの行列式とする。計量テンソルの <math>(\mu,\nu)</math> 小行列式を <math>    \tilde g_{\mu\nu} </math> とすると、

<math>\frac{\partial g}{\partial g_{\mu\nu}} =  \tilde g_{\mu\nu} = gg^{\mu\nu} </math>

となるから、

<math>d g = gg^{\mu\nu}d g_{\mu\nu}</math>

を得る。

<math>d\sqrt{-g} = - \frac{1}{2\sqrt{-g}} d g = - \frac{1}{2\sqrt{-g}} gg^{\mu\nu}dg_{\mu\nu}</math>

は、

<math>\frac{\partial \sqrt{-g}}{\partial x^\lambda} = - \frac{1}{2\sqrt{-g}} \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda}</math>

となるから、

<math>\Gamma^{\mu}_{\lambda\mu} = \frac 1 2 g^{\mu\nu}  \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} = \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\partial \sqrt{-g}}{\partial x^\lambda}  </math>

を得る。

また、ベクトル <math>A^\mu</math> に対して、

<math>A^{\mu}{}_{;\mu} = A^{\mu}{}_{,\mu} + \Gamma^{\mu}_{\lambda\mu}A^\lambda = A^{\mu}{}_{,\mu} + \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\partial \sqrt{-g}}{\partial x^\lambda} A^\lambda = \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\partial (\sqrt{-g}A^\lambda)}{\partial x^\lambda}  </math>

となる。

ついでに、ラプラシアンの極座標における表式を求めてみよう。

<math>f^{;\mu}{}_{;\mu} = \left(g^{\mu\nu} \frac{\partial f}{\partial x^\nu}\right)_{;\mu} = \frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_\mu\left(\sqrt{-g} g^{\mu\nu} \frac{\partial f}{\partial x^\nu}\right)</math>

極座標では、 <math>g_{\mu\nu} = \operatorname{diag}(1,r^2,r^2 \sin^2\theta)</math> であるから、その逆行列は <math>g^{\mu\nu} = \operatorname{diag}\left(1,\frac{1}{r^2},\frac{1}{r^2 \sin^2\theta}\right)  </math> となる。また、<math>\sqrt{g} = r^2\sin\theta</math> <ref><math>\sqrt{-g}</math> の <math>-</math> は根号の中身を正とするために導入したものである。今回の場合は、 <math>g</math> は正だから <math>\sqrt{g}</math> としていい。</ref>である。これらを代入することで、ラプラシアンが簡単に計算できる：

<math>\triangle f = f^{;\mu}{}_{;\mu} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial }{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}. </math>

=== 弱い重力場の計量テンソル ===
速度 <math>v \ll c</math> で、重力ポテンシャル <math>\phi</math> の場の中にある質量 <math>m</math> の粒子の作用は

<math>S = \int(-mc^2 + \frac 1 2 mv^2 - m\phi)dt</math>

で与えられる。一方、

<math>S = -mc\int ds </math>

であるから、

<math>ds = \left(c - \frac{v^2}{2c} + \frac{\phi}{c}\right) dt</math>

を得る。両辺を二乗して、<math>v \ll c</math> となるから、

<math>ds^2 = (c^2 + 2\phi - v^2) dt^2 = (c^2 + 2\phi)dt^2 - d\boldsymbol{r}^2</math>

ここで、<math>v^2dt^2 = d\boldsymbol r^2</math> を使った。また、計量テンソルは

<math>ds^2 = c^2g_{00}dt^2 + g_{11}dx^2 + \cdots</math>

で定義されるものだから、

<math>g_{\mu\nu} = \operatorname{diag}\left(1 + \frac{2\phi}{c^2},-1,-1,-1\right) </math>

を得る。

== アインシュタイン方程式 ==
電磁場との類推から、重力場のラグランジアンは、計量テンソルの一回微分 <math>g_{\mu\nu,\lambda}</math> に関する二次の量 <math>G</math> であろう。しかし、 <math>g_{\mu\nu,\lambda}</math> は任意の一点ですべて0とすることができる。このことは、局所慣性系で <math>\Gamma^{\alpha}_{\beta\gamma} </math> をすべて0となることから明らかである。したがって、 <math>G</math> はスカラーではない。ところで、リッチスカラー <math>R</math> は

<math>R\sqrt{-g} = G\sqrt{-g} + \partial_\mu D^\mu </math>

の形に変形することができ、作用は

<math>\int R\sqrt{-g} d^4 x = \int G\sqrt{-g} d^4 x + \int \partial_\mu D^\mu d^4 x </math>

のようになる。第二項の積分はガウスの定理よって、四次元の面積分に変換され、境界で <math>\delta g_{\mu\nu,\lambda} = 0</math> という条件を課せば変分で第二項は消えることになる。

重力場のラグランジアンは <math>\kappa</math> を定数として

<math>\mathcal L_g = -\frac{1}{2\kappa} R</math>

で与えられることが分かる。物質場のラグランジアンを <math>\mathcal L_m</math> とすれば、全系の作用は

<math>S = \frac 1 c \int\left(-\frac{1}{2\kappa}G + \mathcal L_m\right)\sqrt{-g} d^4 x </math>

となる。変分は、

<math>\begin{align}
\delta S &= \delta \frac 1 c \int\left(-\frac{1}{2\kappa}G + \mathcal L_m\right)\sqrt{-g} d^4 x \\
&= -\frac{1}{2\kappa c}\int\left( \frac{\partial (G \sqrt{-g})}{\partial g^{\mu\nu}} - \frac{\partial }{\partial x^\lambda} \frac{\partial (G\sqrt{-g})}{\partial g^{\mu\nu}{}_{,\lambda}}\right)\delta g^{\mu\nu}d^4 x + \frac 1 c \int \frac{\partial (\mathcal L_m \sqrt{-g})}{\partial g^{\mu\nu}} \delta g^{\mu\nu}d^4 x \\
&= \frac 1 c \int\left(-\frac{1}{2\kappa}G_{\mu\nu} + \frac 1 2 T_{\mu\nu}\right)\delta g^{\mu\nu}\sqrt{-g} d^4 x
\end{align}</math>

である。ただし、<math>G_{\mu\nu},\, T_{\mu\nu}</math> はそれぞれアインシュタインテンソルとエネルギー・運動量テンソルで、

<math>G_{\mu\nu} = \frac{1}{\sqrt{-g}} \left( \frac{\partial (G \sqrt{-g})}{\partial g^{\mu\nu}} - \frac{\partial }{\partial x^\lambda} \frac{\partial (G\sqrt{-g})}{\partial g^{\mu\nu}{}_{,\lambda}} \right)  </math>

<math>T_{\mu\nu} = \frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\partial ( \mathcal{L_m} \sqrt{-g})}{\partial g^{\mu\nu}} </math>

で定義される。

<math>\delta S = 0</math> という条件から、アインシュタイン方程式

<math>G_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu}</math>

を得る。

しかし、まだアインシュタインテンソルの具体的な表式を得ていない。これを <math>G</math> から計算することは大変だから、直接変分することによって求める。

<math>\delta \int g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} \sqrt{-g}d^4x = \int \left(\delta g^{\mu\nu}\left(R_{\mu\nu} - \frac 1 2 g_{\mu\nu} R\right) + g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu} \right)\sqrt{-g}d^4x</math>

ここで、ある一点で <math>\Gamma^{\alpha}_{\beta\gamma} = 0 </math> となる局所慣性系を使うと、リッチテンソルは

<math>R_{\mu\nu} = \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu,\lambda} - \Gamma^{\lambda}_{\mu\lambda,\nu}  </math>

となり、その変分は、

<math>\delta R_{\mu\nu} = \delta \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu,\lambda} - \delta \Gamma^{\lambda}_{\mu\lambda,\nu}</math>

で与えられる。

また、 <math>\delta \Gamma^{\alpha}_{\beta\gamma} </math> はテンソルだから、任意の座標系で

<math>\delta R_{\mu\nu} = \delta \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu;\lambda} - \delta \Gamma^{\lambda}_{\mu\lambda;\nu}</math>

となることがわかる。

よって、

<math>\begin{align}
\sqrt{-g} g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu} &= \sqrt{-g}(g^{\mu\nu} \delta \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu})_{;\lambda} - \sqrt{-g}(g^{\mu\nu} \delta \Gamma^{\lambda}_{\mu\lambda})_{;\nu}\\
&= \sqrt{-g}(g^{\mu\nu} \delta \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu})_{;\lambda} - \sqrt{-g}(g^{\mu\lambda} \delta \Gamma^{\nu}_{\mu\nu})_{;\lambda}\\
&= \partial_\lambda (\sqrt{-g}g^{\mu\nu} \delta \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} - \sqrt{-g}g^{\mu\lambda} \delta \Gamma^{\nu}_{\mu\nu})
\end{align}</math>

となるから、これは積分して0となる。

最終的に、

<math>\begin{align}
\delta \int R \sqrt{-g}d^4 x &= \delta \int G \sqrt{-g} d^4 x \\ 
&= \int G_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu}\sqrt{-g} d^4 x\\
&= \int\left(R_{\mu\nu} - \frac 1 2 g_{\mu\nu} R\right)\delta g^{\mu\nu}\sqrt{-g}d^4x
\end{align}</math>

となるから、アインシュタインテンソルは、

<math>G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac 1 2 g_{\mu\nu}R </math>

である。

したがって、アインシュタイン方程式は、

<math>R_{\mu\nu} - \frac 1 2 g_{\mu\nu} R = \kappa T_{\mu\nu}</math>

となる。添字を上げて、

<math>R^{\mu}_{\nu} - \frac 1 2 \delta^{\mu}_{\nu} R = \kappa T^{\mu}_{\nu}</math>

縮約を取ると、

<math>R = - \kappa T</math>

となる。よって、アインシュタイン方程式は、<math>T = T^{\mu}_\mu </math> と置いて、

<math>R_{\mu\nu} = \kappa \left(T_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}T\right)</math>

とも変形することが出来る。

エネルギー運動量テンソルの表式を求める。電磁場のラグランジアン

<math>\mathcal L_m = -\frac{1}{4\mu_0}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}</math>

について、公式

<math>\frac{\partial \sqrt{-g}}{\partial g^{\mu\nu}} = \frac{1}{2\sqrt{-g}}{gg_{\mu\nu}} </math>

を使ってテンソルの微分を実行すれば

<math>T_{\mu\nu} = \frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\partial ( \mathcal{L_m} \sqrt{-g})}{\partial g^{\mu\nu}} = 2 \frac{\partial \mathcal L_m}{\partial g^{\mu\nu}} -g_{\mu\nu}\mathcal L_m </math>

となる。ここで、

<math>\mathcal L_m = -\frac{1}{4\mu_0}g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}F_{\alpha\beta}F_{\mu\nu} = -\frac{1}{4\mu_0}g^{\mu\nu}g^{\alpha\beta}F_{\nu\beta}F_{\mu\alpha} </math>

となるから、

<math>\frac{\partial \mathcal L_m}{\partial g^{\mu\nu}} = -\frac{1}{4\mu_0}\times 2 g^{\alpha\beta}F_{\mu\alpha}F_{\nu\beta} = -\frac{1}{2\mu_0}F_{\mu\alpha}F_{\nu}{}^{\alpha}</math>

となる。すなわち、

<math>T_{\mu\nu} = \frac{1}{\mu_0}\left(-F_{\mu\alpha}F_{\nu}{}^{\alpha} + \frac 1 4 F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}g_{\mu\nu}\right) </math>

を得る。これは、ミンコフスキー空間では、特殊相対性理論での電磁場のエネルギー運動量テンソルに一致する。

最後に、アインシュタイン定数 <math>\kappa</math> の値を求める。アインシュタイン方程式が、弱い重力場

<math>g_{\mu\nu} = \operatorname{diag}\left(1+\frac{2\phi}{c^2},-1,-1,-1 \right) </math>

の極限で、さらに、静的な場合に、ニュートンの重力理論

<math>\triangle \phi = 4 \pi G \rho </math>

に一致することを示し、定数を決定する。

エネルギー・運動量テンソルは、

<math>T_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} \rho c^2 & 0  & 0 & 0 \\ 0 & 0  & 0 & 0 \\ 0 & 0  & 0 & 0 \\0 & 0  & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>T = g^{00}\rho c^2 </math>

となる。アインシュタイン方程式の00成分は

<math>R_{00} = \frac{\kappa c^2}{2}\rho </math>

となる。クリストッフェル記号は

<math>\begin{align}
\Gamma^\alpha_{\mu\nu} &= \frac 1 2 g^{\alpha\beta}(\partial_\nu g_{\mu\beta} + \partial_\mu g_{\nu\beta} - \partial_\beta g_{\mu\nu})\\
&\approx \frac 1 2 \eta^{\alpha\beta}(\partial_\nu g_{\mu\beta} + \partial_\mu g_{\nu\beta} - \partial_\beta g_{\mu\nu})
\end{align} </math>

と近似することができる。

また、リッチテンソルの <math>\Gamma \Gamma </math> の項は、二次の微小量となるから無視すると、

<math>R_{\mu\nu} \approx \partial_\alpha \Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} - \partial_\nu \Gamma^{\alpha}_{\mu\alpha}</math>

と近似できる。

さらに、静的な場合だから、 <math>t </math> に関する微分が0となることに注意すると、

<math>\begin{align}
R_{00} &= \partial_\alpha \Gamma^{\alpha}_{00} - \partial_0 \Gamma^{\alpha}_{0\alpha}\\
&\approx \partial_i \Gamma^{i}_{00} \\
&=- \frac 1 2 \partial_i(\partial_0 g_{0i} + \partial_0 g_{0i} - \partial_i g_{00}) \\
&\approx \frac 1 2 \partial_i\partial_ig_{00} \\
&\approx \frac{\triangle \phi}{c^2}
\end{align}  </math>

となる。従って、

<math>\triangle \phi = \frac{\kappa c^4}{2}\rho </math>

となる。この係数は <math>4\pi G </math> であるから、

<math>\kappa = \frac{8\pi G}{c^4} </math>

を得る。最終的に、アインシュタイン方程式は、

<math>R_{\mu\nu} - \frac 1 2 g_{\mu\nu} R = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}</math>

となる。

== シュヴァルツシルト解 ==

== 重力波 ==
重力の効果が弱いとき、<math>h_{\mu\nu}</math> を十分微小な量として、

<math>g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}</math>

と書くことができる。アインシュタイン方程式

<math>R_{\mu\nu} = \kappa \left(T_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}T\right)</math>

は真空中では、

<math>R_{\mu\nu} = 0</math>

となる。クリストッフェル記号は、

<math>\begin{align}
\Gamma^\alpha_{\mu\nu} &= \frac 1 2 g^{\alpha\beta}(\partial_\nu g_{\mu\beta} + \partial_\mu g_{\nu\beta} - \partial_\beta g_{\mu\nu})\\
&\approx \frac 1 2 \eta^{\alpha\beta}(\partial_\nu h_{\mu\beta} + \partial_\mu h_{\nu\beta} - \partial_\beta h_{\mu\nu})
\end{align} </math>

となる。リッチテンソルは <math>h_{\mu\nu}</math> に対する二次の項を無視すれば、

<math>\begin{align}
R_{\mu\nu} &\approx \partial_\alpha \Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} - \partial_\nu \Gamma^{\alpha}_{\mu\alpha}\\
&=\frac 1 2 (-\eta^{\alpha\beta}h_{\mu\nu,\alpha\beta}+h^\alpha{}_{\nu,\alpha\mu}+h^\alpha{}_{\mu,\alpha\nu} - h_{,\mu\nu})\\
\end{align}</math>

となる。<math>h = h^\alpha{}_{\alpha}</math> である。ここで、<math>\xi^\mu</math> を微小量として、座標変換 <math>x'^{\mu} = x^\mu + \xi^\mu</math> をすることによって、ゲージ条件

<math>h^{\alpha}{}_{\beta,\alpha}=\frac 1 2 \delta^{\alpha}_{\beta} h_{,\alpha}</math>

を課す事が出来る。ゲージ条件により、最後の三項は打ち消し合い、

<math>R_{\mu\nu} = -\frac 1 2 \eta^{\alpha\beta} h_{\mu\nu,\alpha\beta} = -\frac 1 2 \Box h_{\mu\nu}</math>

となるから、アインシュタイン方程式は、

<math>\Box h_{\mu\nu} = 0</math>

と変形できる。これは波動方程式である。{{DEFAULTSORT:いつはんそうたいせいりろん}}
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== 参考文献 ==

* エリ・デ・ランダウ、イェ・エム・リフシッツ著、恒藤敏彦、広重徹訳『場の古典論（原著第6版）』東京図書（1978）
* 中嶋慧、松尾衛『一般ゲージ理論と共変解析力学』現代数学社（2020）