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== 体とは ==
;定義 ([[w:体_(数学)|体]])
集合 <math>K</math> と写像 <math>+ : K \times K \rightarrow K, \ \cdot : K \times K \rightarrow K</math> について、<math>+(a, b) = a + b, \ \cdot(a, b) = ab</math> と書くことにする。このとき、<math>(K, +, \cdot)</math> が(可換)体であるとは、以下の条件を満たすことを言う。

#結合法則 : 任意の <math>a, b, c \in K</math> に対して <math>(a + b) + c = a + (b + c).</math>
#単位元の存在 : <math>0 \in K</math> が存在して、任意の <math>a \in K</math> に対して <math>a + 0 = 0 + a = a.</math> この 0 という元を加法の単位元という。
#逆元の存在 : 加法の単位元 <math>0</math> に対して、任意の <math>a \in K</math> に対して <math>a' \in K</math> が存在して <math>a + a' = a' + a = 0.</math>
#交換法則 : 任意の <math>a, b \in K</math> に対して <math>a + b = b + a</math>
#結合法則 : 任意の <math>a, b, c \in K</math> に対して <math>(ab)c = a(bc).</math>
#単位元の存在 : <math>1 \in K</math> が存在して、任意の <math>a \in K</math> に対して <math>a1 = 1a = a.</math> この 1 という元を加法の単位元という。
#逆元の存在 : 加法の単位元 <math>1</math> に対して、任意の <math>0 \neq a \in K</math> に対して、 <math>a' \in K</math> が存在して <math>aa' = a'a = 1.</math> ただし、<math>0</math> は加法の単位元である。
#交換法則 : 任意の <math>a, b \in K</math> に対して <math>ab = ba.</math>
#結合法則 : 任意の <math>a, b, c \in K</math> に対して <math>a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc.</math>
#<math>0 \neq 1.</math>

基本的には「<math>(K, +, \cdot)</math> は体である」というより、演算を省略して「<math>K</math> は体である」ということが多い。

;例
*<math>\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> は、自然な加法と乗法について体となる。
*<math>\mathbb{Z}</math> は、自然な加法と乗法について体にはならない。乗法の逆元が常に存在するとは限らないからである。
*[[ガロア理論/有限体|有限体]] <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.</math>

==== 命題 1 ====
体 <math>K</math> の加法の単位元、乗法の単位元は共にただ一つ存在する。
;証明
体は加法に関して群なので一般論より成り立つ。[[群論]]参照。

==== 命題 2 ====
体 <math>K</math> の元 <math>x</math> の加法の逆元はただひとつ存在する。<math>x \neq 0</math> なら、乗法の逆元はただひとつ存在する。
;証明
体 <math>K</math> は加法に関して、またその部分集合 <math>K^\ast:=K\setminus \{0\}</math> は乗法に関してそれぞれ群を成すので、一般論より成り立つ。
[[群論]]参照。

このことから、加法の逆元を <math>-x</math>、乗法の逆元 <math>x^{-1}</math> などと書く。

== 準同型 ==
;定義
体 <math>K, F</math> の間の準同型 <math>f : K \rightarrow F</math> とは、以下を満たす写像である。
*任意の <math>a, b\in K</math> に対して <math>f(a + b) = f(a) + f(b).</math>
*任意の <math>a, b\in K</math> に対して <math>f(ab) = f(a)f(b).</math>
*<math>f(1) = 1.</math>

簡単に分かる性質として以下を挙げる。

*<math>f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0)</math> より、<math>f(0) = 0.</math>
*<math>f(x) + f(-x) = f(x + (-x)) = f(0) = 0</math> より <math>f(-x) = -f(x).</math>
*<math>x \neq 0</math> のとき、<math>1 = f(1) = f(x x^{-1}) = f(x)f(x^{-1})</math> より <math>f(x^{-1}) = f(x)^{-1}.</math>

==== 命題 3 ====
体の準同型 <math>f : K \rightarrow F</math> は単射である。
;証明
<math>x \neq 0</math>のとき、乗法の逆元<math>x^{-1}</math>が存在し、<math>f(x)f(x^{-1})=1</math>なので、<math>f(x) \neq 0</math>である。
よって、<math>x \neq y</math>のとき、<math>x-y \neq 0</math>なので、<math>f(x-y) \neq 0</math>、すなわち<math>f(x) \neq f(y)</math>である。
すなわち、fは単射である。<math>\Box</math>

;定義
体の同型写像とは、準同型であり、かつ全単射であることを言う。

体という数学的構造を扱う際、同型な体は同じ構造を持っているとみなすことができる。

==== 命題 4 ====
体の同型写像の逆写像はまた準同型写像である。

;証明
練習問題。

== 体の拡大 ==
;定義
体 <math>K</math> とその部分集合 <math>F</math> について、<math>K</math> の演算 <math>+, \cdot:K \times K \rightarrow K</math> を <math>F \times F</math> 上に制限したときの行き先が必ず <math>F</math> に入り、かつ、その制限写像によって <math>F</math> が体になるとき、<math>F</math> は <math>K</math> の部分体である、<math>K/F</math> は体の拡大である、という。

このとき包含写像が準同型になることに注意。

体の準同型 <math>f : K \rightarrow F</math> があるとき、<math>K, f(K)</math> が同型であることから、命題 4 とあわせて、体の準同型があれば同型を除けばそれは体の拡大である、と思うことができる。

;例
*<math>\mathbb{C}/\mathbb{R}, \ \mathbb{R}/\mathbb{Q}</math> は体の拡大である。
*<math>\mathbb{Q}(\sqrt{-2})/\mathbb{Q}</math> は体の拡大。ただし、<math>\mathbb{Q}(\sqrt{-2}) = \{ a+b\sqrt{-2} \in \mathbb{C} | a, b \in \mathbb{Q} \}.</math>

=== 体上の準同型 ===
;定義
<math>K/F, \ K'/F</math> を体の拡大とする。<math>f : K \rightarrow K'</math> が体 <math>F</math> 上の(準)同型であるとは、体の(準)同型であり、かつ <math>F</math> 上では恒等写像であることをいう。

== 自己同型群 ==
;定義
<math>K/F</math> を体の拡大とする。<math>K/F</math> の自己同型とは、<math>F</math> 上の同型写像 <math>f : K \rightarrow K</math> のことをいう。自己同型全体の集合 <math>\operatorname{Aut}(K/F)</math> には、写像の合成を積とする群構造が入る。これを自己同型群という。

== その他の定義 ==
;定義
体の拡大 <math>K/F</math> について、<math>L</math> がその中間体であるとは、<math>K/L, \ L/F</math> が体の拡大になっていることをいう。


==== 命題 5 ====
体の拡大 <math>K/F</math> および中間体 <math>L_i \ \ \ (i \in I)</math> について、<math>L = \bigcap_{i \in I} L_i</math> は中間体である。

;証明
体の演算について閉じていることを機械的に確かめるだけなので、省略。[[群論]]参照。


==== 命題 6 ====
体の拡大 <math>K/F</math> および集合 <math>S \subseteq K</math> について、<math>S</math> を含むような <math>K/F</math> の中間体のうち、包含順序について最小の中間体が存在する。

;証明
<math>\{L_i\}_{i}</math> を <math>S</math> を含むような <math>K/F</math> の中間体全体の集合として、命題 5 を適用する。

;定義
命題 6 で存在が保証される体を <math>F(S)</math> と書く。特に <math>S = \{ \alpha_1, \cdots, \alpha_n \}</math> が有限集合である場合、<math>F(\alpha_1, \cdots, \alpha_n)</math> とも書く。


==== 命題 7 ====
体の拡大 <math>K/F</math> および集合 <math>S \subseteq K</math> について、<math>F(S) = \{ \alpha \in K \ : \ f(X_1, \cdots, X_n) \in F(X_1, \cdots, X_n), \ \alpha_1, \cdots, \alpha_n \in S </math> が存在して <math>\alpha = f(\alpha_1, \cdots, \alpha_n)\}.</math><br>
ただし、<math>F(X_1, \cdots, X_n)</math> は <math>F</math> 上の <math>n</math> 変数有理関数体であり、その元は <math>F</math> 係数多項式 <math>f, g (\neq 0) \in F[X]</math> で <math>f / g</math> と表せるもの全体からなる。

;証明
命題の主張にある集合 <math>L</math> が体であることを確認する（省略）。そうすると、明らかに <math>S \subseteq L</math> であり、<math>S</math> を含む中間体である。逆に、そのような任意の中間体は <math>L</math> を含む。


==== 命題 8 ====
体の拡大 <math>K = F(S)/F, \ L/F</math> と体 <math>F</math> 上の準同型 <math>f, f' : K \rightarrow L</math> について、<math>f(\alpha) = f'(\alpha) \ (\forall \alpha \in S)</math> であるならば <math>f = f'</math> である。

;証明
命題7 より。詳細は読者に委ねる。
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