ガロア理論/正規拡大のソースを表示

;定義(共役体)
体の拡大 <math>K/F, K'/F</math> についてこれらが'''互いに共役'''、あるいは <math>K</math> が <math>K'</math> の <math>F</math> 上の'''共役体'''であるとは、<math>K, K'</math> をどちらも含む拡大体 <math>L</math> が存在し、かつ <math>F</math> 上同型であることをいう。

==== 命題1 ====
体の代数拡大 <math>K/F</math> について、以下は同値。

(i) <math>K/F</math> の <math>F</math> 上の共役体は <math>K</math> のみである<br />
(ii) <math>K</math> の代数閉包 <math>\Omega</math> および <math>F</math> 上の同型写像 <math>\sigma : \Omega \rightarrow \Omega</math> について <math>\sigma(K) = K</math><br />
(iii) <math>\alpha \in K</math> の最小多項式 <math>f(X)</math> は、<math>\alpha_1, \cdots, \alpha_n \in K</math> で <math>f(X) = (X-\alpha_1) \cdots (X-\alpha_n)</math> と書ける

;証明
(i) ⇒ (ii):<br />
<math>\sigma(K)/F</math> は <math>K/F</math> と共役であるので、<math>\sigma(K) = K.</math>

(ii) ⇒ (iii):<br />
<math>\Omega</math> を <math>K</math> の代数閉包として、<math>\alpha_1 = \alpha, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \in \Omega</math> があって <math>f(X) = (X-\alpha_1) \cdots (X-\alpha_n)</math> と書ける。<math>\sigma : K(\alpha) \rightarrow K(\alpha_i)</math> を <math>\alpha \mapsto \alpha_1</math> で定めることができ、これを[[ガロア理論/代数的閉体#定理2]]-(ii)を使って <math>\sigma : \Omega \rightarrow \Omega</math> に拡張する。このとき、<math>\alpha_i = \sigma(\alpha) \in \sigma(K) = K</math> となって示された。

(iii) ⇒ (i):<br />
<math>K'</math> を <math>K</math> の <math>F</math> 上の共役体として、<math>L</math> を <math>K, K'</math> を含む拡大体、<math>\phi : K \rightarrow K'</math> を <math>F</math> 上の同型写像とする。<math>\alpha_1 \in K</math> に対して <math>\alpha_1' = \phi(\alpha_1)</math> として、<math>f(X) = (X-\alpha_1) \cdots (X-\alpha_n) \ \ \ (\alpha_1, \cdots, \alpha_n \in K)</math> を <math>\alpha</math> の <math>F</math> 上の最小多項式とする。このとき、<math>\phi(f(X)) = (X-\alpha_1') \cdots (X-\alpha_n') \ \ \ (\alpha_i' = \phi(\alpha_i))</math> であり、<math>X = \alpha_1</math> とすれば、<math>L</math> 内で <math>0 = (\alpha_1 - \alpha_1')(\alpha_1 - \alpha_2') \cdots (\alpha_1 - \alpha_n')</math> を得る。よって、<math>\alpha_1 = \alpha_i' \in \phi(K)</math> となり、<math>K \subseteq \phi(K) = K'</math> となる。ここから <math>K' = \phi^{-1}(K) \subseteq \phi^{-1}(K') = K</math> となり、よって <math>K = K'</math> である。


;定義([[w:正規拡大|正規拡大]])
上の命題の(i), (ii) 及び (iii) を満たす体の代数拡大を'''正規拡大'''という。

==== 命題2 ====
正規拡大 <math>K/F</math> と <math>\alpha, \beta \in K</math> について、以下は同値。

(i) <math>\alpha, \beta</math> の最小多項式が一致する<br />
(ii) <math>F</math> 上の <math>K</math> の自己同型で、<math>\alpha</math> を <math>\beta</math> に移すものがある

;証明
(i) ⇒ (ii):<br />
命題1 の (ii) ⇒ (iii) の証明で構成されたように、代数閉包 <math>\Omega</math> について <math>\sigma : \Omega \rightarrow \Omega, \alpha \rightarrow \beta</math> があり、正規拡大という仮定から <math>\sigma|K : K \rightarrow K</math> は同型写像である。

(ii) ⇒ (i):<br />
<math>f(\beta) = f(\sigma(\alpha)) = \sigma(f(\alpha)) = 0.</math>

==== 命題3 ====
体の拡大 <math>K/F</math> について、以下は同値。

(i) <math>K/F</math> は有限次正規拡大である<br />
(ii) <math>K</math> は、ある <math>f(X) \in F[X]</math> の最小分解体である

;証明
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