ガロア理論/正規拡大

定義(共役体)

体の拡大 $K/F,K^{\prime }/F$ についてこれらが互いに共役、あるいは $K$ が $K^{\prime }$ の $F$ 上の共役体であるとは、$K,K^{\prime }$ をどちらも含む拡大体 $L$ が存在し、かつ $F$ 上同型であることをいう。

命題1

体の代数拡大 $K/F$ について、以下は同値。

(i) $K/F$ の $F$ 上の共役体は $K$ のみである
(ii) $K$ の代数閉包 $\mathrm{\Omega }$ および $F$ 上の同型写像 $\sigma :\mathrm{\Omega }\to \mathrm{\Omega }$ について $\sigma (K)=K$
(iii) $\alpha \in K$ の最小多項式 $f(X)$ は、${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\in K$ で $f(X)=(X-{\alpha }_1)\cdots (X-{\alpha }_n)$ と書ける

証明

(i) ⇒ (ii):
$\sigma (K)/F$ は $K/F$ と共役であるので、$\sigma (K)=K.$

(ii) ⇒ (iii):
$\mathrm{\Omega }$ を $K$ の代数閉包として、${\alpha }_1=\alpha ,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\in \mathrm{\Omega }$ があって $f(X)=(X-{\alpha }_1)\cdots (X-{\alpha }_n)$ と書ける。$\sigma :K(\alpha )\to K({\alpha }_i)$ を $\alpha \mapsto {\alpha }_1$ で定めることができ、これをガロア理論/代数的閉体#定理2-(ii)を使って $\sigma :\mathrm{\Omega }\to \mathrm{\Omega }$ に拡張する。このとき、${\alpha }_i=\sigma (\alpha )\in \sigma (K)=K$ となって示された。

(iii) ⇒ (i):
$K^{\prime }$ を $K$ の $F$ 上の共役体として、$L$ を $K,K^{\prime }$ を含む拡大体、$\varphi :K\to K^{\prime }$ を $F$ 上の同型写像とする。${\alpha }_1\in K$ に対して ${{\alpha }_1}^{\prime }=\varphi ({\alpha }_1)$ として、$f(X)=(X-{\alpha }_1)\cdots (X-{\alpha }_n)({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\in K)$ を $\alpha$ の $F$ 上の最小多項式とする。このとき、$\varphi (f(X))=(X-{{\alpha }_1}^{\prime })\cdots (X-{{\alpha }_n}^{\prime })({{\alpha }_i}^{\prime }=\varphi ({\alpha }_i))$ であり、$X={\alpha }_1$ とすれば、$L$ 内で $0=({\alpha }_1-{{\alpha }_1}^{\prime })({\alpha }_1-{{\alpha }_2}^{\prime })\cdots ({\alpha }_1-{{\alpha }_n}^{\prime })$ を得る。よって、${\alpha }_1={{\alpha }_i}^{\prime }\in \varphi (K)$ となり、$K\subseteq \varphi (K)=K^{\prime }$ となる。ここから $K^{\prime }={\varphi }^{-1}(K)\subseteq {\varphi }^{-1}(K^{\prime })=K$ となり、よって $K=K^{\prime }$ である。

定義(正規拡大)

上の命題の(i), (ii) 及び (iii) を満たす体の代数拡大を正規拡大という。

命題2

正規拡大 $K/F$ と $\alpha ,\beta \in K$ について、以下は同値。

(i) $\alpha ,\beta$ の最小多項式が一致する
(ii) $F$ 上の $K$ の自己同型で、$\alpha$ を $\beta$ に移すものがある

証明

(i) ⇒ (ii):
命題1 の (ii) ⇒ (iii) の証明で構成されたように、代数閉包 $\mathrm{\Omega }$ について $\sigma :\mathrm{\Omega }\to \mathrm{\Omega },\alpha \to \beta$ があり、正規拡大という仮定から $\sigma |K:K\to K$ は同型写像である。

(ii) ⇒ (i):
$f(\beta )=f(\sigma (\alpha ))=\sigma (f(\alpha ))=0.$

命題3

体の拡大 $K/F$ について、以下は同値。

(i) $K/F$ は有限次正規拡大である
(ii) $K$ は、ある $f(X)\in F[X]$ の最小分解体である

証明