ガロア理論/最小分解体のソースを表示

== 定義 ==
;定義 ([[w:最小分解体|最小分解体]])
<math>K/F</math> を体の拡大とする。<math>f(X) \in F[X]</math> が <math>K</math> で分解するとは、<math>K[x]</math> の一次の多項式と定数の積に表すことができることをいう。

<math>K</math> が<math>F</math> 上の <math>f(X)</math> の最小分解体であるとは、<math>f(X)</math> が <math>K</math> では分解するが <math>K/F</math> の任意の中間体 <math>M</math> について <math>M</math> では分解しないことをいう。

== 存在性 ==
==== 命題1 ====
体 <math>F</math> と 定数でない多項式 <math>f(X) \in F[X]</math> について、その最小分解体が存在する。

;証明
<math>F</math> の [[ガロア理論/代数的閉体|代数閉包]] <math>\Omega</math> を取る。<math>f(X)</math> が分解するような <math>\Omega/F</math> の中間体全ての共通部分を <math>K</math> とする。この <math>K</math> が最小分解体である。なお、<math>f(x) = a(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)\cdots(X-\alpha_n), \ a \in F, \alpha_i \in \Omega</math> と書いたとき、<math>K = F(\alpha_1, \cdots, \alpha_n)</math> となる。詳細は読者に委ねる。

上で言及したことを命題として述べておこう。

==== 命題2 ====
<math>f(X) \in F[X]</math> が体 <math>K</math> で分解するとし、<math>f(x) = a(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)\cdots(X-\alpha_n), \ a \in F, \alpha_i \in K</math> であるとする。このとき、<math>F(\alpha_1, \cdots, \alpha_n)</math> は最小分解体である。

== 一意性 ==
==== 命題3 ====
<math>g(X), h(X) \in F[X], \ f(X) = g(X)h(X)</math> とし、<math>g(X)</math> の <math>F</math> 上の最小分解体を <math>K</math> とし、<math>h(X)</math> の <math>K</math> 上の最小分解体を <math>L</math> とする。このとき、<math>L</math> は <math>f(X)</math> の <math>F</math> 上の最小分解体である。

;証明
命題2より、

<math>g(X) = a(X-\alpha_1) \cdots (X-\alpha_m), \ a \in F, \alpha_i \in K, \ \ h(X) = b(X-\beta_1) \cdots (X-\beta_n), \ b \in F, \beta_j \in L</math>

と表したとき、<math>K = F(\alpha_1, \cdots, \alpha_m), L = K(\beta_1, \cdots, \beta_n)</math> であるから、<math>L = F(\alpha_1, \cdots, \alpha_m, \beta_1, \cdots, \beta_n)</math> である。したがって、命題2 を再び使えば主張を得られる。

==== 命題4 ====
(i) <math>\phi : F_1 \rightarrow F_2</math> を体の同型写像とする。<math>f_1(X) \in F_1[X], \ f_2(X) \in F_2[X]</math> が <math>\phi</math> で対応しているとし、<math>f_i</math> の <math>F_i</math> 上の最小分解体を <math>K_i</math> とする <math>(i = 1, 2)</math>。このとき、体の同型写像 <math>\Phi : K_1 \rightarrow K_2</math> で <math>\phi</math> の拡張になっているものが存在する。<br />
(ii)<math>f(X) \in F[X]</math> の <math>F</math> 上の最小分解体は <math>F</math> 上の同型を除き一意に定まる。

;証明
(ii) は (i) より直ちに従う。

以下、<math>i = 1, 2</math> とする。命題3 より、<math>f_i(X)</math> は <math>F_i[X]</math> における既約多項式であるとしても良い。

<math>\alpha_i \in K_i</math> を <math>f_i(X)</math> の根の一つであるとする。このとき、仮定より <math>\alpha_i</math> の最小多項式は <math>f_i(X)</math> であり、<math>F_i[X]/(f_i(X)) \rightarrow F(\alpha_i), \ \, X \, {\rm mod} \, (f_i(X)) \mapsto \alpha_i</math> は <math>F_i</math> 上の同型である([[ガロア理論/代数拡大]])。


<math>F_1(\alpha_1) \rightarrow F_1[X]/(f_1(X)) \rightarrow F_2/(f_2(X)) \rightarrow F_2(\alpha_2)</math><br />
<math>\alpha_1 \mapsto X \, {\rm mod} \, (f_1(X)) \mapsto X \, {\rm mod} \, (f_2(X)) \mapsto \alpha_2</math>

という同型写像を <math>\psi</math> とおく。これは、<math>\phi</math> の拡張になっているため、<math>f_i = (X-\alpha_i)g_i(X), \ g_i(X) \in F_i(\alpha_i)[X]</math> とおくと、<math>g_1, g_2</math> は <math>\psi</math> で対応している。したがって、<math>f_i(X)</math> の次数に関する帰納法によって、<math>\psi</math> の拡張になっているような同型写像 <math>K_1 \rightarrow K_2</math> が存在する。

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