ガロア理論/最小分解体

定義

定義 (最小分解体)

$K/F$ を体の拡大とする。$f(X)\in F[X]$ が $K$ で分解するとは、$K[x]$ の一次の多項式と定数の積に表すことができることをいう。

$K$ が$F$ 上の $f(X)$ の最小分解体であるとは、$f(X)$ が $K$ では分解するが $K/F$ の任意の中間体 $M$ について $M$ では分解しないことをいう。

存在性

命題1

体 $F$ と 定数でない多項式 $f(X)\in F[X]$ について、その最小分解体が存在する。

証明

$F$ の 代数閉包 $\mathrm{\Omega }$ を取る。$f(X)$ が分解するような $\mathrm{\Omega }/F$ の中間体全ての共通部分を $K$ とする。この $K$ が最小分解体である。なお、$f(x)=a(X-{\alpha }_1)(X-{\alpha }_2)\cdots (X-{\alpha }_n),a\in F,{\alpha }_i\in \mathrm{\Omega }$ と書いたとき、$K=F({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)$ となる。詳細は読者に委ねる。

上で言及したことを命題として述べておこう。

命題2

$f(X)\in F[X]$ が体 $K$ で分解するとし、$f(x)=a(X-{\alpha }_1)(X-{\alpha }_2)\cdots (X-{\alpha }_n),a\in F,{\alpha }_i\in K$ であるとする。このとき、$F({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)$ は最小分解体である。

一意性

命題3

$g(X),h(X)\in F[X],f(X)=g(X)h(X)$ とし、$g(X)$ の $F$ 上の最小分解体を $K$ とし、$h(X)$ の $K$ 上の最小分解体を $L$ とする。このとき、$L$ は $f(X)$ の $F$ 上の最小分解体である。

証明

命題2より、

$g(X)=a(X-{\alpha }_1)\cdots (X-{\alpha }_m),a\in F,{\alpha }_i\in K,h(X)=b(X-{\beta }_1)\cdots (X-{\beta }_n),b\in F,{\beta }_j\in L$

と表したとき、$K=F({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m),L=K({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n)$ であるから、$L=F({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m,{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n)$ である。したがって、命題2 を再び使えば主張を得られる。

命題4

(i) $\varphi :F_1\to F_2$ を体の同型写像とする。$f_1(X)\in F_1[X],f_2(X)\in F_2[X]$ が $\varphi$ で対応しているとし、$f_i$ の $F_i$ 上の最小分解体を $K_i$ とする $(i=1,2)$。このとき、体の同型写像 $\mathrm{\Phi }:K_1\to K_2$ で $\varphi$ の拡張になっているものが存在する。
(ii)$f(X)\in F[X]$ の $F$ 上の最小分解体は $F$ 上の同型を除き一意に定まる。

証明

(ii) は (i) より直ちに従う。

以下、$i=1,2$ とする。命題3 より、$f_i(X)$ は $F_i[X]$ における既約多項式であるとしても良い。

${\alpha }_i\in K_i$ を $f_i(X)$ の根の一つであるとする。このとき、仮定より ${\alpha }_i$ の最小多項式は $f_i(X)$ であり、$F_i[X]/(f_i(X))\to F({\alpha }_i),X\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(f_i(X))\mapsto {\alpha }_i$ は $F_i$ 上の同型である(ガロア理論/代数拡大)。

$F_1({\alpha }_1)\to F_1[X]/(f_1(X))\to F_2/(f_2(X))\to F_2({\alpha }_2)$
${\alpha }_1\mapsto X\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(f_1(X))\mapsto X\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(f_2(X))\mapsto {\alpha }_2$

という同型写像を $\psi$ とおく。これは、$\varphi$ の拡張になっているため、$f_i=(X-{\alpha }_i)g_i(X),g_i(X)\in F_i({\alpha }_i)[X]$ とおくと、$g_1,g_2$ は $\psi$ で対応している。したがって、$f_i(X)$ の次数に関する帰納法によって、$\psi$ の拡張になっているような同型写像 $K_1\to K_2$ が存在する。