ガロア理論/単拡大のソースを表示

;定義([[w:単拡大|単拡大]])
体の拡大 <math>K/F</math> が単拡大(単純拡大)であるとは、<math>K = F(\alpha)</math> となる <math>\alpha</math> が存在することを言う。

==== 定理 1 ([[w:原始元定理|原始元定理]]) ====
体の有限次拡大 <math>K/F</math> に対して以下は同値。

(i) 中間体が有限個である<br />
(ii) 単拡大である

;証明
(i) ⇒ (ii):<br />
<math>F</math> が有限体の場合は [[ガロア理論/有限体]] を参照のこと。<br />
<math>K = F(\alpha, \beta)</math>, <math>F</math> が無限体、のときを示せば十分。<math>\theta(a) = \alpha + \beta a</math> とおいて、<math>K = F(\theta(x))</math> となる <math>x \in F</math> を探す。<math>\{\theta(a) : a \in F-\{0\}\}</math> は無限集合であるが、<math>\{F(\theta(a)) : a \in F-\{0\}\}</math> は仮定より有限集合。したがって <math>F(\theta(a)) = F(\theta(b))</math> となる相異なる <math>a, b \in F-\{0\}</math> が取れる。<br />
<math>\frac{\theta(a) - \theta(b)}{a - b} = \beta, \frac{\theta(a)b - \theta(b)a}{b - a} = \alpha</math> であるので、<math>F(\theta(a)) = F(\theta(a), \theta(b)) \subseteq F(\alpha, \beta) = K</math> となり <math>K = F(\theta(a)).</math>

(ii) ⇒ (i):<br />
<math>K = F(\alpha)</math> として、<math>f(X) \in F[X]</math> を <math>\alpha</math> の <math>F</math> 上の最小多項式とする。<math>K/F</math> の中間体 <math>M</math> について、<math>g(X) \in M[X]</math> を <math>\alpha</math> の <math>M</math> 上の最小多項式とする。<math>g(X)</math> の係数 <math>a_1, \cdots, a_n</math> について、<math>M = F(a_1, \cdots, a_n)</math> となることを示そう。<br />
<math>M' = F(a_1, \cdots, a_n)</math> として、<math>h(X)</math> を <math>\alpha</math> の <math>M'</math> 上の最小多項式とする。明らかに <math>g(X) \in M'[X]</math> なので、<math>g(X)</math> は <math>h(X)</math> で割り切れる。また、<math>h(X) \in M'[X] \subseteq M[X]</math> より、<math>h(X)</math> は <math>g(X)</math> で割り切れる。つまり、<math>g(X) = h(X)</math> であり、<math>[K:M] = [K:M']</math> なので <math>M = M'.</math><br />
したがって、<math>K/F</math> の中間体は <math>g(X)</math> で決まることがわかったのだが、<math>g(X)</math> は <math>K[X]</math> 内で <math>f(X)</math> を割り切るので、中間体が有限個であることが示された。

==== 命題 2 ====
有限次分離拡大は単拡大である。

;証明
<math>K/F</math> を有限次分離拡大とする。<math>M \neq F, K</math> を中間体として、<math>H = \operatorname{Aut}(K/M)</math> を <math>M</math> 上の <math>K</math> の自己同型のなす群として、<math>N = K^H = \{ x \in K : \forall \sigma \in H (\sigma(x) = x) \}</math> とおく。このとき明らかに <math>M \subseteq N</math> である。

<math>K/M</math> は有限次分離拡大であり、拡大次数についての帰納法によって <math>K = M(\alpha)</math> とすれば、<math>\alpha'</math> を <math>\alpha</math> の共役元として、<math>K = M(\alpha) \rightarrow M(\alpha') = K, \alpha \mapsto \alpha'</math> という自己同型がある([[ガロア理論/分離拡大]]参照)ので、<math>H \neq {1_K}</math> である。したがって、<math>K \neq N</math> である。

さて、<math>H \neq \{1\}</math> は有限群 <math>G = \operatorname{Aut}(K/F)</math> の部分群であり、そのような全ての <math>H</math> に対して <math>K^H</math> を考える。すると、<math>K/F</math> の真の中間体は、ある部分群 <math>H</math> について <math>K^H/F</math> の部分体であり、そのようなものは帰納法の仮定により有限個である。したがって、部分群 <math>H</math> は高々有限個しかないから、<math>K/F</math> の中間体は有限個である。

よって原始元定理によって示された。
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