電気回路理論/イミタンス

交流回路における各[[../回路素子|回路素子]]のインピーダンスを求めてみよう。

各回路素子のインピーダンス

抵抗

抵抗の両端にかかる電圧v(t)とそのとき抵抗を流れる電流i(t)は、常に比例の関係が成り立ち、その比例係数をRとして

$v(t)=Ri(t)$

が成り立つことを[[../回路素子#抵抗器|以前]]に解説した。これより、抵抗のインピーダンスは

$Z=\frac{v(t)}{i(t)}=R$

である。抵抗のインピーダンスは抵抗そのものである。

インダクタ

インダクタンスLのインダクタにかかる電圧v(t)とその時インダクタに流れる電流i(t)には、

$i(t)=\frac{1}{L}\int v(t)dt$

$v(t)=L\frac{di(t)}{dt}$

の関係が成り立つことを[[../回路素子#インダクタ|以前]]に解説した。インダクタに交流電流

$i(t)=\dot{I}{e}^{j\omega t}$

がかかっていれば、この時の電圧v(t)は、

$v(t)=L\frac{d}{dt}(\dot{I}{e}^{j\omega t})=j\omega L\dot{I}{e}^{j\omega t}$

である。したがってインダクタのインピーダンスは

$Z=\frac{v(t)}{i(t)}=j\omega L$

となる。インダクタのインピーダンスは周波数に比例する純虚数となる。

キャパシタ

キャパシタンスCのキャパシタにかかる電圧v(t)とその時キャパシタに流れる電流i(t)には、

$v(t)=\frac{1}{C}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}i(t)dt$

$i(t)=C\frac{dv(t)}{dt}$

の関係が成り立つことを[[../回路素子#キャパシタ|以前]]に解説した。キャパシタに交流電圧

$v(t)=\dot{V}{e}^{j\omega t}$

を与えると、この時の電流i(t)は、

$i(t)=C\frac{d}{dt}(\dot{V}{e}^{j\omega t})=j\omega C\dot{V}{e}^{j\omega t}$

となる。したがってキャパシタのインピーダンスは

$Z=\frac{v(t)}{i(t)}=\frac{1}{j\omega C}$

となる。キャパシタのインピーダンスは周波数に反比例する純虚数となる。

イミタンス

交流回路におけるインピーダンスやアドミタンスといった、直流回路での抵抗やコンダクタンスに相当する量を総称してイミタンス(immittance)と呼ぶ。イミタンスはインピーダンス(impedance)とアドミタンス(admittance)からの造語である。

イミタンスには次の6つの量がある。

• Z: インピーダンス(impedance)
• R: レジスタンス(resistance)
• X: リアクタンス(reactance)
• Y: アドミタンス(admittance)
• G: コンダクタンス(conductance)
• B: サセプタンス(susceptance)

インピーダンスZは直流回路でいう抵抗に相当する量である。いくつかの回路素子が直列に接続されている場合にも、[[../オームの法則#直列合成抵抗|直流回路]]のときとまったく同様にしてそれらの合成インピーダンスを考えることができ、例えば抵抗RとインダクタLを直列に接続した場合の合成インピーダンスZは

$Z=R+j\omega L$

と計算することができる。この様にインピーダンスは通常複素数となり、この実部をレジスタンス、虚部をリアクタンスと呼ぶ。レジスタンスは抵抗、リアクタンスはインダクタやキャパシタのインピーダンスである。

アドミタンスYはインピーダンスZの逆数であり、直流回路でいうコンダクタンスに相当する量である。いくつかの回路素子が並列に接続されている場合にも、[[../オームの法則#並列合成抵抗|直流回路]]のときとまったく同様にしてそれらの合成アドミタンスを考えることができ、例えば抵抗(コンダクタンス)GとキャパシタCを並列に接続した場合の合成アドミタンスYは

$Y=G+j\omega C$

と計算することができる。このようにアドミタンスも複素数であり、この実部をコンダクタンス、虚部をサセプタンスと呼ぶ。コンダクタンスは抵抗の逆数、サセプタンスはインダクタやキャパシタのアドミタンスである。