数理論理学/述語論理

量化記号

量化記号を使うと、命題を簡潔に表すことができる。量化記号の種類とそれぞれの意味は以下の通りである。

論理記号
記号	意味	使用例	意味
$\forall$	「任意の」または「すべての」^[1]	$\forall x \in ℝ, x^{2} - 4 x + 4 > 0$	すべての実数 $x$ に対して $x^{2} - 4 x + 4 > 0$ が成り立つ。ちなみにこの命題は偽である。
$\exists$	存在する	$\exists x \in ℝ, x^{2} - 2 x + 1 = 0$	$x^{2} - 2 x + 1 = 0$ を満たす実数 $x$ が存在する。ちなみにこの命題は真である。
$\exists_{1}$	ただ一つ存在する	$\exists_{1} x \in ℝ, x^{2} - 6 x + 9 = 0$	$x^{2} - 6 x + 9 = 0$ を満たす実数 $x$ がただ一つ存在する。ちなみにこの命題は真である。
$∄$	存在しない	$∄ x \in ℝ, x^{2} + 2 x + 2 = 0$	$x^{2} + 2 x + 2 = 0$ を満たす実数 $x$ は存在しない。ちなみにこの命題は真である。

演習問題

以下の命題の真偽を確かめよ。

(1) $\forall m, n \in ℕ, m^{2} - m n + n^{2} \geq m + n$

(2) $∄ x \in ℚ, x^{3} - 3 x - 1 = 0$

量化記号は組み合わせて使うことができる。

例 $\exists x \in ℝ, \forall y \in ℝ, x y = 0$

この命題は、すべての実数 $y$ について $x y = 0$ となる実数 $x$ が存在する。という意味である。テンプレート:Stub

↑ 「任意の」と「すべての」は本質的には全く同じことである。すべてのものについて成り立つなら、任意のものについても成り立つし、任意のものについて成り立つなら、すべてのものの中から選んだ全部のものについても成り立つ。よってすべてのものについて成り立つ。