制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/複素振幅の方法

もとに戻って，実係数微分方程式，テンプレート:制御と振動の数学/equation を考える． $a_{i} \in 𝐑$ であるが， $f (t)$ は複素数値関数で，テンプレート:制御と振動の数学/equation とする．そうすれば解も当然複素数値関数となるので，テンプレート:制御と振動の数学/equation とおくことにしよう．これらを式 (4.7) に代入して，両辺の実部と虚部を等置すると^[1]，二つの実形式の微分方程式，テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．この性質を利用すると，テンプレート:制御と振動の数学/equation の特解を簡単に見出すことができる．ただし， $A \in 𝐑$ とする．それにはテンプレート:制御と振動の数学/equation に注目して，式 (4.8) の代わりに，テンプレート:制御と振動の数学/equation を解き，解の虚部を取り出せばよいのである．そこで解を，テンプレート:制御と振動の数学/equation と仮定して式 (4.9) に代入すると，テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．これを特性多項式を用いて表すと，テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．いま $p (i ω) \neq 0$ と仮定すると，テンプレート:制御と振動の数学/equation となり，式 (4.9)の解は，テンプレート:制御と振動の数学/equation と求まる．この虚部を取り出すために，テンプレート:制御と振動の数学/equation と複素数の極形式で表すと，テンプレート:制御と振動の数学/equation となり，この式の虚部を取り出し，テンプレート:制御と振動の数学/equation と求まる．これが式 (4.8) の解である．この技法を複素振幅の方法と呼んでいる．

例86

テンプレート:制御と振動の数学/equation の特解を上例にならって求めよ．

解答例

$A e^{a t} \cos (b t + c)$ を実部に持つ複素指数関数は， $A e^{a t} e^{i (b t + c)}$
$(∵ A e^{a t} e^{i (b t + c)} = A e^{a t} {\cos (b t + c) + i \sin (b t + c)})$
$A e^{a t} e^{i (b t + c)} = A e^{a t} e^{i b t} e^{i c} = A e^{i c} e^{(a + i b) t}$
よって、解 $z = B e^{i c} e^{α t}, α = a + i b$ とおく．これを与微分方程式に代入すると，
$B e^{i c} p (α) e^{α t} = A e^{i c} e^{α t}$
$B = \frac{A}{p (α)} ∴ z = \frac{A}{p (α)} e^{i c} e^{α t}$
$p (α) = | p (α) | e^{i θ}$ と極形式におくと，
$z = \frac{A}{| p (α) |} e^{i c + α t - i θ} = \frac{A}{| p (α) |} e^{i c + (a + i b) t - i θ}$
$= \frac{A}{| p (α) |} e^{a t} e^{i (b t + c - θ)}$
この実部をとると， $x = \frac{A}{| p (α) |} e^{a t} \cos (b t + c - θ), α = a + i b$

$♢$

↑ 複素数の相等の定義は， $a + i b = c + i d ⟺ a = c, b = d$ である．

[1] 複素数の相等の定義は， $a + i b = c + i d ⟺ a = c, b = d$ である．

[1]

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