制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解/非同次の場合

まず次の例から始める．テンプレート:制御と振動の数学/equation を Laplace 変換すると，テンプレート:制御と振動の数学/equation ここに， $q (s)$ は高々 3 次式の多項式である．テンプレート:制御と振動の数学/equation であるから，テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．ここに $A, B, C$ は未知の定数である． $A, B, C$ を適当に選ぶことによって，任意の初期条件を満たす解が得られる．よってこれが一般解である．この解をみると，テンプレート:制御と振動の数学/equation という形をとっている．この特解は，その解法からわかるように，初期値がすべて $0$ の解^[1]である．一般に特解というのは，初期値を指定した特定の解という意味で，初期値が $0$ の解という意味ではない．一般には次の定理が成立する．

定理 3.6

非同次線形微分方程式の任意の解は，非同次式の特定の解と同次式の解の和で表される．

証明

$♢$

例82

以下は大学入試問題に出た． $f (t) = 1 + 2 \cos t + 3 \sin t$ のとき，テンプレート:制御と振動の数学/equation となるように $A, B, C$ を定めよ．

$♢$

容易に分かるように，テンプレート:制御と振動の数学/equation は微分方程式，テンプレート:制御と振動の数学/equation の解の基本系である．したがってそれらの 1 次結合 $f (t)$ も $f (t - C)$ も解である．それは重ね合わせの原理と定常性の原理からの帰結である．よってまたテンプレート:制御と振動の数学/equation も解であり，これが基底の一つ $1$ に等しくなるようにせよという問題である．これは三角関数の加法定理を用いてテンプレート:制御と振動の数学/equation と求まるが，実はこれには物理的背景がある．式 (3.30) は単振動の方程式，テンプレート:制御と振動の数学/equation と同じである． $f (t)$ は $c o n s t . = 1$ のときの解である．また $\frac{1}{2} f (t)$ ， $\frac{1}{2} f (t - C)$ は $c o n s t . = 2$ のときの解である．振動の周期は $2 π$ であるから， $C = π$ （半周期）ととると $\sin, \cos$ の項は相殺する． $C$ は $π$ の奇数倍でもよい．

この種の現象は実際目で見ることができる．（図：「有限時間整定応答」）

ファイル:有限時間整定応答.png

有限時間整定応答

最初 $A$ の位置に静止している振子の支点を $t = 0$ で瞬間的に $B$ に移す．すると $B$ を中心として左右に振動し始める． $C$ の直下に錘がきた瞬間（ $t = π$ の奇数倍）に支点を $B$ から $C$ に移すと， $C$ で静止する．厳密には，この振子系は線形の微分方程式では表せないが，それでも実際にやってみると，うまく $C$ で静止するから面白い．このような現象は，線形定常常微分方程式で表される系ではいつでも実現できる．一般的に考えると，微分方程式で表される系では，初期値が与えられると解の一意性から，特定のパターンを持った運動が持続する．そのとき，外からの操作によって，異なった初期値をもつ別のパターンの運動を実現させることができる．ある位置で静止させようと思えば，その位置にきたとき，初期条件が $0$ となるようにうまく操作すればよい．線形定常な系では，そのような操作は常に可能であり，自動制御の分野では，一部実用に供されている．

$♢$

↑ ただしある初期値は $1$ である．

[1] ただしある初期値は $1$ である．

[1]

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