制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/線形定常性

テンプレート:制御と振動の数学/equation は $a_{i}$ が定数であるため，系の特性は時が経過しても不変である．したがってその解も時間軸を移動させても変わらないことが当然予想される．このことを用いて $t_{0} \neq 0$ で初期値が与えられている時の解法を見出すことができる．

定常性の原理 Ⅰ

$φ (t)$ が $p (D) x = 0$ の解ならば， $φ (t + α)$ も同じく解となる．ここに $α$ は定数である．

証明

$♢$

つまり微分演算子が不変，すなわち $D_{t} = D_{t + α}$ であるので，一般に $a_{i}$ が定数であるから $p_{t + α} (D) = p_{t} (D)$ が成立するということである．ここで添え字で微分する変数を示した．

例68

$x (t) = \cos β t$ はテンプレート:制御と振動の数学/equation の $x (0) = 1, x^{'} (0) = 0$ の解である．定常性の原理 Ⅰによって，テンプレート:制御と振動の数学/equation も上の微分方程式の解である^[3]．しかもテンプレート:制御と振動の数学/equation を満足する． $♢$

定常性の原理 Ⅱ

$x (t)$ を $p (D) x = f (t)$ の解とすると， $x (t + α)$ は，テンプレート:制御と振動の数学/equation の解となる^[4]． $♢$

↑ $∴ d τ = d t$
↑ $\frac{d^{2} φ (t + α)}{d t^{2}} = \frac{d}{d t} \frac{d φ (t + α)}{d t} = \frac{d}{d τ} \frac{d φ (τ)}{d τ} (∵ d τ = d t)$
$= \frac{d^{2} φ (t + α)}{d (t + α)^{2}}$
↑ $\cos (t - t_{0}) = \cos t \cos t_{0} + \sin t \sin t_{0}$ …①
すなわち $A \cos t + B \sin t$ の形であり，①は与微分方程式の一般解に含まれる．
また，微分方程式 $(D + α) x = 0$ …② について特殊解 $x = e^{- t}$ が得られたとき，
$e^{- (t + t_{0})} = e^{- t_{0}} e^{- t}$ よりこれも②の一般解 $x = C e^{^{-} t}$ に含まれる．
↑ $p (D) x = f (x)$ で考える $t$ 軸および値域軸からなる平面を $t$ 軸方向に $- α$ 平行移動したものとして捉える．
式 $p (D) x = f (x + α)$ の右辺は平行移動の量 $α$ が変われば解 $x$ も変わる．

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