制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/Laplace 変換の定義とその基本的性質/合成積の Laplace 変換

テンプレート:制御と振動の数学/equation を $f(t)$ と $g(t)$ の合成積といい， テンプレート:制御と振動の数学/equation と略記する． 次の性質は重要である． テンプレート:制御と振動の数学/equation

証明$$

定義により， テンプレート:制御と振動の数学/equation 右辺の積分の範囲は $0<\tau <t<\mathrm{\infty }$ であるから，図に示した三角形領域である．

積分順序を交換すると， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．ここで $e^{-st}=e^{-s(t-\tau )}\cdot e^{-s\tau }$ と変形し，$v:=t-\tau$ によって、積分変数を $t$ から $v$ に変えると， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation

別証$$

上の積分順序の変更は，図のような説明によらなくても，形式的に次のように考えてもよい．$f(t)=0(t<0)$ に注意すると テンプレート:制御と振動の数学/equation と積分の上限を $\mathrm{\infty }$ にとることができる． このようにしておいてから積分順序を交換すると， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．ここで再び $f(t)=0(t<0)$ を想起すると，内側の積分の下限は $\tau$ でよく， テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．

例18$$ 上の（最初の）証明から分かるように，積分順序の交換式は $f(t)=0(t<0)$ は必要でない．別証のアイディアは、この仮定をはずしてもいかすことができる． どう考えたらよいか．

解答例$$

定積分の上限を $T$ とする． $S_1=\underset{0}{\overset{T}{\int }}dt\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}$， $S_2=\underset{0}{\overset{T}{\int }}d\tau \underset{\tau }{\overset{T}{\int }}dtf(t-\tau )g(\tau )e^{-st}$ にて，$S_1=S_2$ であることを示す．

定義域 $(t,\tau )$ の $0<t<\tau <T$ の領域で重積分することを考えれば テンプレート:制御と振動の数学/equation 式(2.4a)の左辺と $S_1$ を加えたものは， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation また，式(2.4a)の右辺と $S_2$ を加えたものは， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation 今，積分順序の交換が可能である仮定のもとで，$\underset{0}{\overset{T}{\int }}dt\underset{0}{\overset{T}{\int }}d\tau f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}=\underset{0}{\overset{T}{\int }}d\tau \underset{0}{\overset{T}{\int }}dtf(t-\tau )g(\tau )e^{-st}$ より， テンプレート:制御と振動の数学/equation よって，式(2.4a)より，$S_1=S_2$，すなわち， テンプレート:制御と振動の数学/equation $T\to \mathrm{\infty }$ で両辺とも極限値を持てば，同じくこの等式は成立する．

$\mathrm{♢}$

例19$$

(i) $f*g=g*f$

(ii) $(kf)*g=k(f*g)$

(iii) $f*(g*h)=(f*g)*h$

(iv) $f*(g+h)=f*g+f*h$

を示せ．

解答例$$

(i)

$f*g=\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(t-\tau )g(\tau )d\tau$

にて，$v=t-\tau$ とおいて積分変数を $\tau$ から $v$ に換えるとき，$dv=-d\tau$，また $\tau$ が $0\to t$ と変化するとき $v$ は $t\to 0$ と変化するから，

$f*g=-\underset{t}{\overset{0}{\int }}f(v)g(t-v)dv=\underset{0}{\overset{t}{\int }}g(t-v)f(v)dv=g*f$．

(ii)

$(kf)*g=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\{kf(t-\tau )\}g(\tau )d\tau$

$=\underset{0}{\overset{t}{\int }}kf(t-\tau )g(\tau )d\tau$

$=k\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(t-\tau )g(\tau )d\tau =k(f*g)$．

(iii) これはとても難しい…いつか分かる日が来るのだろうか？

(iv) テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation

$\mathrm{♢}$