初等数学公式集/初等代数/展開公式

テンプレート:Pathnav ここでは展開公式の解説をします。

基本的な形

$(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$

証明: $A = (a + b)$ と置くと、この式は、 $A (c + d)$ となる。; 分配法則を適用すると、 $A c + A d$ 。; $A$ を戻すと $(a + b) c + (a + b) d$ 。; それぞれに分配法則を適用すると、 $a c + a d + b c + b d$ となり証明された。

演習問題 以下の式を展開せよ。

$(x - 2) (2 x + 5)$
$(2 a - 4 b) (5 c + d)$

解答

$2 x^{2} + x - 10$
$10 a c + 2 a d - 20 b c - 4 b d$

2数の和・差の2乗

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

証明

$(a + b)^{2} = (a + b) (a + b) = a^{2} + a b + b a + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
$(a - b)^{2} = (a - b) (a - b) = a^{2} - a b - b a + b^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

演習問題 以下の式を展開せよ。

$(x + 1)^{2}$
$(2 a + 4 b)^{2}$
$(5 a - 3 b)^{2}$

解答

$x^{2} + 2 x + 1$
$4 a^{2} + 16 a b + 16 b^{2}$
$25 a^{2} - 30 a b + 9 b^{2}$

和と差の積

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

証明

(a + b) (a - b) = a^{2} - a b + b a - b^{2} = a^{2} - b^{2}

演習問題　以下の式を展開せよ。

$(5 x + 1) (5 x - 1)$
$(2 a - 3 b) (2 a + 3 b)$

解答

$25 x^{2} - 1$
$4 a^{2} - 9 b^{2}$

一般的な2次の展開公式

$(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b$
$(a x + b) (c x + d) = a c x^{2} + (a d + b c) x + b d$

証明: $(x + a) (x + b) = x^{2} + b x + a x + a b = x^{2} + (a + b) x + a b$; $(a x + b) (c x + d) = a c x^{2} + a d x + b c x + b d = a c x^{2} + (a d + b c) x + b d$

演習問題　以下の式を展開せよ。

$(x + 1) (x + 3)$
$(2 x - 3) (5 x + 5)$
$(7 a b + 9) (- 2 a b + 10)$

解答

$x^{2} + 4 x + 3$
$10 x^{2} - 5 x - 15$
$- 14 a^{2} b^{2} + 52 a b + 90$

2数の和・差の3乗

$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
$(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

証明

$(a + b)^{3} = (a + b)^{2} (a + b) = (a^{2} + 2 a b + b^{2}) (a + b) = a (a^{2} + 2 a b + b^{2}) + b (a^{2} + 2 a b + b^{2}) = a^{3} + 2 a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b + 2 a b^{2} + b^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ の $b$ に $- b$ を代入すると、 $(a - b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} (- b) + 3 a (- b)^{2} + (- b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

演習問題　以下の式を展開せよ。

$(2 a + b)^{3}$
$(4 x^{2} - 7)^{3}$

解答

$8 a^{3} + 12 a^{2} b + 6 a b^{2} + b^{3}$
$64 x^{6} - 336 x^{4} + 588 x^{2} - 343$

2数の3乗の和・差

$(a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$
$(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$

3数の和のn乗

$(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a$
$(a + b + c)^{3} = a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 3 b^{2} c + 3 b c^{2} + 3 c^{2} a + 3 a^{2} c + 6 a b c$
$(a + b + c)^{4} = a^{4} + b^{4} + c^{4} + 4 a^{3} b + 4 a b^{3} + 4 b^{3} c + 4 c a^{3} + 4 b c^{3} + 4 c^{3} a + 6 a^{2} b^{2} + 6 b^{2} c^{2} + 6 c^{2} a^{2} + 12 a^{2} b c + 12 a b^{2} c + 12 a b c^{2}$

その他の展開公式

$(a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a) = a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$
$(x + a) (x + b) (x + c) = x^{3} + (a + b + c) x^{2} + (a b + b c + c a) x + a b c$
$(a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^{2} + \dots + b^{n - 1}) = a^{n} - b^{n}$

初等数学公式集/初等代数/展開公式

目次

基本的な形

2数の和・差の2乗

和と差の積

一般的な2次の展開公式

2数の和・差の3乗

2数の3乗の和・差

3数の和のn乗

その他の展開公式

ナビゲーションメニュー

初等数学公式集/初等代数/展開公式

基本的な形

2数の和・差の2乗

和と差の積

一般的な2次の展開公式

2数の和・差の3乗

2数の3乗の和・差

3数の和のn乗

その他の展開公式

ナビゲーション メニュー

検索

ナビゲーションメニュー