中学数学1年 文字と式

文字を使った式

文字を使った式

数学では、小学校までの算数と違って、数字の代わりとして、文字を置くことがある。 まず、小学校のように文字を使わない場合を述べる。 　 例えば、「太郎君は2個、花子さんは3個テンプレート:Rubyを持っていて、二人の飴の数とを合わせると5個になる」という内容を式を使って表現すると、

$2+3=5$

のように、それぞれが持っている飴の数も、合計した飴の数も、全ての数の値が判っていれば、数は数字で表して、文字を使う場面はない。 通常は、数の持つ値が判っていて、その値が変わることなく、とくに数字で表して面倒がなければ、数は文字を使うことなく数字で表すのがよい。

しかし、

「太郎君も花子さんも、それぞれ何個かずつテンプレート:Rubyを持っていて、二人の飴の数を合わせると5個になる」 というような場合を考えると、数字では表すことのできない数が出てくる。このような時、小学校では式で表すことができなかった。

では、中学校の方法を説明する。

太郎君の持っていた飴の個数も、花子さんの持っていた飴もの個数もわからないけれども、ひとまず文字であらわすことで、合わせて5個になることを表すことができるようになる。 太郎君の持っていた飴の個数を テンプレート:Ruby 個、花子さんの持っていた飴の個数を テンプレート:Ruby 個と表すことで、次のように式が書ける。

$x+y=5$

上のようにすれば、それぞれの持っている飴の数がわかっていなくても、合計は5個だということを、式を使って表すことができる。具体的な数字で書くことができない値を文字で表すことで、そのような値を持つ数を含む内容を、等式などを使った式で表すことを、式を立てるという。
また、この式中にある $x$ や $y$ のように、数の値を数字ではなく、文字で表したものを[[文字数|テンプレート:Ruby]]という。

中学レベルの数学では、数の持つ値がわからないときに使う文字数[[未知数|テンプレート:Ruby]]、 数の持つ値が状況によって変わるときに使う文字数[[変数|テンプレート:Ruby]]、 数の値は判っていても、数字で表そうとするとたいへん面倒臭いときに使う文字数[[文字定数|テンプレート:Ruby]]があり、同じ文字数でも書き方や使い方がそれぞれ異なるので、注意が必要だ。未知数と変数をひっくるめて[[元|テンプレート:Ruby]]と呼ぶので、併せて覚えておこう。

また、数の値を表すのに使うアルファベットの文字は、主に斜めに傾いで書いた小文字の1文字を使うが、その文字の形は英語の授業でならうアルファベットとは同じ書き方ではない場合があるので気をつけたい。

なぜ文字で置くのか

数を表すのに、数字で表記するのではなく、文字を使う場面には、いくつかの理由が考えられる。文字を使って表した数のことを[[文字数|テンプレート:Ruby]]と呼び、文字数を含む式を[[文字式|テンプレート:Ruby]]という。 中学数学では、文字数を使う場合が３つ、考えられる。 第一に、具体的な数の値がわかっていない場合がある。このような数をを[[w:未知数|テンプレート:Ruby]](英語：unknown アンノウン)という。 また一つの意味を持つ数が、いろいろな値を取ることができる。このような数を[[w:変数|テンプレート:Ruby]](英語：variable バリアブル)という。変数については[[中学校数学 1年生-数量/比例と反比例|テンプレート:Ruby]]のところでテンプレート:Rubyしく解説する。 未知数や変数を表す文字を、[[元|テンプレート:Ruby]]と呼ぶ。２種類の元を含む文字式は、２元式と呼ばれる。 さらにもうひとつ、値がわかっていて、決まった数ではあるが、数字ではうまく表せないときに文字を使って表すことがある。このような数を[[w:文字定数|テンプレート:Ruby]]という。代表的なものは、円周率を$\pi$であらわすことであるが(詳しくは後の節で説明する)、高校の物理や化学では、多くの「決まった数(定数)」を文字で表すことがある。

文字を使って表す数の種類

変数 未知数 文字定数 いずれも、「数字では表せない、表しにくい」という点で共通している。

文字の式の決まり

文字の式を書くときには決まりがある。

積のあらわし方の約束 1

文字数はならべて書く。 誤: $a\times b\to$ 正: $ab$ 定数と元の積では、定数を先に書く。 誤: $a\times 2\to$ 正: $2a$ どうしても原則に外れるときは、$\cdot$ で表す。 例: $0\cdot a=a\cdot 0=0,1\cdot a=a\cdot 1=a$

特別な事情がないかぎり、中学以降の数学では、これらの決まりに従う。

練習

間違った書き方の式を、文字の積の書き方の決まりにしたがって正しく書き直しましょう。

問題：$7\times a$

（答え）$7a$

 

問題：$2\times b$

（答え）$2b$

 

問題：$a\times -3$

（答え）$-3a$

 

問題：$y\times 0.3$

（答え）$0.3y$

 

問題：$(a+b)\times 2$

（答え）$2(a+b)$

 

問題：$2\times a+b\times 3$

（答え）$2a+3b$

積のあらわし方の約束 2

同じ文字の積は、[[wikt:指数|テンプレート:Ruby]](英語：exponent イクスポーネント）を使う。 例: $a\cdot a\cdot a=a^3$ 1と文字との積は1を省く。また、-1と整数との積は1を省いて「-」のみ書く。 例: $a\times 1\to a,(-1)\times b\to -b$

練習

問題：$a\times a$

（答え）$a^2$

 

問題：$a\times b\times a$

（答え）$a^{2}b$

 

問題： $1\times c$

（答え）$c$

 

問題：$2\times c\times (-1)$

（答え）$-2c$

 

問題： $b\times 1\times b$

（答え）$b^2$

 

問題： $3+a\times a\times 8$

（答え）$3+8a^2$ または $8a^2+3$

 

問題： $7+a\times a\times (-3)$

（答え）$7-3a^2$ または $-3a^2+7$

商のあらわし方の約束

文字式の除法では、原則として分数を使う。ただし、帯分数は原則として用いない。除法に「÷」は原則として用いない。 例: $a÷b\to \frac{a}{b}$

練習

つぎの ÷ を使った式を、分数の形に直しなさい。

 

問題：$a÷6$

（答え）$\frac{a}{6}$ または $\frac{1}{6}a$

 

問題：$(a-2)÷5$

（答え）$\frac{a-2}{5}$

また、決まりというほどではないが、2つ以上の積の場合、次のような習慣がある。

2つ以上の文字の積について

1つの項の中で未知数が2個以上ある場合には、文字はアルファベット順に書くのが、普通である。 例: $c\times a\times b\to abc$ 規則性がある場合は例外。例: $ab+bc+ca$（$ab+bc+ac$とはしない）

次のような決まりもある。

数をあらわす文字には、$◻$ や $\mathrm{△}$ などの図形は、中学入学以降は原則として使わない。

これらの記号は中学入学以降では $◻$ は正方形をあらわすときに使い、$\mathrm{△}$ は三角形の図形をあらわすときに用いるからである。中学以降で数をあらわす文字には $a,b,c$ や $A,B,C$ などのアルファベットを原則的に用いる。

練習

（※ 問題作成中）

まとめ

1. 元の積は、ならべて書く。 例: $a\times b\to ab$
2. 定数と元の積では、定数を先に書く。 例: $a\times 2\times b\to 2ab$
3. 同じ元を2回以上かける時は、指数（しすう、exponent イクスポーネント）を使う。 例: $a\times a\times a\to a^3$
4. かけ算の1は省略する。 例: $a\times 1\to a$, $(-1)\times b\to -b$
5. 除法では、原則として分数を使う。ただし、帯分数は原則として用いない。除法に「÷」は原則として用いない。 例: $a÷b\to \frac{a}{b}$
6. 1つの項の中で元が2個以上ある場合、特に意味がなければ普通、アルファベット順に書く。 例: $c\times a\times b\to abc$
7. 数をあらわす文字には、$◻$ や $\mathrm{△}$ などの図形は原則として使わない。これらの記号は中学数学では $◻$ は正方形、$\mathrm{△}$ は三角形の図形をあらわすときに用いるからである。中学以降で数をあらわす文字には a,b,c や A,B,C などのアルファベットを用いる。

文字をふくむ式の加法・乗法などの計算法則

この単元で使う用語や公式などを紹介する。

加法の交換法則（こうかんほうそく）

加法の計算では、項の順を入れ替えても値が変わらないという法則を、加法（かほう）の交換法則（こうかんほうそく、英：Commutative property コミュータティヴ・プロパティ）という。

例： $a+b=b+a$

これらの式のaやbに入る数は、正の数でも、負の数でも、加法の交換法則は成り立つ。簡単な数を代入してみて、確かめてみてください。

加法の結合法則（けつごうほうそく）

加法の計算では、項同士をどのように（）でくくっても値が変わらないという法則を、加法の結合法則（けつごうほうそく、英：associative law アソシエイティブ・ロー）という。

例： $(a+b)+c=a+(b+c)$

これらの式のaやbやcに入る数は、正の数でも、負の数でも、加法の結合法則は成り立つ。簡単な数を代入してみて、確かめてみてください。

乗法の交換法則

乗法（かけ算）の式で、項の順を入れ替えても値が変わらないという法則を、乗法の交換法則という。

$ab=ba$

これらの式のaやbに入る数は、正の数でも、負の数でも、乗法の交換法則は成り立つ。簡単な数を代入してみて、確かめてみてください。

乗法の結合法則

乗法の式で、項同士をどのように（）でくくっても値が変わらないという法則を、乗法の結合法則という。

$(ab)c=a(bc)$

これらの式のaやbやcに入る数は、正の数でも、負の数でも、乗法の結合法則は成り立つ。簡単な数を代入してみて、確かめてみてください。

※ 要するに、加法でも乗法でも、交換法則も結合法則も成り立つ。

分配法則（ぶんぱいほうそく）

次のように、aに b+c を掛けても、aをb、cにそれぞれ分配するように掛けてから2つを足しても値が変わらないという法則を、分配法則 （ぶんぱいほうそく、英：distributive property ディストゥリビュティヴ・プロパティ）という。

$a(b+c)=ab+ac$

$(a+b)c=ac+bc$

例： $5\times (9+4)=5\times 9+5\times 4$ （どちらも65）

文字の中身が正の数の場合なら、加法でも乗法でも交換法則・結合法則・分配法則がすべて成り立つことは、小学校で習っている。

理解がむずかしいのは、文字の中身がマイナスであっても、はたして本当に交換法則・結合法則・分配法則が成り立つと決めても問題が起きないのだろうか、という事である。

では、これから、文字の中身がマイナスであっても交換法則・結合法則・分配法則が成り立つと決めても、まったく問題の起きないことを、確かめよう。

そのために、まず、いくつか前の単元で教えた、マイナス掛けるマイナスはプラスであることの説明のための長方形の図を使うと、簡単に分かる。

前の単元でつかった図は再掲しておく。

(-1)×(-1)=(+1)の幾何学的な説明図。

参考にせよ。

$(A-C)(B-D)$

とあるが、あらたに文字 E と 文字F を用意して、

$E=-C$
$F=-D$

とすれば、

例の長方形の面積は

$(A+E)(B+F)$

と書ける。

このことから、まず、文字の中身がマイナスの場合であっても、この場合すらも、長方形の面積計算に対応させることができることがわかった。

ここまでくれば、あとはもう、長方形の面積計算の基本的な性質として、交換法則や結合法則や分配法則が成り立つことが、簡単に感じられるだろう。

テンプレート:- 例として、乗法の交換法則が成り立つことを確かめてみよう。

まず、長方形は、90度回転させてタテとヨコを入れ替えても、面積は同じである。なので交換法則は成り立つ。マイナスの数の掛け算も四角形で表せることが、さっきの図形の議論で分かってるので、よってマイナスの数でも交換法則は成り立つ。

同様に、乗法の分配法則や結合法則についても、例の図形の議論により文字の中身がマイナスの数の場合でも長方形の面積であらわせる事が分かっているので、よって、文字の中身がマイナスであっても分配法則や結合法則も成り立つ。

文字の累乗と逆数

累乗

※ 文字をふくまない数の累乗と逆数については、単元『中学校数学 1年生-数量/正の数・負の数』で説明した。本ページでは、文字の累乗と逆数を説明する。

$a$ を $b$回 掛けた積を $a^b$ と表し、「$a$の$b$テンプレート:Ruby」と読む。

なお、このときの $b$ にあたる数のことをテンプレート:Ruby（英：exponent イクスポウネント）という。

2乗のことをテンプレート:Ruby（英：square スクウェア）とも言い、3乗のことをテンプレート:Ruby（英:cube キューブ）ともいう。

逆数（ぎゃくすう）

$a\times b=1$ となるときの $a$ に対する $b$ のことをテンプレート:Rubyという。かけて1になるということは、分母と分子がひっくり返れば約分されて1になるので、ある数の逆数を作るためには、分母と分子をひっくり返せばよい。

例えば

$\frac{d}{c}$ の逆数は $\frac{c}{d}$

である。

$c$ の逆数は $\frac{1}{c}$

である。

例: 負の数の逆数 $-\frac{a}{2}$ の逆数は$-\frac{2}{a}$ である。

代入と式の値

例題

1個40円のみかんをx 個と50円のりんごを1個買ったとき、この代金を文字式で表すと 40x + 50 (円) となる。では、みかんを5個買ったときの代金はいくらになるだろうか?

この問題を解くためには、未知数であるx の代わりに5を入れて計算すればよい。

40x+50 = 40×5+50 = 200+50 = 250 答.250円

この問題で行ったように、式の中の文字を数でおきかえることを、文字にその数を代入（だいにゅう、英：substitution サブスティテューション）するという。また、文字式に具体的な数を代入して計算した結果を、そのときの式の値（値は「あたい」と読む。）という。

上の問題を今説明した言葉で言うと、x = 5 のとき、40x+50 の値は 250 であると言える。

活用

たとえば、次のような理科の計算をするとき、代入が活用できる。

問題 (1)

空気中を伝わる音の速さは、そのときの気温 t ℃ によって変わり、秒速 (331.5 ＋ 0.6t) m の式であらわされることが分かっています（末尾の m は長さの単位のメートル記号）。
気温が 30 ℃のときの音の速さを求めなさい。

（解法と答え）

与えられた公式に実際に代入をする。

331.5 ＋ 0.6 × 30 ＝ 331.5 ＋ 18 ＝ 349.5

よって30℃のときの音の速さは秒速 349.5 m である。

問題 (2)

気温10度のときに、テンプレート:Rubyが光ってから2秒後に雷の音が聞こえました。音の速さは秒速 (331.5 ＋ 0.6t) m の式であらわされます。雷の光は瞬時に伝わるとします。雷の発生地点の真下の地面から、観測者がいる場所までの距離は何メートルでしょうか？

（解法と答え）

まず、気温10℃のときの音の速さを求める。

331.5 ＋ 0.6 × 10 ＝ 331.5 ＋ 6 ＝ 337.5

より、10℃での音の速さは秒速 337.5 m となる。

雷が光ってから2秒後に雷の音が聞こえたので、このあいだに音がつたわった距離は、

337.5×2 ＝ 660＋15 ＝ 675

よって答えは 675mの距離である。

※ 東京書籍や大日本図書や学校図書や教育出版の検定教科書に、音の速さの計算の出題がある。なお、教科書会社によっては雷ではなく花火の場合もある。

問題（3）

気温が－10℃のときの音の速さを求めてください。音の速さの公式は秒速 (331.5 ＋ 0.6t) m です。（tは気温）

（解法と答え）

公式にt ＝ 6 を代入すると

331.5 － 6 ＝ 325.5

なので 、よって答えは秒速 325.5 m である。

高さと気温の問題

気温は、高さ10km までは、その地点の上空にむかって 高さが 1km 高くなるごとに気温が 6 ℃ 低くなることが、すでに実験的に分かっています。つまり高さ0mの場所の気温がa℃の場合、b km 高くなるにつれて
      （ a － 6b ）℃
の公式で、上空の気温があらわされることが分かっています。（末尾の「℃」は温度の単位の記号。）

この式をもとにして、次の条件のときの気温をもとめてください。

（問題 ） 地上の気温が 30 ℃ のとき、4km 上空の気温をもとめてください。

（解法と答え）

公式に a ＝ 30 と b ＝ 4 を代入すると、

（ 30 － 6×4 ）＝ 30 － 24 ＝ 6

よって上空4kmでの気温は 6℃ である。

※ 日本文教出版、大日本図書の教科書に、似たような出題がある。

式の項

文字を含む項

「項」（こう）については、正の数・負の数で、一度、説明した。例えば、2+5－9+4の式の項といえば、2、5、－9、4の4つのことである。この章では文字を含む項について考える。例えば、

7+5x －y

という式の場合、和の形で表すと 7 + 5x + (－y ) となる。したがって、この式の項は7、5x、－y の3つである。このように文字を含んだ式も含まない式も、項についての考え方は同じである。

項の種類と係数

7+5x －y

について、文字xについている ＋5 と文字についている －1 のことを、それぞれ係数（けいすう）という。7は係数ではない。

つまり、文字をふくむ項についている数字と符号との積が係数である。

定数項と係数

では、次の式を考えてみよう。

3y ＋ 5x － 2

この式の中で、文字を含む項は 3y、5x、文字を含まない項は －2 である。

文字を含む多項式の中で、文字を含まない項を定数項（ていすうこう）という。ここでは －2 が定数項である。

また、3y という項について、具体的な数字である 3 を yの係数（けいすう、英：coefficient コエフィシェント） という。 yは3倍,xは5倍,さらに定数項は+1を-2倍していると考えて、式の係数は3,5,-2である。

同類項

文字の部分が同じ項のことを同類項（どうるいこう、英：like terms）という。次の式について考えてみよう。

4x+8x+2y－3y²

この式で 4x と 8x は、係数をのぞくと同じxとなりますから同類項だといえる。しかし、2y と 3y² は同類項ではない。文字の部分がそれぞれ y と y² となっていて指数が違うので、これらは文字の部分が同じとはいえない。したがって、同類項ではないということになる。

もし文字式のなかに同類項の加減算があれば、

4x+8x+2y－3y² ＝ 12x+2y － 3y²

のように、同類項どうしで計算できて、式を短くできる場合が多い。

また、上記の計算例から分かるように、同類項の加減算の計算では、係数だけを加減算すればいい。

たとえば、右側の式 12x の係数 12 は、左側の式の項 4x と 項 8x という同類項どうしの係数4と8を足し合わせたもの（4＋8）と同じ値になっている。

文字の式の利用

等式

次のようなときを考えてみよう。

「ガム1枚で5円します。そのとき、ガムをa枚買うとb円になります。」

この場合、

5a=b 

という式が立てられる。このように等号（＝）で2つの式が等しいことを表している物を等式（とうしき）という。また、等号の右側を 右辺 （うへん、英：right-hand side）といい、等号の左側を 左辺（さへん、英：left-hand side） という。つまり、5a=bは等式で、左辺は5a、右辺はbである。

右辺と左辺の両方を指して 両辺(りょうへん)といい、左辺と右辺それぞれのことを等式の辺々(へんぺん)という。

不等式

次のようなときを考えてみよう。

「1冊a円のノートを2冊と、1本b円の鉛筆を3本買うと、代金の合計は500円より多い。」

この場合、$2a+3b>500$という式が立てられる。このように2つの数量の間の関係を不等号 ≦、≧、＞、＜ を使って表した式を 不等式 （ふとうしき、英:inequality イニクウォリティ）という。また、不等式の右側を 右辺 と言い、不等式の左側を 左辺 という。つまり、$2a+3b>500$は不等式で、左辺は、$2a+3b$、右辺は500である。

右辺と左辺をあわせて 両辺 という。

「xは50より大きい または xは50と等しい」を $x\geqq 50$ と表す。

「xは50より小さい または xは50と等しい」を $x\leqq 50$ と表す。

$\geqq$ も $\leqq$ も不等号である。

一次式と二次式

3x－4y＋5

のように、文字の指数が 1 までである式を一次式（いちじしき）という。（指数の 1 は記載を省略するので、上記の式中には書かれてない。）

いっぽう、

3x²－4y²＋5

のように文字の指数に2を含み、最大の指数が 2 までである式を二次式という。

なお、

x＋6xy－2y＋5

のような文字 xy をふくむ式については、説明を省略する（※ 検定教科書でも省略している）。中学1年生は考えなくて良い。

実用の問題

お金の計算

問題

a円の 8% を文字式であらわしてみましょう。（2018年度の消費税）

解法 1% とは $\frac{1}{100}$ である。なので 8% は $\frac{8}{100}$ になる。

（答え） $\frac{8a}{100}$ 円 または 0.08a 円

約分をして $\frac{4a}{50}$ や $\frac{2a}{25}$ と書いても数学的には間違いではない。しかし、百分率の計算などの実務の問題の場合、あとの計算のことまで考えて、約分しないで分母を100のままにしておく場合もある。

問題

税抜きの値段が a円 の品物は、消費税こみ（消費税は8%とする）で、合計いくらになるか、文字式であらわしなさい。

解法 a ＋ 0.08a

（答え）$\frac{108a}{100}$ 円 または 1.08a 円

問題

花子さんの地元のスーパーでは、お弁当の値段が、午後5時から午後6時までは定価から3割引きになります。 値引き前のお弁当の値段を、消費税込みで a円とした場合、午後5時から午後6時までの、お弁当を買うさいに払う値段を、文字式であらわしなさい。（※ すでに税込みの値段にしてあるので、消費税については考えなくてよいとする。）

解法 a － 0.3a ＝ 0.7a

（答え）$\frac{7a}{10}$ 円 または 0.7a 円

※ まちがえて 0.3a 円 を答えとするような計算ミスが時々あるので、気をつけよう。

図形の数量

問題

一辺の長さを a cm（センチメートル）とする正方形の面積はいくらかを、文字式であらわしてください。

（答え） a² cm²

また、この正方形の周の長さを文字式で あらわしてください。

問題

長方形があります。縦の長さを a cm 、横の長さをb cm とします。面積を文字式であらわしてください。また、周の長さを文字式であらわしてください。

（答え）面積: ab cm² 周の長さ: (2a+2b) cm

テンプレート:-

問題

三角形があります。底辺が a cm , 高さが h cm だとします。この三角形の面積はいくらかを、文字式であらわしてください。

解法 三角形の面積は （底辺）×（高さ）÷2 である。これを文字式であらわせばいい。

（答え）$\frac{ah}{2}$ cm²

※ なお h とは、高さを意味する英語 height （ハイト）のテンプレート:Ruby文字。 なので、高さをあらわす文字として、数学や理科では、よく h が使われる。

そのほか

問題

自動車が時速80km でa時間つづけて走っていたとします（※ 現実世界の自動車道路は途中でインターチェンジなどがあって停車するかもしれないが、しかし、そういうことは、この問題では考えない）。 この自動車がa時間によって走った 道のりは、いくらかを、文字式であらわしてください。

（答え） 80a km

テンプレート:コラム

問題

タカシくんは a km の道のりを 2時間で歩き終えました。タカシくんの歩行の時速を文字式であらわしてください。

（答え）時速 $\frac{a}{2}$(km)

円の数量

小学校では、「円周率は3.14」としましたが、実際には円周率は3.141592653589793…と無限に続き、数では表せません。そこで、円周率を文字で表すときには $\pi$ （パイ）という記号を使います。この記号は、ギリシャ文字の小文字のひとつです。（※ 普段使わないギリシャ文字を使うのは、中学では円周率を表す専用の文字とするためです。断りなく使うことができます。）

円周の長さは、直径かける円周率

円の面積は、半径の平方かける円周率

これを、円の半径を r (cm)として、円周の長さC (cm)と円の面積S (cm²) をそれぞれ文字式になおしてみましょう。（円の半径を表す文字には、よく r をつかう。）

円周の長さ

C ＝ 2r·$\pi$

＝ 2$\pi$ r

円の面積

S ＝ r²·$\pi$

＝ $\pi$ r ²

文字式に、円周率を表す$\pi$のように、ある決まった数をあらわす文字が含まれる場合、書く順序は、
    定数を表す数字 → 文字定数 → 元
の順に書きます。 誤：a×$\pi$×4 → 正: 4$\pi$a

※ なお半径を意味する文字 r は、半径を意味する英語 radius （レイディアス）が由来。