電磁気学/静電場

電荷

さまざまな電気現象を引き起こすものを電荷という。電荷は正と負の2種類がある。あらゆる物質を構成する原子は、さらに陽子と電子を構成要素としてもつが、陽子は正の電荷を、電子は負の電荷を持つ。多くの場合、原子中には正の電荷と負の電荷が同量ずつ含まれ、巨視的には電荷を持たないと見ることができる。この状態を電気的に中性であるという。

電子や陽子などの粒子が持つ電荷が電荷の最小単位であると考えられるから、陽子の電荷 $e$ を

$e=1.602176634\times 10^{-19}\mathrm{C}$

と定義することによって、電荷の単位を定める。換言すれば、1クーロンは陽子の持つ電荷の $\frac{1}{1.602176634\times 10^{-19}}$ 倍として定義すると言うことも出来る。

電荷の間に働く力

電磁気学の現象のうちで最も簡単なものは、時間的な変動の無い2つの点電荷によるものである。点電荷は、空間的な広がりを持たない電荷である。実験的に電荷$q_1$から距離r離れたところに、電荷$q_2$を置いたとき、その間には2点電荷を結ぶ直線方向に力fが働く。この力は2つの電荷が互いに同符号であれば斥力となり、互いに異符号であれば引力となる。また力の大きさは2つの電荷の大きさの積に比例し、距離の二乗に反比例する。すなわちこの力fは、Kを比例定数として、

$f=k\frac{q_1{q}_2}{r^2}$

と表すことができ、f>0であれば斥力、f<0であれば引力とみなす。このような力は電磁気力あるいはクーロン力と呼ばれる、力の一種である。さらに、点電荷が3つ以上存在する場合、ある点電荷に働く力は、自分以外の点電荷それぞれから受ける力の合力となる。以上をクーロンの法則(Coulomb's law)という。

通常、電磁気学ではこの比例定数 $k$ を扱うよりも、

$k=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}$

で定義される定数 ${\epsilon }_0$ を扱ったほうが数学的にきれいになるため、

$f=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{r^2}$

と表現する。${\epsilon }_0$ を電気定数（真空の誘電率）と呼ぶ。誘電率については後の章で詳しく述べることにする。

比例定数 $k$ の値は実験的に

$k=8.987552\times 10^9{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{C}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{N}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$

と求められている。電気定数の値は

${\epsilon }_0=8.8541878188(14)\times 10^{-12}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{\mathrm{-}\mathrm{2}}{\mathrm{C}}^{\mathrm{-}\mathrm{2}}$

である。この式では、電荷の間の距離をrとすると、電荷間に$\frac{1}{r^2}$に比例する電磁気力が働くことが示されている。このような力を逆2乗力と呼ぶことがある。電磁気力は逆2乗力であるが、他にも万有引力は逆2乗力であることが知られている。

静電場

電界

このように静的な電荷に互いに働き合う力は、 逆2乗則によって完全に記述される。しかし、電荷の数が増えて来たときに、 このような記述法は計算が大変になることがある。 そのため、これとは異なった電荷の間の力を導入するのが便利になる。

ここで、そのような記述法を与える。 ある点に電荷qが合ったとする。このとき、その点の回りには

$\overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q}{r^2}{\overrightarrow{e}}_r$

の場が生じていると見ることが出来る。 ただし、ここでは

$r$

は、その電荷からの距離を表わしており、

${\overrightarrow{e}}_r$

は、その電荷を原点としたとき、有る点Aに対して ベクトル

$\overrightarrow{OA}$

をとり、その方向の単位ベクトルをとるようにして得られるベクトルである。 つまり、電荷を中心として放射状に広がるベクトルの集合である。

• 電界ベクトルの図

ここでいう場とは、2つの電荷が与えられたとき、 その間に何も媒介するものがなく力が働くということが直観に反していることから 導入された量である。つまり、何もないところを通じて力が生じているのでは なく、ある2つの電荷の間に何ものかが現われて、電磁気力を媒介している ということを予想して導入された量が場の考え方である。

現代的には、実際にそのような場が存在していることが知られている。 このような場を歴史的事情により光子場と呼ぶことがある。 つまり、ある2つの電荷が存在したとき、その間に光子と呼ばれる 粒子が受け渡され、それによってこのような相互作用が生まれていると 見ることができる。

いずれにせよ、ある点電荷の回りに何らかの場が放射状にとびでており、 それにあたった電荷が力を受けるという描像は非常に直観的であり、 このような量はよく用いられる。

電位

上で導入した電界という量は直観的な量だが、実際の計算においては もう少し簡単な量を導入することが出来る。

古典力学に置いては、ある保存力に対してその保存力に対する 位置エネルギー

$U(\overrightarrow{r})$

を、

$U(\overrightarrow{r})=-\underset{{\overrightarrow{r}}_0}{\overset{\overrightarrow{r}}{\int }}\overrightarrow{f}\cdot d\overrightarrow{r}$

によって定めることが出来た。ここで、

$\overrightarrow{f}$

が上で述べた保存力を表わすベクトルである。

この量の類似に頼って、電磁気の逆2乗力に対しても位置エネルギーを 導入することが出来る。ただし、この量は力よりも電界に沿って 定義されるため、電位と呼ばれる。電位は通常Vで書かれ、

$V(\overrightarrow{r})=-\underset{{\overrightarrow{r}}_0}{\overset{\overrightarrow{r}}{\int }}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{r}$

で定義される。

古典力学の場合と同様に、この式での

${\overrightarrow{r}}_0$

は、任意に選ぶことが出来るパラメーターであり、計算し易いように 取ることが出来る。

この量は、ある電荷eを持った物体に対して、電界が

$\overrightarrow{f}=e\overrightarrow{E}$

を満たすことを考慮すると、

$U=eV$

を満たすことが分かる。このことから、電位とは単位電荷をもった物体に取っての 電界の位置エネルギーと考えることが出来る。

特に、ある点電荷qの回りの電界に対する電位を考えてみる。 このとき、慣習的に

${\overrightarrow{r}}_0=\overrightarrow{r}{|}_{|\overrightarrow{r}|=\mathrm{\infty }}$

ととると、この場合の電位は、

$V(\overrightarrow{r})=-\underset{{\overrightarrow{r}}_0}{\overset{\overrightarrow{r}}{\int }}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{r}$

$=-\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}q[-\frac{1}{r}{]}_{\mathrm{\infty }}^r$

$=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}q\frac{1}{r}$

となり、

$\frac{1}{r}$

に比例した電位が得られる。

電位を計算した後、その量の勾配を取ることで電界が計算されることが、 古典力学の類似からわかる。 簡単のため

$\frac{q}{4\pi {ϵ}_0}$

を省くと、この例では、

$-\text{grad}V(\overrightarrow{r})=-\text{grad}\frac{1}{r}$

$=\frac{1}{r^2}\text{grad}r$

$=\frac{1}{r^2}\frac{\overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}|}$

$=\frac{1}{r^2}{\overrightarrow{e}}_r$

となり、確かに元の表式が取り戻された。

ポテンシャル

静電場 $𝑬$ について、$𝑬=-\mathrm{\nabla }\phi$ を満たすスカラー場 $\phi$ を導入することができる。実際、

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝑬=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

に、スカラー場 $\phi$ の定義式を代入すると、

$\mathrm{△}\phi =-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

を得る。この方程式はポアソン方程式と呼ばれる。ポアソン方程式は線型だから、全空間を無限小の体積 $dV$ を持つ空間に分割し、点 ${𝒙}^{\prime }$ の位置にのみ電荷 $\rho ({𝒙}^{\prime })$ が存在して、その他の電荷が存在しない場合に作るポテンシャル $\phi$ の足し合わせが特殊解となる。

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝑬=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

を ${𝒙}^{\prime }$ を中心する球座標を採用し、原点を中心とする半径 $r$ の球で積分して、ガウスの定理を使うと、

$\underset{V}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot 𝑬(𝒙)d^3𝒙={\oint }_S𝑬(𝒙)\cdot d𝑺=\frac{1}{{\epsilon }_0}\underset{V}{\int }\rho (𝒙)dV=\frac{\rho ({𝒙}^{\prime })dV}{{\epsilon }_0}$

となる。ここで、$𝑬$ は対称性より、$r$ のみの関数で、動径方向のベクトルであるから、

${\oint }_S𝑬(𝒙)\cdot d𝑺=4\pi r^2𝑬(r)\cdot {𝒆}_r$

となる。従って、

$\mathrm{\nabla }\phi (r)=-\frac{\rho ({𝒙}^{\prime })dV}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}{𝒆}_r$

となる。ここで、

$\mathrm{\nabla }\phi =\frac{d\phi (r)}{dr}{𝒆}_r$

であるから、

$\frac{d\phi (r)}{dr}=-\frac{\rho ({𝒙}^{\prime })dV}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$

これを積分して、

$\phi (r)=\frac{\rho ({𝒙}^{\prime })dV}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$

を得る。

これを全空間で $\rho$ について足し合わせた関数

$\phi (𝒙)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int \frac{\rho ({𝒙}^{\prime })}{r}dV$

がポアソン方程式の解となる。ただし、$r=|𝒙-{𝒙}^{\prime }|$ である。