電磁気学II

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はじめに

電磁気学がからんでくる現象は数多いが、 これらの現象のうちの多くは 次の2つの方程式によって記述される。

ガウス単位系では、

${\partial }^{\mu }{F}_{\mu \nu }=4\pi J_{\mu }$

$F_{\mu \nu .\rho }+F_{\rho \mu .\nu }+F_{\nu \rho .\mu }=0$

ここで、

$F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }$

$=\left(\begin{array}{cccc}0& E_x& E_y& E_z\\ -E_x& 0& -B_z& B_y\\ -E_y& B_z& 0& -B_x\\ -E_z& -B_y& B_x& 0\end{array}\right)$

でありまた、

$J_{\mu }=\left(\begin{array}{c}\rho \\ \overrightarrow{j}\end{array}\right)$

である。 更に、

$A_{,\mu }={\partial }_{\mu }A=\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}A$

(Aは、

$x^{\mu }=t,x,y,z$

のある関数。) となる。

note: 実際には現在ではほとんどの分野で、古くなっているGauss単位系ではなく、 SI単位系が用いられている。(特に工学の分野ではそうであるようである。) ただし、特殊相対論と組み合わせた 電磁気現象を見るぶんには、Gauss単位系でもそれほど不自由がないので、 こちらを用いている。

ここではこれらの式がどの様に書かれるかを見ていく。

comment: 過去の遺物である Gauss単位系を今さら用いるのは、教育的 見地からしても問題である。 Gauss単位系が相対論に適合しているというのは誤解である。 （たとえば電荷保存則を見れば明らかである。）

Gaussの法則

空間中に電荷を置くと、 その回りには、 等方的に

$\overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q}{r^2}{\overrightarrow{e}}_r$

の電界が生じる。 ただし、これはSI単位系で書かれた式であり、 ガウス単位系では、

$\overrightarrow{E}=\frac{q}{r^2}{\overrightarrow{e}}_r$

と書かれる。 放射状に電界が広がるという描像は変化していない ことに注意。 これを一般化すると、 ある表面積分を行なったとき、

$4\pi r^2\cdot \overrightarrow{E}=4\pi r^2\cdot \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q}{r^2}{\overrightarrow{e}}_r$

$\iint d\overrightarrow{S}\overrightarrow{E}=\frac{1}{{ϵ}_0}\iiint dV\rho$

が成り立つ。 ここで、

$\iiint dV\rho =q$

である。(電荷密度の定義) ここで、

$\rho$

は電荷密度である。 ガウスの定理を用いて この式の 左辺を空間積分で書き変えると、

$\iint d\overrightarrow{S}\overrightarrow{E}$

$=\iiint dV\text{div}\overrightarrow{E}$

$=\iiint dV\rho$

よって、

$\text{div}\overrightarrow{E}=\frac{\rho }{{ϵ}_0}$

が成り立つ。 同じ計算をすると、ガウス単位系では

$\text{div}\overrightarrow{E}=4\pi \rho$

となることが分る。

ここで、

${\partial }^{\mu }{F}_{\mu \nu }=4\pi J_{\nu }$

の第0成分を書き変えると、 (

${\partial }^{\mu }=(0,-{\partial }_x,-{\partial }_y,-{\partial }_z)$

$F_{\mu 0}=(0,-E_x,-E_y,-E_z)$

に注意。 )

${\partial }^{\mu }{F}_{\mu \nu }$

$=\text{div}\overrightarrow{E}=4\pi \rho$

となり、確かに現象と一致する。

単極磁子は存在しない。

上で、ある電荷があるとその回りに放射状の電界が生じることを 述べたが、磁場についてはその様な対応物、つまり磁荷が存在しないことが 実験的に知られている。 (一般的な磁石はS極とN極が対になっているので磁荷と呼ぶことはできない。) このことを用いて電荷の場合と同じ計算をすると

$\iint d\overrightarrow{S}\overrightarrow{B}$

$=\iiint dV\text{div}\overrightarrow{B}$

$=0$

(これは磁荷密度が常に0であることによる。) 上と同様にガウスの定理を用いて書き換えると、

$\text{div}\overrightarrow{B}=0$

が成り立つことが分る。

ここで、

$F_{\mu \nu .\rho }+F_{\rho \mu .\nu }+F_{\nu \rho .\mu }=0$

で、

$\mu =1,\nu =2,\rho =3$

と選ぶと、

$\text{lhs}={\partial }_z{B}_z+{\partial }_y{B}_y+{\partial }_x{B}_x$

$=\text{div}\overrightarrow{B}$

$=rhs=0$

となり確かに式が現象を説明することがわかる。 (この結果は、ガウス単位系でもSI単位系でも同一である。)

電磁誘導

磁場の時間変化が電場を引き起こすという法則が レンツの法則として、知られている。

$\overrightarrow{E}=-\frac{1}{2\pi a}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}$

(SI単位系での式) これは円形のコイル(半径a)を使ったときの表式であるが、 そうでないときに一般化すると、

$2\pi a\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}$

$\int d\overrightarrow{l}\cdot \overrightarrow{E}=-\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}$

$=-\frac{\partial }{\partial t}\iint dS\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{B}$

ストークスの定理を用いて書き変えると、

$\int d\overrightarrow{l}\overrightarrow{E}=\iint dS\overrightarrow{n}\cdot \text{rot}\overrightarrow{E}$

よって、

$\text{rot}\overrightarrow{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{B}$

が従う。 Gauss単位系では

$\text{rot}\overrightarrow{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{B}$

となる。

ここで、

$F_{\mu \nu .\rho }+F_{\rho \mu .\nu }+F_{\nu \rho .\mu }=0$

で例えば、

$\mu =0,\nu =1,\rho =2$

と置くと、

$\text{lhs}={\partial }_y{E}_x+{\partial }_x(-E_y)-{\partial }_t{B}_z$

$=-\text{rot}\overrightarrow{E}{|}_z-\frac{\partial }{\partial t}{B}_z$

$=\text{rhs}=0$

となり、上で現象から得られた式のz成分と一致する。 x成分、y成分はそれぞれ

$\mu =0,\nu =2,\rho =3$

,

$\mu =0,\nu =3,\rho =1$

と置くと求めることが出来る。 よってこの場合も式が現象を説明することが わかる。

電流の回りの磁場と変位電流

直線的に流れる電流の回りには、

$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{I}{a}$

の磁束密度が生じることが知られている。 (SI単位系での式。) (aは電線からの距離。) これを一般化すると、

$\int d\overrightarrow{l}\cdot \overrightarrow{B}={\mu }_{0}I={\mu }_0\iint d\overrightarrow{S}\cdot \overrightarrow{j}$

となる。 ストークスの定理を用いて線積分を 面積分に変換すると、

$\int d\overrightarrow{l}\cdot \overrightarrow{B}$

$=\iint d\overrightarrow{S}\cdot \text{rot}\overrightarrow{B}$

よって両辺を比べることで、

$\text{rot}\overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{j}$

が得られる。実際にはこの式が 上で得られた式と一致するには もう1つ現象を付け加える必要がある。 例えば、平板 コンデンサに対して電荷が蓄積していくとき、 コンデンサの間の空間には電場の時間変化が現われる。 このとき、%電荷の時間変化には コンデンサの間の空間には(電流からの寄与が無くても) 磁場が生じることが知られている。 この項は、通常の電流と比べて変位電流と呼ばれる。 数式では、(SI単位系では)

$\overrightarrow{j}\to {ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{E}$

としたものに等しい。 これら2つの寄与を足し合わせると、式

$\frac{1}{{\mu }_0}\text{rot}\overrightarrow{B}=\overrightarrow{j}+{ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{E}$

が得られる。 ガウス単位系では、

$\text{rot}\overrightarrow{B}=4\pi \overrightarrow{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{E}$

ここで、

${\partial }^{\mu }{F}_{\mu \nu }=4\pi J_{\nu }$

で例えば、

$\nu =1$

を代入すると、

$\frac{1}{c}\frac{\partial E_x}{\partial t}-{\partial }_y(B_z)-{\partial }_z-B_y=-4\pi j_x$

$\frac{1}{c}\frac{\partial E_x}{\partial t}-\text{rot}\overrightarrow{B}{|}_x=4\pi j_x$

$-\text{rot}\overrightarrow{B}{|}_x=-4\pi j_x-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}{E}_x$

$\text{rot}\overrightarrow{B}{|}_x=4\pi j_x+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}{E}_x$

となり確かに一致する。 y,z方向については

$\nu =2$

,

$\nu =3$

とおけばよい。

電磁波の伝搬

真空中では、

$J^{\mu }=0$

が成り立つので、

${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }=0$

${\partial }_{\mu }({\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu })=0$

が得られる。 ここで、

$A^{\mu }$

がゲージの自由度を持つことを考慮して この方程式を簡単にすることが出来る。 ここでは、

${\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0$

(ローレンツゲージ) をとる。 すると、上の式は簡単になって、

${\partial }^2{A}^{\mu }=0$

となる。 ここで、

${\partial }^2={\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }=(\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial {\overrightarrow{x}}^2})$

である。 この式は速度cで伝搬する波の波動方程式であり、 真空中を電場や磁場が光の速さで伝搬することが分る。 実際にはこのことから光がこのような波(電磁波と呼ぶ)の 一種であることが知られた。 電磁波は振動数によって様々な名前で呼ばれる。