振動と波動/波動方程式の性質

1次元の波動方程式

波動方程式の一般解

波動方程式は偏微分方程式であるので、これを解くために境界条件を定めねばならない。1次元の波動方程式

$(\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial x^2})u(x,t)=0$

を考えると、$\xi =x+vt,\eta =x-vt$ とするとき、

$\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial x}& =\frac{\partial \xi }{\partial x}\frac{\partial }{\partial \xi }+\frac{\partial \eta }{\partial x}\frac{\partial }{\partial \eta }\\ & =\frac{\partial }{\partial \xi }+\frac{\partial }{\partial \eta },\\ \frac{\partial }{\partial t}& =\frac{\partial \xi }{\partial t}\frac{\partial }{\partial \xi }+\frac{\partial \eta }{\partial t}\frac{\partial }{\partial \eta }\\ & =v(\frac{\partial }{\partial \xi }-\frac{\partial }{\partial \eta })\end{array}$

を用いると、

$\begin{array}{cc}\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}& =\frac{1}{v^2}{v}^2{(\frac{\partial }{\partial \xi }-\frac{\partial }{\partial \eta })}^2-{(\frac{\partial }{\partial \xi }+\frac{\partial }{\partial \eta })}^2\\ & ={(\frac{\partial }{\partial \xi }-\frac{\partial }{\partial \eta })}^2-{(\frac{\partial }{\partial \xi }+\frac{\partial }{\partial \eta })}^2\\ & =-4\frac{\partial }{\partial \xi }\frac{\partial }{\partial \eta }\end{array}$

より、

$-4\frac{\partial }{\partial \xi }\frac{\partial }{\partial \eta }u(x,t)=0$

となる。この解は、

$\begin{array}{cc}u(x,t)& =f(\xi )+g(\eta )\\ & =f(x+vt)+g(x-vt)\\ \end{array}$

で与えられる（f , g は任意の関数）。この解のうち、x + v t に依存する関数は速度v で -x 方向に移動する波に対応し、x - v t に依存する関数は速度v でx 方向に移動する波に対応する。

ダランベール解

初期値が

$u(x,0)=\phi (x),\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=\psi (x)$

で与えられるときの波動方程式の解を求める。$u$ の時間微分に対する初期条件は

$v{f}^{\prime }(x)-v{g}^{\prime }(x)=\psi (x)$

となる。これを積分すると、 $C$ を積分定数として、

$f(x)-g(x)=\frac{1}{v}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\psi (x)dx+C$

となる。これを、$t=0$ で成り立つ条件

$f(x)+g(x)=\phi (x)$

と連立させると、

$f(x)=\frac{1}{2}\phi (x)+\frac{1}{2v}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\psi (x)dx+\frac{C}{2}$

$g(x)=\frac{1}{2}\phi (x)-\frac{1}{2v}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\psi (x)dx-\frac{C}{2}$

となる。$x$ をそれぞれ、$x+vt,x-vt$ で置き換えると、

$f(x+vt)=\frac{1}{2}\phi (x+vt)+\frac{1}{2v}\underset{0}{\overset{x+vt}{\int }}\psi (x)dx+\frac{C}{2}$

$g(x-vt)=\frac{1}{2}\phi (x-vt)+\frac{1}{2v}\underset{x-vt}{\overset{0}{\int }}\psi (x)dx-\frac{C}{2}$

となるから、

$u(x,t)=\frac{1}{2}\{\phi (x+vt)+\phi (x-vt)\}+\frac{1}{2v}\underset{x-vt}{\overset{x+vt}{\int }}\psi (x)dx$

を得る。

ダランベール解の例として、初期条件が

$u(x,0)=a(x),\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=0$

で与えられる場合を考える。時刻t での関数u の値は、

$u=\frac{1}{2}(a(x+vt)+a(x-vt))$

となる。

• 図

定在波

時間依存性が位置によらずに決まる波を、定在波と呼ぶ。(?)このとき、

$u(x,t)=X(x)T(t)$

のように、解のx , t に対する依存性を分離できる。これを波動方程式に代入すると、

$\begin{array}{cc}(\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial x^2})u(x,t)& =0\\ X\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}T-T\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}X& =0\\ \frac{1}{T}\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}T-\frac{1}{X}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}X& =0\\ \frac{1}{T}\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}T& =\frac{1}{X}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}X\end{array}$

と変形できる。ここで、最後の式の左辺はt だけの関数であり、右辺の式はx だけの関数であるので、どちらの値も定数に等しいはずである。この定数を、-ω² /v² とおくと、

$\begin{array}{cc}\frac{1}{T}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}T& =-{\omega }^2\\ \frac{{\partial }^2}{\partial t^2}T+{\omega }^{2}T& =0\\ \end{array}$

となり、解

$T(t)=A\sin (\omega t)+B\cos (\omega t)$

を得る（A , B は任意定数）。一方、X についても同様に

$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}X+\frac{1}{v^2}{\omega }^{2}X=0$

を得ることができ、解

$X(x)=A\sin \left(\frac{\omega }{v}x\right)+B\cos \left(\frac{\omega }{v}x\right)$

を得る（A , B は任意定数）。

特に、x = 0, x = l でu (t , x ) = 0 となる場合を考える。これは、物体の端が固定されている場合に対応するので固定端と呼ばれる。このとき、x = 0 でu = 0 からB = 0 が得られる。また、

$X(l)=A\sin \left(\frac{\omega }{v}l\right)$

より、

$\frac{\omega }{v}l=\pi n$

（n は整数）となり、

$\omega =\frac{\pi nv}{l}$

が得られる。n = 0 は全く波が起きていない状況に対応し、n = 1 は節が1つだけの波が起きている状況に対応する。n > 1 は、節がn 個の波に対応する。

• 図

全ての点の時間依存性が同一なのでT (t ) を決めるにはある一点での振動のある時刻での位置と速度を与えればよい（実際にはある時刻で両方を与える必要はなく、違う時刻で1つずつ与えてもよい）。例えば、t = 0, x = l /2 で、u = 0, $\frac{\partial u}{\partial t}=a$ （a は定数）が与えられたとすると、

$T(t)=A\sin (\omega t)+B\cos (\omega t)$

について、B = 0, ωA = aまたはA = a /ωが得られる。よって、この方程式の解は

$u(t,x)=\frac{a}{\omega }\sin (\omega t)\sin \left(\frac{{\omega }_n}{v}x\right),{\omega }_n=\frac{\pi vn}{l}$

となる。

2次元平面中の波

2次元空間中の波動方程式

2次元平面中で、ある方向をx 方向と取り、それと垂直な方向をy 軸と取る。x 軸とy 軸をつけかえても方程式が変わらないことに注目すると、波動方程式は

$\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}=0$

となる。

• TODO

2次元平面中での固定端の定在波は、2つの整数を使って表わされること（変数分離）。2つの整数をm,nとしたときのm = 1,n=1の時などの図。

3次元空間中の波

3次元空間中の波動方程式

3次元平面中で、ある方向にx 軸を、それと垂直な方向にy 軸を取り、それらが順に右手の親指、人差し指、中指に対応するようにz 軸を取る。それぞれの軸をつけかえても方程式が変わらないことに注目すると、波動方程式は

$\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}=0$

となる。

球面波

$\mathrm{\Delta }r=\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}(rf)$

（f はr , t だけの関数。Δ はラプラシアン。）(?)このとき、与えられた波動方程式は、

$\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}-\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}(rf)=0$

となるが、ここで r f (r , t ) についてはこの式は通常の1次元の波動方程式に対応する。よってこの方程式の解として

$f(r,t)=\frac{1}{r}u(r+vt)+\frac{1}{r}v(r-vt)$

（u , v は任意の関数）を得る。これらは球対称な波を表わすことから、球面波と呼ばれる。

位相速度と群速度

水深が深い水の表面の水面波における、周波数分散を持つ波束（波群）を表したもの。赤点は位相速度で動き、緑点は群速度で動いている。このように水深が深い場合には、水面では位相速度は群速度の二倍になる。図の左から右に動く間、赤点は緑点を二回追い越す。
波束の後方(の緑点)で新しい波が出現し、波束の中心に向かって振幅が大きくなり、波束の前方(の緑点)で消えているように見える。水面の重力波においては、ほとんどの場合、水粒子の速度は位相速度よりもずっと小さい。

光の場合で考えると分かりやすい。光の速度cは、角速度や周波数とは無関係である。

なお、この、波における速度Aωを、位相速度という。位相速度は、情報を伝える速度ではない。

実際に情報を伝えられる速度のことを群速度という。

なお、また、ある波動が、複数個の正弦波を、足し合わせたり引き算したりしないと、数式で表現でないと場合、そのような波動を「分散のある」波動という。

つまり、分散のある波動の、情報を伝えられる速度のことを、群速度という。