初等数学公式集/初等関数の性質/参考

有名角の値2

$\frac{\pi }{10}(=18^{\circ })$

余角の公式より、等式:$\sin \frac{3\pi }{10}=\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{5})=\cos \frac{\pi }{5}$が成立する。

　

ここで、$\frac{\pi }{10}=\theta$とおくと、$\sin 3\theta =\cos 2\theta$となり、二倍角の公式及び三倍角の公式から、$3\sin \theta -4{\sin }^3\theta =1-2{\sin }^2\theta$。

　

さらに、$\sin \theta =t$とおいて、方程式:$4t^3-2t^2-3t+1=(t-1)(4t^2+2t-1)=0$を得る。

　

これを解いて、$t=1,\frac{-1\pm \sqrt{5}}{4}$。$t=\sin \theta =\sin \frac{\pi }{10}$であるので、$0<t<1$、従って、$\sin \frac{\pi }{10}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$

　

$\cos \frac{\pi }{10}=\sqrt{1-{\sin }^2\frac{\pi }{10}}$ $(\because \cos \frac{\pi }{10}>0)$$=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$

　

$\tan \frac{\pi }{10}=\frac{\sin \frac{\pi }{10}}{\cos \frac{\pi }{10}}=\frac{1}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{5(5-2\sqrt{5}})}{5}$

　

$\frac{\pi }{5}(=36^{\circ })$

二倍角の公式より、$\sin \frac{\pi }{5}=2\sin \frac{\pi }{10}\cos \frac{\pi }{10}=2\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\right)\left(\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\right)=\frac{\left(-1+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)}{8}=\frac{\sqrt{(-1+\sqrt{5}{)}^2(10+2\sqrt{5})}}{8}$

　

$=\frac{\sqrt{(6-2\sqrt{5})(10+2\sqrt{5})}}{8}=\frac{\sqrt{40-8\sqrt{5}}}{8}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$

　

$\cos \frac{\pi }{5}=\sqrt{1-{\sin }^2\frac{\pi }{5}}$ $(\because \cos \frac{\pi }{5}>0)$$=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\right)}^2}=\frac{\sqrt{16-(10-2\sqrt{5})}}{4}=\frac{\sqrt{6+2\sqrt{5}}}{4}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$

　

$\tan \frac{\pi }{5}=\frac{\sin \frac{\pi }{5}}{\cos \frac{\pi }{5}}=\sqrt{5-2\sqrt{5}}$

　

$\frac{3\pi }{10}(=54^{\circ })$

　

余角の公式より、等式:$\sin \frac{3\pi }{10}=\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{5})=\cos \frac{\pi }{5},$　$\cos \frac{3\pi }{10}=\sin \frac{\pi }{5}$が成立する。

　

$\therefore \sin \frac{3\pi }{10}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$, 　$\cos \frac{3\pi }{10}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$, 　$\tan \frac{3\pi }{10}=\frac{1}{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}$

　

$\frac{2\pi }{5}(=72^{\circ })$

　

余角の公式より、等式:$\sin \frac{2\pi }{5}=\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{10})=\cos \frac{\pi }{10},$　$\cos \frac{2\pi }{5}=\sin \frac{\pi }{10}$が成立する。

　

$\therefore \sin \frac{2\pi }{5}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$, 　$\cos \frac{2\pi }{5}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$, 　$\tan \frac{2\pi }{5}=\sqrt{5+2\sqrt{5}}$

黄金比との関係

$1:\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$で表される比率を黄金比（Golden ratio）という。

　

幾何的には、$a:b$ が黄金比ならば、$a:b=b:(a+b)$という等式が成り立っている。

　

また、この値（黄金数）は、方程式:$x^2=x+1$ の解$x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ の正となるものでもある。なお、もう一方の負となる解$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ を共役黄金比（Golden ratio conjugate）と呼び、しばしば、各々を$\phi ,\bar{\phi }$で表す。この時、以下の関係となる。

　

$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2},\bar{\phi }=\frac{1-\sqrt{5}}{2},$　$\phi +\bar{\phi }=1,\phi \bar{\phi }=-1,\phi -\bar{\phi }=\sqrt{5}$

　

${\phi }^{-1}=-\bar{\phi }=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},$　$\stackrel{-1}{\bar{\phi }}=-\phi =\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$

　

$\phi ,\bar{\phi }$は、$x^2=x+1$ の解であるので、

　

${\phi }^2=\phi +1$

　

$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{\phi }}=\bar{\phi }+1$

　

これを、上記の結果に当てはめてみる。

　

$\sin \frac{\pi }{10}=\cos \frac{2\pi }{5}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}=\frac{-\bar{\phi }}{2}=\frac{\phi -1}{2}=\frac{{\phi }^{-1}}{2}$

　

$\cos \frac{\pi }{10}=\sin \frac{2\pi }{5}=\sqrt{1-{\left(\frac{-\bar{\phi }}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{4-\stackrel{2}{\stackrel{‾}{\phi }}}}{2}=\frac{\sqrt{2+\phi }}{2}$

　

$\sin \frac{\pi }{5}=\cos \frac{3\pi }{10}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2}\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}\sqrt{-\bar{\phi }}=\frac{\sqrt{5}}{2}\sqrt{{\phi }^{-1}}$

　

$\cos \frac{\pi }{5}=\sin \frac{3\pi }{10}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}=\frac{\phi }{2}$

　

※なお、黄金比・黄金数は、フィボナッチ数列にも登場する。