ウィキブックス・スクール/数学III

理系科目 数学Ⅲでは、さまざまな関数について学びます。

さまざまな関数

合成関数とは

数学Aの「確率」の分野で、三段論法を学習されたかと思います。この考え方は、数学Ⅲでも使用します。

例えば、絵具の混ぜ方を考えてみましょう。赤い絵具と白い絵具を混ぜると「桃色」になります。このように、2つの絵具を1つにまとめることを「合成」と言います。

合成関数は、この絵具の例と同じように、関数を混ぜ合わせたものだと考えてください。

絵具A「赤」＋絵具B「白」⇒絵具C「桃色」

なお、第一学習社の『新編数学Ⅲ』や数研出版の『最新数学Ⅲ』の教科書には詳しい図解があります。また、チャート式「基礎と演習」（白チャート）にも同様の図解が掲載されています。

ここからは、具体的に2つの関数をどのように1つにまとめるか、実際の数式を使って説明します。

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2つの関数

$f(x)=x^2+7$

$g(x)=x+1$

を、合成関数$(g\circ f)(x)$でまとめなさい。

最初に、$(g\circ f)(x)$のうち、$f(x)$を取り出します。

$f(x)=x^2+7$

次に、この$f(x)$の結果を関数$g(x)$の$x$に代入します。

$(g\circ f)(x)=(x^2+7)+1$

最後に、$(x^2+7)+1$を計算します。

$(x^2+7)+1=x^2+8$

これで1つの合成関数が出来上がりました。

ここで注意したいのは、$f(x)$と$g(x)$の順序です。

もし、$(f\circ g)(x)$の場合は、先に$g(x)$を計算し、その結果を$f(x)$の$x$に代入する必要があります。

極限とは

極限の計算手順

1. 直接代入法: まず、関数に対して直接 $x$ の値を代入してみます。多くの極限問題では、これで答えが得られる場合が多いです。
2. 代入できない場合の対処法:
   1. 分母がゼロになる場合: もし直接代入した結果、分母がゼロになる場合は、分子もゼロであるかどうか確認します。両方がゼロであれば、因数分解や分数の約分を試みます。
   2. 不定形の場合: 結果が $\frac{0}{0}$ や $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ などの不定形の場合、ロピタルの定理を使用することができます。ロピタルの定理では、分子と分母の微分を求め、その極限を計算します。
3. 因数分解や展開:
   1. 因数分解: 式が因数分解できる場合は、因数分解を行い、簡単にしてから極限を求めます。
   2. 展開: 多項式などが絡む場合は、展開してから計算することが有効です。
4. 別の変数への置き換え: 極限を求める変数が複雑な場合、適切な変数変換を行い、計算を簡単にすることがあります。たとえば、三角関数の極限の場合に角度をラジアンに変換することがあります。
5. 標準的な極限の公式の利用:
   1. よく知られた極限の公式（例えば、$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$）を利用することも有効です。公式を覚えておくと、計算がスムーズになります。
6. 連続性の利用:
   1. 関数が連続である場合、極限はその関数における点の値と一致します。関数の連続性を利用することで、計算が簡単になることがあります。
7. グラフによる確認:
   1. 関数のグラフを描くことで、極限の値を視覚的に確認する方法もあります。特に、複雑な関数や特異な点がある場合に役立ちます。

これらの手順を踏むことで、多くの極限問題に対応することができます。実際の問題に対しては、状況に応じて最も適切な方法を選んでください。